精品解析：江苏省海安高级中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三年级数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （i为虚数单位）的实部为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数（，）在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程（）的实数解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与a的取值有关 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 10. 设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有（a为常数），，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 11. 若函数在上存在减区间，则和的取值可以为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 13. 已知函数的极小值点为2，则的极大值点为_________． 14. 已知函数，若，且，则的取值范围为____，的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，且，求数列的前项和． 16. 已知集合，集合，． （1）求集合，； （2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角B的大小； （2）若，，求边a的长； （3）求的取值范围． 18. 已知直线与椭圆：交于，两点（点在第一象限），点在椭圆的内部，射线，与椭圆的另一交点分别为，． （1）求点坐标； （2）求证：直线的斜率为定值； （3）求四边形面积的最大值． 19. 设是定义在的可导函数，且不恒为，记（）．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）． （1）判断函数（）是否既是“阶负函数”又是“阶不减函数”，并说明理由； （2）若（）既是“阶负函数”，又是“阶不减函数”，求实数的取值范围； （3）对任给的“阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“阶负函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （i为虚数单位）的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】易知， 因此的实部为. 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集为空集，即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：A 3. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据不等式的性质可知，，则“”，当c=0,不等式不成立，不能推出结论，反之如果“”，只有c>0时，可以推出条件，因此是“”是“”的既不充分也不必要条件，选D. 考点：充分条件的判定 点评：解决该试题的关键是利用充分条件的概念，判定条件和结论之间的关系，属于基础题． 4. 已知函数（，）在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据已知在上单调递增，单调递增，所以， 根据复合函数单调性在区间单调递增， 所以()单调递增，现在分段函数在每个分段上都是单调递增， 如果要保证在上单调递增，还要满足，即， 即，所以，解得或，由于，所以. 5. 已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解. 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 6. 关于x的方程（）的实数解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与a的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】令，再结合，两类情况去绝对值讨论，即可求解. 【详解】令 ，原方程转化为 ，分两种情况讨论： 当 时：，方程变为， 若 ，解得唯一非负解 ，对应原方程解 ； 若 ，此情况无实根； 当 时：，方程变为，即， 若 ，解得唯一负解 ，对应原方程解 ； 若 ，此情况无实根； 综上：无论 取正还是负，方程都仅有1个实数解. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于都与有关系，如果是的话，对应分别是，和，分别构建，结合导数分析运算可得，方法一：构建，结合导数分析运算可得；方法二：利用常见不等式，，分析可得. 【详解】先比较， 构建，则， 构建，则， 构建，则对恒成立， ∴在上单调递增，则，可得， 则，即， 构建，则在上单调递减，且， 故在内存在零点， 当时，；当时，； 且，可得：当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， ∵，则， 可得，且， 故在内恒成立，则在内恒成立， ∴在上单调递增，则， 即，则，所以； 再比较， 方法一：构建，求导， ∵，则，即， 故在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 即，则，所以； 方法二（结论法）：我们知道，， 所以恒成立 令，可得，所以； 综上所述：. 故选：D. 8. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的单调性和奇偶性，转化不等式为在恒成立，再构造函数，利用导数研究其最小值，即可求得的范围，从而求得其最大值. 【详解】，定义域为，且， 所以是奇函数. 又，且，， 所以恒成立. 所以在上单调递增. 因为， 所以，即. 所以，即在恒成立； 令，则； 令，则， 所以在单调递增. 又， 所以存在，使得，即. 则当，，故，此时单调递减； 当，，故，此时单调递增. 所以当时，取得最小值. 又，两边取对数可得，也即； 所以的最小值. 所以，则的最大值为. 【点睛】处理本题的关键，一是熟练掌握利用函数单调性和奇偶性求解不等式的方法；二是熟练掌握利用导数求函数最小值的问题，尤其是本题中涉及隐零点的处理，属综合困难题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 10. 设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有（a为常数），，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，在中，令得，为单调函数，所以；对于B，由，得，对于C，设，则由，可得，对于D，由，得，为等差数列，且，所以. 【详解】在中，令得， 所以，又为单调函数， 所以，即，所以， 所以，所以A错误； 由，得，所以B正确； 设，则由， 可得，所以， 所以，即为周期函数，所以C正确； 由，得，即， 所以为等差数列，且，即， 所以，所以， 所以D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于D选项，由，得，为等差数列，且，所以. 11. 若函数在上存在减区间，则和的取值可以为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对函数求导，并根据函数单调性可判断出满足的不等式，再由不等式性质或构造函数判断各选项是否符合题意即可. 【详解】易知，且，求导可得， 令，则恒成立； 又函数在上存在减区间，所以可得在上有解； 即，可得，因此. 对于A，易知， 即，也即， 当时，所以，满足，A符合题意； 对于B，时，，B符合题意； 对于C，由不等式恒成立可得， 若，则，因此，当且仅当时等号成立； 所以，又，可得，C符合题意， 对于D，易知， 所以，所以，不满足，D不合题意. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：2 13. 已知函数的极小值点为2，则的极大值点为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】求导函数，令，由极值点的定义得，方程必有一根为2，且2是的极小值点，结合函数单调性可得答案. 【详解】由题意，， 因为函数的极小值点为2， 所以， 即，解得， 则， 令，则或， 因为，函数的极小值点为2， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 从而，所以， 由，故， 所以的极大值点为. 故答案为：3. 14. 已知函数，若，且，则的取值范围为____，的取值范围为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到，，确定，排除等号成立的条件，计算得到答案. 【详解】，画出函数图像，如图所示： 根据图像知：且，故，， 故，即，， ，等号不成立，故，即. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，且，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项的性质，结合的值，求出和，最后写出数列的通项公式. （2）先求数列的首项，再根据项数的奇偶分类讨论求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，，成等差数列，所以， 代入，，即， 所以． 又，所以， 所以． 故． 【小问2详解】 由（1）知，，则，且， 当为偶数时， . 当为奇数时， ． 综上，. 16. 已知集合，集合，． （1）求集合，； （2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 当时，； 当时，； 当时，． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由不等式可得，分类讨论与的关系，即可得到结果 （2）根据实数分类讨论，结合区间左右边界，保证集合中有且仅有一个整数，即可得到结果. 【小问1详解】 由，解得或，所以或． 又， 当时，； 当时，； 当时，． 【小问2详解】 由于，且集合中有且仅有一个整数. 当时，，则，舍； 当时，，此时， 中仅有整数，则，即； 当时，，中仅有整数， 则，即． 综上，实数k的取值范围为或． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角B的大小； （2）若，，求边a的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理求解； （2）由利用同角关系式的平方关系求出，利用三角形内角和将转化为，利用两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出. （3）利用降次公式将转化为，利用三角形内角和将转化为，利用两角差的余弦公式得到，利用余弦函数的图形和性质得到所求. 【小问1详解】 在中，由正、余弦定理得， ， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， ， 在中，，所以. 【小问3详解】 因为，所以， 故，因此， 所以． 18. 已知直线与椭圆：交于，两点（点在第一象限），点在椭圆的内部，射线，与椭圆的另一交点分别为，． （1）求点坐标； （2）求证：直线的斜率为定值； （3）求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）设，，则，， 所以， 即，整理得， 又因为在椭圆内部，所以， 所以． 同理，设，得. 相减得， 因为，所以，则， 所以直线的斜率为2，故直线的斜率为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）直线方程与椭圆方程联立求解即可. （2）设，，代入椭圆方程整理得；设，同理可得，作差求得，进而得到，即可得证. （3）设：，与椭圆方程联立，结合有两个交点得到；根据弦长公式及平行线间的距离公式，结合梯形面积公式求出四边形面积，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 由，整理得，解得. 又因为点在第一象限，所以，故点坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的方程为，根据对称性不妨设， 联立，消得，， 由，得． 则，， 所以. 又，点到直线的距离， 所以． 令， 所以， 令，易知在上为减函数， 令，即，解得， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以当时，面积取最大值为. 19. 设是定义在的可导函数，且不恒为，记（）．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）． （1）判断函数（）是否既是“阶负函数”又是“阶不减函数”，并说明理由； （2）若（）既是“阶负函数”，又是“阶不减函数”，求实数的取值范围； （3）对任给的“阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“阶负函数”？并说明理由． 【答案】（1）（）既是“阶负函数”又是“阶不减函数”． 理由：因为（），所以． ， 所以（）既是“阶负函数”又是“阶不减函数”． （2） （3）不一定为“阶负函数”. 理由如下：（1）构造反例说明存在反例，构造函数， 对应，即， 显然函数在上处处可得， 当时，；当时，，所以函数在处可导. 因此函数在上处处可导，且不恒为. 当时，，单调递增； 当时，，为常函数； 因此对，，所以是“阶不减函数”. 取常数，因为，所以对所有恒成立，满足条件. 又当时，，不满足“对任意，”的定义，因此不是“阶负函数”. （2）再构造函数，，， 所以为“阶不减函数”， 对任意，，取常数，则恒成立. 又对任意，，所以为“阶负函数”. 综上所述，既存在满足条件但不是“阶负函数”的函数，也存在满足条件且是“阶负函数”的函数， 因此，函数不一定为“阶负函数”. 【解析】 【分析】（1）根据“阶负函数”、 “阶不减函数”的定义求解判断即可； （2）根据“阶负函数”、 “阶不减函数”的定义求解即可.； （3）分别构造两个函数及，进而可说明函数不一定为“阶负函数”. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为（）是“阶负函数”， 所以，因为，得， 令，在上单调递增，所以， 要对成立，故. ②又是“阶不减函数”， 所以对所有恒成立， 得对所有恒成立，所以． 综上①②，实数的取值范围． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $