精品解析：江苏省南京市金陵中学2027届高三8月开学考试数学试题

数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解集合，，再由集合并集的运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得，所以， 因为，所以， 则，即. 2. 已知一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出底面圆半径，由圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的母线长为，高为， 所以圆锥底面圆半径为， 则该圆锥的表面积为. 故选：C 3. 已知向量且则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出再利用投影向量公式求解. 【详解】解：因为， 所以 所以在上的投影向量为， 故选：D 4. 展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二项展开式的通项求解即可. 【详解】的展开式通项为， 当出现项时，，得， 故含项的系数为. 故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理，较容易，解答时要灵活运用展开项的通项公式. 5. 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件列举从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”的所有基本事件的个数，再计算“两音”同为打击乐器所包含的所有基本事件个数，最后求其概率. 【详解】从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”，组成的基本事件包含：{金、石}，{金、土}，{金、革}，{金、丝}，{金、木}，{石、土}，{石、革}，{石、丝}，{石、木}，{土、革}，{土、丝}，{土、木}，{革、丝}，{革、木}，{丝、木}，共15种情况，其中“两音”同为打击乐器的有{金、石}，{金、革}，{金、木}，{石、革}，{石、木}，{革、木}，共包含6种情况，则“两音”同为打击乐器的概率. 故选：B 【点睛】本题考查数学文化与古典概型相结合的考查，重点考查读懂题意，属于基础题型. 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 7. 已知，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据恒成立得出，再根据常值代换结合基本不等式计算最小值即可. 【详解】对于恒成立，且均单调递增， 则， 所以，所以 则， 当且仅当，即，取的最小值为2. 故选：B. 8. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题干条件得到和是周期为4的周期函数，再利用是奇函数，得到为偶函数，最后求出函数和在一个周期内的函数值，进而利用周期求出和的值. 【详解】因为，所以， 又，则有，因为是奇函数，所以， 可得，即，所以， 所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数， 因为是奇函数，所以， 将替换为可得，又， 所以，所以为偶函数，故A错误； 由是奇函数，则，所以，又， 所以，所以C选项错误； 由，得，所以B选项错误； 因为，， 所以， 所以，所以D选项正确． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是 B. 随机变量，若，则 C. 已知随机事件A，B，且，，若，则事件A，B相互独立 D. 已知变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，若样本中心点为，则实数m的值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据题意结合百分位数，由，故数据3，4，5，6，7，8，9的第分位数为第六个数8，故A错误；对于B、C 、D分别根据二项分布的期望与方差，条件概率公式，线性回归直线方程等知识逐一分析判断即可. 【详解】对于A， 由，故数据3，4，5，6，7，8，9的第分位数为第六个数8，故A错误； 对于B，随机变量，若， 则，故，故B正确； 对于C ，，，， 即， 故，所以事件A，B相互独立，故C正确； 对于D，由于经验回归方程必过样本中心点， 将样本中心点代入， 得，解得，故D错误. 故选： BC. 10. 已知正三棱台，，，下列说法正确的是（ ） A. 正三棱台体积为 B. 侧棱与底面所成角的余弦值为 C. 点A到面的距离为2 D. 三棱台的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得正三棱台体积判断选项A；求得侧棱与底面所成角的余弦值判断选项B；求得点A到面的距离判断选项C；求得三棱台的外接球的表面积判断选项D. 【详解】设中心为，中心为O，连接， 则 ， 在四边形中，过作于D， 则，则 取中点N，过点N作，交于H，交直线于M， 则点M为三棱台的外接球的球心. 由，可得， 则， 由，可得， 选项A：正三棱台体积为.判断错误； 选项B：设侧棱与底面所成角为，则 又，则， 则侧棱与底面所成角的余弦值为.判断正确； 选项C：设点A到面的距离为h， 由，可得 又等腰梯形中，， 则， 则，解之得. 则点A到面的距离为.判断正确； 选项D：三棱台的外接球的半径为， 则三棱台的外接球的表面积为.判断正确. 故选：BCD 11. 在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导验证即可；对于B，利用不等式，取特殊值验证即可；对于C，由题意，利用分析法证明即可；对于D，由题意，利用分析法证明即可. 【详解】对于A，由题意得，由， 函数在上递减，在上递增，且当时，. 所以当时，，故；当时，，故； 由此是的极大值点，故A正确； 对于B，令，则， 所以在上单调递增，由题意得， 由不等式，取，得， 所以，由此， 又单调递增，所以，则，故B错误； 对于C，由题意，， 要证，只需证， 等价于，由，得， 所以只需证，由于，则成立，故C正确； 对于D，直线的斜率， 要证，等价于， 等价于，因为，所以， 由于， 由B已证，即，且， 又，所以，所以，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为：5 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，由题意可得对恒成立，分离参数，再结合三角函数的性质即可得解. 【详解】， 因为函数在区间上单调递减， 所以对恒成立，即恒成立， 当时，， 所以，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数的一段图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调减区间； （3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到和最小正周期，进而得到，代入求出，得到解析式； （2）整体法求出函数单调递减区间，得到答案； （3）求出取最小值，得到，解不等式，得到答案. 【小问1详解】 由图象知，， 因为，所以， 将图象上的点代入中，得， 结合图象可知，则， 又，所以，故. 【小问2详解】 令得：， 又，令得：；令得：， 在上的单调减区间是； 【小问3详解】 ， 当，即时，取最小值. 又存在，使不等式成立， ，即，即， 即， 或， 的取值范围为. 16. 某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100数据，统计结果如表所示： 得分 男性人数 20 60 40 40 30 10 女性人数 10 70 60 75 50 35 （1）把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类，请完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别有关？ 不太熟悉 比较熟悉 合计 男性 女性 合计 （2）为增加员工消防安全知识及自救､自防能力，现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛．在每轮比赛中，小组两位成员各答两道题目，若他们答对题目个数和不少于3个，则小组积1分，否则积0分．已知与在同一小组，答对每道题的概率为答对每道题的概率为，且，理论上至少要进行多少轮比赛才能使所在的小组的积分的期望值不少于5分？附：参考公式及检验临界值表 【答案】（1）填表见解析；有的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关；（2）理论上至少要进行16轮比赛． 【解析】 【分析】（1）根据题设条件累加出男性和女性不太熟悉及比较熟悉的人数，填入列联表中即可；并根据卡方公式计算出卡方值，与表中6.635进行比较，即可判断相关性； （2）先求得一轮比赛积1分的概率，因，则积一分的概率是有一个范围，存在一个最大值，而A、B所在小组在n轮比赛中的积分设为，则，则根据二项分布的期望，求得得5分时，至少要进行的比赛数. 【详解】（1） 不太熟悉 比较熟悉 合计 男性 120 80 200 女性 140 160 300 合计 260 240 500 有的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关． （2）在一轮比赛中积1分的概率为 ， 又，则 ，且 ，此时， 设所在的小组在轮比赛中的积分为，则， ，所以理论上至少要进行16轮比赛． 【点睛】关键点点睛：先求得在一轮比赛中积1分的概率，因答对题得分的概率未知，故求得积1分时的概率是一个关于的函数，问题求解最小比赛次数，则需选择函数的最大值最为概率，且所在的小组在轮比赛中的积分，从而利用期望值求得结果. 17. 已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为. （3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为. 【小问1详解】 由可知关于对称，又， 所以函数在上单调递增，可得，即， 解得，. 【小问2详解】 由（1）可知，则不等式， 可化为，所以， 即，令，又，可得， 即，显然函数，为对称轴， 所以在上单调递增， 由题意得，即可， 所以，所以的取值范围为. 【小问3详解】 ，所以， 即为，可化为： ，令，即 ，所以关于的方程 有四个不同的实数解等价于有两个不相等的 正实数根，，满足，， 解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）不妨设， ， 由余弦定理得， 在中，， 平面平面，平面平面平面， 平面． 平面， 四边形是菱形，， 又，且平面平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，平面平面， 平面， 又四边形是菱形，， 均为等边三角形， 以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面， 为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则即． 令，可得，， 平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数； （3）已知，求证：当时，函数有两个不同的极值点，（），且． 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. （3）当时，，，. ，，，，， 且在处由负变正，故有两个不同的实根，的符号依次为正、负、正，所以有两个不同的极值点. 又，，故. 令，则，取，由得，所以. 又且在上单调递增，故. 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）利用导数求函数的最值，解决恒成立问题； （3）利用函数单调性判断函数极值点个数，再由极值点的范围证明不等式. 【小问1详解】 ，故. 因为，所以的符号由决定. 当时，等价于，故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，故在上单调递减. 当时，等价于，故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由恒成立，且，可知为的极大值点，于是，即. 反之，当时，. 先证：设，则， 当时，当时，故在处取最小值， 所以（当且仅当时取等号）. 由，得，故恒成立. 综上，. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量且则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是 B. 随机变量，若，则 C. 已知随机事件A，B，且，，若，则事件A，B相互独立 D. 已知变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，若样本中心点为，则实数m的值为2 10. 已知正三棱台，，，下列说法正确的是（ ） A. 正三棱台体积为 B. 侧棱与底面所成角的余弦值为 C. 点A到面的距离为2 D. 三棱台的外接球的表面积为 11. 在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_______ 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是______． 14. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数的一段图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调减区间； （3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 16. 某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100数据，统计结果如表所示： 得分 男性人数 20 60 40 40 30 10 女性人数 10 70 60 75 50 35 （1）把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类，请完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别有关？ 不太熟悉 比较熟悉 合计 男性 女性 合计 （2）为增加员工消防安全知识及自救､自防能力，现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛．在每轮比赛中，小组两位成员各答两道题目，若他们答对题目个数和不少于3个，则小组积1分，否则积0分．已知与在同一小组，答对每道题的概率为答对每道题的概率为，且，理论上至少要进行多少轮比赛才能使所在的小组的积分的期望值不少于5分？附：参考公式及检验临界值表 17. 已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数； （3）已知，求证：当时，函数有两个不同的极值点，（），且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $