专题09 指数与指数函数（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学指数与指数函数核心知识，系统构建从n次方根、根式与分数指数幂互化、有理数指数幂运算，到指数函数定义、定义域、值域、图像及单调性、定点特征的学习支架，逐步延伸至复合函数、含参问题及综合应用。 该资料通过分层突破重点难点，如精准区分偶次与奇次根式运算差异，借助“同增异减”规律培养数学思维。典例与变式结合，如整体换元法提升运算能力，助力教师系统授课，学生课后可通过巩固训练查漏补缺，强化知识应用。

专题09 指数与指数函数 重点目标： 1. 掌握n次方根、根式的定义与性质.熟练实现根式与分数指数幂的相互转化. 2. 掌握有理数指数幂的运算性质.能规范完成整数指数、分数指数幂的混合运算与化简求值. 3. 掌握指数函数的教材定义、定义域、值域.熟记指数函数的标准图像形态. 4. 掌握底数分类下指数函数的单调性、定点特征.能根据底数范围判断函数增减趋势. 5. 熟练利用指数函数单调性、图像特征进行指数式大小比较、简单不等式求解.掌握基础常考题型. 难点目标： 1. 精准区分偶次根式与奇次根式的运算差异.规避根式开方、绝对值化简的高频易错点. 2. 熟练处理负指数、分数指数、多层指数的复杂化简运算.突破指数幂综合运算难点. 3. 掌握复合型指数函数的定义域、单调性、值域求解方法.理解复合函数“同增异减”规律. 4. 综合运用指数函数性质解决恒成立、最值、不等式综合问题.对接中档拔高考点. 1、 重点知识 （一）根式与指数幂核心概念 1. n次方根定义：如果（）.那么x叫做a的n次方根. 2. 根式分类性质： ① 当n为奇数时.任意实数a有唯一n次方根.满足. ② 当n为偶数时.正数有两个互为相反数的n次方根.负数无偶次方根.. 3. 0的任意正数次方根均为0. （二）分数指数幂互化规则 1. 正分数指数幂：（）. 2. 负分数指数幂：（）. 3. 核心规定：0的正数次幂为0.0的负数次幂无意义. （三）有理数指数幂运算性质 · 设： 1. 2. 3. 4. （四）指数函数定义与基础性质 1. 定义：一般地.函数（且）叫做指数函数.其中x是自变量.定义域为. 2. 核心判定条件：底数为正常数且不等于1. 指数为单纯自变量x. 系数为1. 无附加常数项. 3. 通用固定特征：所有指数函数恒过定点.值域为.图像恒在x轴上方. （五）底数分类单调性规律 1. 当时.指数函数在上单调递增. 2. 当时.指数函数在上单调递减. 2、 难点知识 （一）核心易错难点 1. 根式化简陷阱：偶次根式开方必须加绝对值.奇次根式直接去根号.极易混淆导致符号错误. 2. 指数函数判定误区：形如均不是标准指数函数.必须严格满足定义条件. 3. 底数范围误区：忽略的前提.导致函数无意义、单调性判断错误. 4. 大小比较误区：未区分底数范围.直接默认单调递增.造成大小关系颠倒. （二）复杂指数运算难点 1. 多层指数、负指数、分式指数混合运算.需要统一化为分数指数幂再运算.禁止根式直接混合计算. 2. 整体代换求值：已知的值.求解等复合型式子.利用完全平方公式整体代换. 3. 根式嵌套化简：由内向外逐层转化指数幂.规避跳步运算导致的错误. （三）含参指数函数难点 1. 底数分类讨论：含参底数需分和两类讨论单调性、不等式解集. 2. 参数范围求解：根据指数函数单调性、定义域、值域约束.反求参数取值范围. 3. 恒过定点拔高：含参复合型指数函数.整理固定结构求解恒过定点坐标. （四）复合指数函数综合难点（期末压轴） 1. 复合结构拆分：形如的复合函数.外层为指数函数.内层为初等函数. 2. 单调性判定：遵循“同增异减”原则.结合外层底数范围、内层函数单调性综合判断. 3. 值域求解：优先求内层函数值域.结合外层指数函数单调性.求解整体函数值域. 4. 定义域约束：复合指数函数需满足内层函数有意义.结合整体结构确定完整定义域. （五）深度拓展拔高知识 1. 指数式大小比较拔高：底数不同、指数不同的复合型指数式.借助中间值0、1或构造函数单调性秒杀. 2. 指数不等式综合：结合定义域、单调性、奇偶性求解复合型指数不等式.是高考高频基础题型. 3. 指数函数最值恒成立：闭区间上复合指数函数最值求解.转化为参数恒成立、存在性问题. 4. 指数模型实际应用：指数增长、指数衰减模型.对接高考应用题考点. 5. 数形结合拓展：利用指数函数图像高低规律.快速判断底数大小、函数值范围. （六）全节高频失分点汇总 1. 偶次根式化简遗漏绝对值.符号出错. 2. 混淆指数函数定义.误判非标准指数函数. 3. 解指数不等式不分类讨论底数范围.解集不完整. 4. 复合函数单调性判断忽略内层定义域.区间错误. 5. 指数幂运算公式混用、正负指数转换失误. 6. 忽略指数函数值域恒正的隐藏条件.导致最值求解错误. 题型01 根式与分数指数幂 角度1：根式与分数指数幂互化 【典例】用分数指数幂的形式表示下列各式（其中，均为正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质即可得解. 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：. 【变式】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）1；（2）；（3）1. 【解析】（1）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 角度2：利用性质化简（求值） 【典例】化简求值 (1)计算； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质化简可得； （2）先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算性质可得. 【详解】（1）原式； （2）原式 【变式】（1）化简：.（结果用分数指数幂表示） （2）化简：.（结果用分数指数幂表示） （3）求值：. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据根式与分数指数幂互化及指数幂的运算法则运算即得. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型02 解指数方程与不等式 角度1：解指数方程 【典例1】已知，则x=（     ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 【答案】B 【分析】将等式两侧同时化简成关于底数为3的指数型表达式，求解对应的x即可 【详解】方程 故答案选：B 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】将转化为求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 【典例2】方程 的解是___________________． 【答案】1 【解析】利用换元法令，解得t，再求得x. 【详解】因为， 令，则原式=，所以或（舍）， 则. 故答案为：1. 【变式2】方程的解为__________； 【答案】 【分析】设再转换成二次方程求解即可. 【详解】设则转换为. 故,即. 故答案为： 角度2：解指数不等式 【典例1】不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由不等式， 因为指数函数单调递增，所以 所以， 解得， 即原不等式的解集为 【变式1】不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性解不等式. 【详解】由， 所以，即， 解得或， 故答案为：. 【典例2】若函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】作出函数的图像，进而可得，然后利用图像解不等式即可 【详解】函数的图像如图中的“实线”所示.    从而的图像如图中的“实线”所示，为解不等式，需观察图像，易解得与的交点为和.    故不等式的解集为，即. 故答案为： 【变式2】已知函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】根据给定条件分段求解不等式即可作答. 【详解】因函数，则不等式化为：或， 解得：，解，无解，于是得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型03 整体换元法求分数指数幂的值 【典例】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C 【变式】已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】先根据展开求值，再根据求解，原等式代入求解即可. 【详解】，则， ， ， 则， 故选：C. 题型04 指数函数的解析式问题 角度1：根据指数函数解析式求参数值 【典例】若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 【变式】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 角度2：待定系数法求指数函数的解析式 【典例】若函数是指数函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数定义可设，由可求得的值，由此可得结果. 【详解】为指数函数，可设且， ，解得：，. 故选：B. 【变式】下列函数式中，满足的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，且，所以应排除答案A、B、C，而，故应选答案D． 题型05 指数函数的图象问题 【典例1】函数（且）与的图象有可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，根据指数函数和一次函数的图象与性质求解. 【详解】当时，函数递增，恒过定点（0，1），递减， 当时，函数递减，恒过定点（0，1），递增， 故选：D 【变式1】当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 【典例2】若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】抓住与1大小，正负讨论，结合指数函数的图象求解. 【详解】若，，函数经过第三象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则不可能同时经过第一、二、四象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则经过第一、二、四象限，合题意； 若，，函数经过第二，四象限，不合题意； 若，，函数经过第二，三，四象限，不合题意； 综上，当，时，经过第一、二、四象限. 故选：D. 【变式2】若函数，（，且）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象和性质，即可确定a，b的取值范围． 【详解】根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y＝ax﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限， 则函数为增函数，∴a＞1， 且f（0）＜0，即f（0）＝1﹣b＜0， 解得b＞1， 故选：B． 【典例3】四个指数函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为和 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象性质，取，代入运算求解，结合图象即可结果. 【详解】当时，， 所以图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和， 故选：D. 【变式3】已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性和特殊值法即可判断. 【详解】由指数函数性质,得与是增函数,与是减函数. 直线1与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小, A选项正确. 故选：A. 题型07 比较指数幂的大小 【典例1】、、、则、、的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据指数函数的单调性的性质计算出的取值范围，即可得到结论. 【详解】由题意，可得、、、 又由函数指数函数为单调递增函数，因为， 所以，故选C. 【变式1】设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又函数在上单调递增，， 所以 所以， 故选：C 【典例2】已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将指数化为相同的指数，再根据幂函数的单调性即可得解. 【详解】根据题意，，，， 又由，则有，即． 故选：B． 【变式2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 【典例3】已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性可以判断，的大小，根据幂函数的单调性可以判断，的大小，综合可得结果. 【详解】∵，可得是单调减函数， ∵，∴， ∵，可得为减函数， ∵，∴ ， 综上可得，故选D. 【变式3】设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，函数在上单调递增，函数在R上单调递减， 则，所以的大小关系为. 故选：D. 题型06 指数型函数问题 角度1：指数型函数过定点问题 【典例】已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】首先根据指数函数的性质求定点，即得函数的解析式，再判断函数的图象经过的象限. 【详解】且恒过定点 则函数恒过定点且是单调递增函数，其图象不经过第二象限. 故选：B 【变式】幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，进而得，再根据指数函数性质求解即可. 【详解】解：因为幂函数在上单调递增， 所以，解得，所以， 故令得，所以 所以的图象过定点 故选：D 角度2：指数型函数的单调性问题 【典例1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用复合函数单调性“同增异减”规则来解题即可. 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 【变式1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的单调性，结合复合函数单调性同增异减，求得函数的单调递增区间. 【详解】由于在上递减，在递增，上递减，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间为. 故选：D 【典例2】函数的单调递增区间为______． 【答案】 【分析】结合已知条件，利用指数函数单调性和复合函数单调性求解即可. 【详解】不妨令，则在上单调递增， 由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又由时，解得， 故由复合函数单调性可知，的单调递增区间为. 故答案为：. 【变式2】函数在上单调______（填“递增”或“递减”）． 【答案】递减 【分析】将原函数看成含的二次型复合函数，利用指数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断区间单调性即可. 【详解】由题知．令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， ∴函数在上单调递减． 故答案为：递减 【典例3】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减， 所以，函数在上为增函数，所以，，解得. 故选：A. 【变式3】已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数单调性法则得，即，解不等式即可得出答案. 【详解】由且，得为单调递减函数， 由复合函数单调性法则得， 又，解得． 故选：C． 角度3：指数型函数的奇偶性问题 【典例1】若函数是奇函数，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数定义列式求出值. 【详解】由函数是奇函数，得， 即，整理得，而不恒为0， 因此，解得，此时函数是定义在R上的奇函数， 所以实数a的值为. 故选：A 【变式1】函数为奇函数，则=（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】由求出，并验证符合题意． 【详解】由题意，， 此时，，是奇函数． 故选：D． 【典例2】（多选）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】分别是定义在上的奇函数和偶函数，由可得，可解出，，再逐个验证选项即可. 【详解】函数分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足可得，即，与联立， 可得，， ，A选项正确； ，故B选项错误； ，，，C选项正确； 函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增， 若，则，有，所以，D选项正确. 故选∶ACD． 【变式】（多选）奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】根据奇偶性求出即可判断ABC；利用基本不等式可判断D. 【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以， 因为①，所以，即②， 所以由①②解得，故B正确； ，故A错误； 在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确； 因为，当且仅当时取等号， 所以的值域为，所以D正确. 故选：BCD. 角度4：指数型函数的值域问题 【典例1】函数，的值域是(　　) A．R B． C．[9,243] D．[3,＋∞) 【答案】B 【分析】先求二次函数在区间上的值域，再根据的范围即可求出的最大值和最小值. 【详解】因为，令t＝x2－3x＋2， t＝x2－3x＋2＝， ，当时，， 当时，， 又y＝3t在上单调递增， 则y＝3t . 故选：B 【变式1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 【典例2】已知函数，则其值域为___________. 【答案】 【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上值域的问题，结合二次函数单调性，即可求得结果. 【详解】解：令，∵，∴， ∴， 又关于对称， 即时，函数取得最小值，即， 即时，函数取得最大值，即， ,. 故答案为：. 【变式2】函数在上的值域为___________. 【答案】 【分析】本题考查换元法，再结合二次函数求值域． 【详解】 ∵则令 在递增 ∴ 故答案为：． 【典例3】已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形分析可得答案； （2）根据题意，由指数函数的单调性可得，进而变形可得，即可得答案. 【详解】（1）由函数是奇函数，则， 即， 变形可得：，则有. （2）由（1）知， 又由，则，则有，则有， 变形可得：，即． 所以函数的值域为. 【变式3】已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由列式求出即得函数解析式. （2）令，求出二次函数在闭区间上的最值即可得值域. 【详解】（1）函数中，由，得，即， 而且，解得，所以. （2）令，当时，，则， 当时，；当时，，所以在上的值域为. 题型07 指数函数的综合问题 【典例1】（多选）已知函数，其中，且，则下列结论中正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在其定义域上有零点 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上单调递增 【答案】ABD 【分析】A项，由奇函数定义可得；B项，由方程有解可知函数有零点；C项，由可知；D项，由两个增函数的和函数仍为增函数可得. 【详解】选项A，由，， 定义域为，关于原点对称. 且， 所以函数是奇函数，故A正确； 选项B，令，解得， 则在其定义域上有零点，故B正确； 选项C，因为， 所以函数的图象过定点，不过，故C错误； 选项D，当时，， 所以是增函数，且是减函数，则是增函数， 所以也是增函数，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】（多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．存在实数和使得 B．当实数时在上单调递增 C．对任意实数，函数的图像恒过定点 D．对任意小于0的实数，方程都有两实数解 【答案】BCD 【分析】根据指数函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为恒成立，所以恒成立，故A错误； 对于B：因为， 当时，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：因为，所以对任意实数，函数的图像恒过定点，故C正确； 对于D：因为， 当时在上单调递减，在上单调递增， 又，且恒成立，当时，当时， 所以与必有两个交点，故对任意小于0的实数，方程都有两实数解，故D正确. 故选：BCD 【典例2】已知为奇函数． (1)求得的值，并用定义法证明函数在区间上的单调性； (2)设，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明: 由， 任取，且， 则， 因为，可得， 所以，即， 所以函数在上的单调递增函数. (2) 【分析】（1）根据题意，由，求得，得到，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）由（1）知，函数的性质，结合，得到，得到为偶函数，且在上递增，则在上递减，把不等式转化为，求得不等式的解集，得到答案. 【详解】（1）由函数为上的奇函数， 可得，解得，所以， 经检验时，为奇函数，符合题意. （2）由（1）知，函数在上的单调递增函数，且为奇函数， 所以当时，；当时，； 又由，可得， 所以函数为偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减， 因为，所以，即， 整理得，即，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2】已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)为上的增函数， 证明：，且， ， ∵，∴，∴， ∴，即，∴为上的增函数． (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论； （2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论. 【详解】（1）∵为上的奇函数． ∴，∴，∴ 检验：此时为奇函数，满足条件； （2）略 （3）∵，∴， ∵在上的奇函数，∴， ∵为上的增函数，∴， ∵对恒成立，∴， ∵在上单调递增，∴， ，使不等式成立，∴， ∵在上单增，在上单减， ∴，∴，∴， 另解：，使不等式成立， ∴， ∵，∴在上单减，在上单增 ∴ ∴即  ∴对恒成立 ∴， ∵在上单增，∴， ∴，∴． 【巩固训练】 1．已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 2．若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用完全平方公式求出，再由完全平方公式求出，即可得解. 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . 3．若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 4．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据为奇函数，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由函数 为奇函数，可得， 当时，可得，则，且， 由，可得，可得， 经检验，时，为奇函数，故. 5．（多选）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确； 故选：ACD. 6．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 7．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可. 【详解】因为（且）在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 8．对，记则函数的最小值为______. 【答案】1 【分析】在同一坐标系内作出函数，的图象，结合图像分析求解即可. 【详解】在同一坐标系内作出函数，的图象，如图所示， 观察图象知，当时，；当时，； 当时，，因此 函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数取得最小值1. 故答案为： 9．已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）由函数为指数函数有，且求出参数值，即可得解析式； （2）利用奇偶性定义判断证明函数的奇偶性； （3）利用指数函数的单调性列不等式求解集. 【详解】（1）由题意，可得或， 又指数函数中且，故，则； （2）是奇函数，由解析式知函数定义域为R， 由，故为奇函数； （3）由在定义域R上单调递增，则， 所以，可得或，解集为. 10．已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【详解】（1）函数 的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 【强化训练】 1．已知a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，满足，而，即“”不能推“”； 由，得可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 3．已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得，结合基本不等式求解即可.． 【详解】由，得， 联立方程，解得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 则，当且仅当，即取等号． 4．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性转化不等式为，再利用单调性得到，解不等式即可. 【详解】易见函数，是R上的递增函数，故是R上增函数. 又，满足，即是奇函数，故即， 故，即，所以实数a的取值范围是. 故选：B. 5．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 6．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 7．（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A．轴是图象的一条对称轴 B．当时， C．图象关于原点对称 D． 【答案】AD 【分析】根据偶函数对称性判断A；根据偶函数的定义求函数解析式，即可判断B；举反例说明C错误；利用基本不等式判断D. 【详解】对于选项A：因为函数是定义在R上的偶函数，可知函数的图象关于轴对称， 所以轴是图象的一条对称轴，故A正确； 对于选项B：当时，， 当时，则，则，故B错误； 对于选项C：因为，不满足， 所以图象不关于原点对称，故C错误； 对于选项D：由选项B可知：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：AD. 8．（多选）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据给定的函数，利用函数奇偶性定义判断A；确定单调性判断BC；利用单调性及奇偶性求出不等式解集判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又不恒为0，因此的图象关于原点不对称，A错误； 对于B，当时，，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由函数在上单调递增，得任意的，， 有成立，C错误； 对于D，当时，，不等式， 解得或，因此所求解集为，D正确. 9．已知函数，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，可得为奇函数，根据指数函数，一次函数的单调性，分析可得的单调性，根据条件，整理可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】因为，定义域为R， 所以， 所以为奇函数， 又， 因为，所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 又在R上单调递减，所以在R上单调递减， 因为， 所以，则， 即，解得，即解集为. 故答案为： 10．设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)，证明见解析 (2)或 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，即，所以，则， 设，且，则， 由，得，则， 所以在上单调递减. （2）依题意，， 而函数在上单调递减， 则， 因此， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则， 所以m的取值范围是或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 指数与指数函数 重点目标： 1. 掌握n次方根、根式的定义与性质.熟练实现根式与分数指数幂的相互转化. 2. 掌握有理数指数幂的运算性质.能规范完成整数指数、分数指数幂的混合运算与化简求值. 3. 掌握指数函数的教材定义、定义域、值域.熟记指数函数的标准图像形态. 4. 掌握底数分类下指数函数的单调性、定点特征.能根据底数范围判断函数增减趋势. 5. 熟练利用指数函数单调性、图像特征进行指数式大小比较、简单不等式求解.掌握基础常考题型. 难点目标： 1. 精准区分偶次根式与奇次根式的运算差异.规避根式开方、绝对值化简的高频易错点. 2. 熟练处理负指数、分数指数、多层指数的复杂化简运算.突破指数幂综合运算难点. 3. 掌握复合型指数函数的定义域、单调性、值域求解方法.理解复合函数“同增异减”规律. 4. 综合运用指数函数性质解决恒成立、最值、不等式综合问题.对接中档拔高考点. 1、 重点知识 （一）根式与指数幂核心概念 1. n次方根定义：如果（）.那么x叫做a的n次方根. 2. 根式分类性质： ① 当n为奇数时.任意实数a有唯一n次方根.满足. ② 当n为偶数时.正数有两个互为相反数的n次方根.负数无偶次方根.. 3. 0的任意正数次方根均为0. （二）分数指数幂互化规则 1. 正分数指数幂：（）. 2. 负分数指数幂：（）. 3. 核心规定：0的正数次幂为0.0的负数次幂无意义. （三）有理数指数幂运算性质 · 设： 1. 2. 3. 4. （四）指数函数定义与基础性质 1. 定义：一般地.函数（且）叫做指数函数.其中x是自变量.定义域为. 2. 核心判定条件：底数为正常数且不等于1. 指数为单纯自变量x. 系数为1. 无附加常数项. 3. 通用固定特征：所有指数函数恒过定点.值域为.图像恒在x轴上方. （五）底数分类单调性规律 1. 当时.指数函数在上单调递增. 2. 当时.指数函数在上单调递减. 2、 难点知识 （一）核心易错难点 1. 根式化简陷阱：偶次根式开方必须加绝对值.奇次根式直接去根号.极易混淆导致符号错误. 2. 指数函数判定误区：形如均不是标准指数函数.必须严格满足定义条件. 3. 底数范围误区：忽略的前提.导致函数无意义、单调性判断错误. 4. 大小比较误区：未区分底数范围.直接默认单调递增.造成大小关系颠倒. （二）复杂指数运算难点 1. 多层指数、负指数、分式指数混合运算.需要统一化为分数指数幂再运算.禁止根式直接混合计算. 2. 整体代换求值：已知的值.求解等复合型式子.利用完全平方公式整体代换. 3. 根式嵌套化简：由内向外逐层转化指数幂.规避跳步运算导致的错误. （三）含参指数函数难点 1. 底数分类讨论：含参底数需分和两类讨论单调性、不等式解集. 2. 参数范围求解：根据指数函数单调性、定义域、值域约束.反求参数取值范围. 3. 恒过定点拔高：含参复合型指数函数.整理固定结构求解恒过定点坐标. （四）复合指数函数综合难点（期末压轴） 1. 复合结构拆分：形如的复合函数.外层为指数函数.内层为初等函数. 2. 单调性判定：遵循“同增异减”原则.结合外层底数范围、内层函数单调性综合判断. 3. 值域求解：优先求内层函数值域.结合外层指数函数单调性.求解整体函数值域. 4. 定义域约束：复合指数函数需满足内层函数有意义.结合整体结构确定完整定义域. （五）深度拓展拔高知识 1. 指数式大小比较拔高：底数不同、指数不同的复合型指数式.借助中间值0、1或构造函数单调性秒杀. 2. 指数不等式综合：结合定义域、单调性、奇偶性求解复合型指数不等式.是高考高频基础题型. 3. 指数函数最值恒成立：闭区间上复合指数函数最值求解.转化为参数恒成立、存在性问题. 4. 指数模型实际应用：指数增长、指数衰减模型.对接高考应用题考点. 5. 数形结合拓展：利用指数函数图像高低规律.快速判断底数大小、函数值范围. （六）全节高频失分点汇总 1. 偶次根式化简遗漏绝对值.符号出错. 2. 混淆指数函数定义.误判非标准指数函数. 3. 解指数不等式不分类讨论底数范围.解集不完整. 4. 复合函数单调性判断忽略内层定义域.区间错误. 5. 指数幂运算公式混用、正负指数转换失误. 6. 忽略指数函数值域恒正的隐藏条件.导致最值求解错误. 题型01 根式与分数指数幂 角度1：根式与分数指数幂互化 【典例】用分数指数幂的形式表示下列各式（其中，均为正数）： (1)； (2)； (3)． 【变式】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. 角度2：利用性质化简（求值） 【典例】化简求值 (1)计算； (2) 【变式】（1）化简：.（结果用分数指数幂表示） （2）化简：.（结果用分数指数幂表示） （3）求值：. 题型02 解指数方程与不等式 角度1：解指数方程 【典例1】已知，则x=（     ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 【变式1】解方程：． 【典例2】方程 的解是___________________． 【变式2】方程的解为__________； 角度2：解指数不等式 【典例1】不等式的解集为_____. 【变式1】不等式的解集为______． 【典例2】若函数，则不等式的解集为___________. 【变式2】已知函数，则不等式的解集为___________. 题型03 整体换元法求分数指数幂的值 【典例】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式】已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 题型04 指数函数的解析式问题 角度1：根据指数函数解析式求参数值 【典例】若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【变式】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 角度2：待定系数法求指数函数的解析式 【典例】若函数是指数函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式】下列函数式中，满足的是 A． B． C． D． 题型05 指数函数的图象问题 【典例1】函数（且）与的图象有可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【变式1】当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】若函数，（，且）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【典例3】四个指数函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为和 【变式3】已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型07 比较指数幂的大小 【典例1】、、、则、、的大小关系是 A． B． C． D． 【变式1】设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【典例2】已知则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【变式3】设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型06 指数型函数问题 角度1：指数型函数过定点问题 【典例】已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 角度2：指数型函数的单调性问题 【典例1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】函数的单调递增区间为______． 【变式2】函数在上单调______（填“递增”或“递减”）． 【典例3】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 角度3：指数型函数的奇偶性问题 【典例1】若函数是奇函数，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式1】函数为奇函数，则=（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【典例2】（多选）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 【变式】（多选）奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．的值域为 角度4：指数型函数的值域问题 【典例1】函数，的值域是(　　) A．R B． C．[9,243] D．[3,＋∞) 【变式1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，则其值域为___________. 【变式2】函数在上的值域为___________. 【典例3】已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求函数的值域. 【变式3】已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域. 题型07 指数函数的综合问题 【典例1】（多选）已知函数，其中，且，则下列结论中正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在其定义域上有零点 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上单调递增 【变式1】（多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．存在实数和使得 B．当实数时在上单调递增 C．对任意实数，函数的图像恒过定点 D．对任意小于0的实数，方程都有两实数解 【典例2】已知为奇函数． (1)求得的值，并用定义法证明函数在区间上的单调性； (2)设，若，求实数的取值范围. 【变式2】已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【巩固训练】 1．已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．若，且，则（   ） A． B． C． D．8 3．若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 4．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 5．（多选）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 6．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 7．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 8．对，记则函数的最小值为______. 9．已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 10．已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【强化训练】 1．已知a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 4．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 7．（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A．轴是图象的一条对称轴 B．当时， C．图象关于原点对称 D． 8．（多选）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 9．已知函数，则关于的不等式的解集是__________． 10．设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； / 学科网（北京）股份有限公司 $