专题01 平方根（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“概念理解-性质应用-规律探究-实际建模”为主线，构建平方根全题型方法体系，突出运算能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根的概念理解|1典例+4变式|概念辨析与符号表达|从定义出发，区分平方根与算术平方根| |求一个数的平方根|1典例+3变式|去根号后再求平方根|强化根号化简与计算准确性| |算术平方根的非负性|1典例+6变式|非负数性质构建方程|衔接方程思想，培养推理意识| |规律探究|1典例+3变式|小数点移动规律归纳|发展抽象能力与归纳思维| |实际应用|1典例+5变式|问题转化与方程建模|体现数学与现实的联系，培养应用意识| |已知平方根求原数|1典例+4变式|相反数性质列方程|深化平方根性质的逆向应用| |利用平方根解方程|1典例+3变式|方程转化与开平方法|强化代数运算能力| |综合应用|1典例+4变式|跨情境问题整合|提升知识迁移与综合解题能力|

专题01 平方根 （题型突破·举一反三） 题型01 平方根的概念理解 题型02 求一个数的平方根 题型03 利用算术平方根的非负性求解 题型04 与算术平方根有关的规律探究问题 题型05 算术平方根的实际应用 题型06 已知一个数的平方根，求这个数 题型07 利用平方根解方程 题型08 平方根的应用 ▌题型01 平方根的概念理解 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平方根的含义，求解一个数的算术平方根，由非负数的一个平方根的平方可得原数可判断D，由求解一个非负数的算术平方根的方法可判断A，B，C，从而可得答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，故A不符合题意； B、，原式计算正确，故B符合题意； C、，原式计算错误，故C不符合题意； D、，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和倒数的概念，熟练掌握平方根，算术平方根和倒数相关概念是解题的关键． 根据平方根，算术平方根，和倒数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故本选项不符合题意； B．倒数等于它本身的数有，故本选项不符合题意； C．算术平方根等于它本身的数是0，1，故本选项符合题意； D．的平方根为，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4】（24-25七年级上·浙江台州·期中）下列说法中正确的个数是（    ） ①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：①的平方根是，原说法错误； ②当时，有平方根，原说法错误； ③非负数a的平方根可以是负数，原说法错误； ④负数没有平方根，说法正确； ⑤0的平方根等于本身，原说法错误； 正确的为④， 故选A． ▌题型02 求一个数的平方根 有时候题目会故意没有去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是________；的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 根据算术平方根的定义、平方根的定义计算即可． 【详解】解：的算术平方根是，的平方根是 故答案为：，． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是________；的平方根是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根，平方根，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用算术平方根和平方根的定义得出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 的平方根是， 故答案为：；． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知某数的一个平方根为，则该数是_______________，它的另一个平方根是_______________． 【答案】 /0.25 / 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数． 根据平方根的平方等于被开方数和一个正数的平方根互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵ 这个数的一个平方根为， ∴这个数为，另一个平方根为， 故答案为：；． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）25的算术平方根是___________，的平方根是___________，的立方根是___________. 【答案】 5 / 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的概念的运用．根据算术平方根、平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：25的算术平方根是； 的平方根是； 的立方根是； 故答案为：5，，． ▌题型03 利用算术平方根的非负性求解 解决此类题目的基本方法是根据算术平方根的意义，得各被开方数都是非负数，由此得方程或不等式(组)，通过方程或不等式(组)确定出一个字母的取值，再根据题意，确定另一字母的取值. 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值，根据非负数的性质：平方项和算术平方根均非负，和为零则每个部分为零，由此求出a和b的值，再计算代数式的值． 【详解】解：因为，，且， 所以，． 由，得，即； 由，得，即． 因此， 所以． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是_____． 【答案】2025 【分析】本题考查绝对值，二次根式的被开方数，平方等的非负性，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将方程左边分组并完成平方，得到三个非负项之和为零，从而每个项必须为零，求出x，y，z的值，即可解答． 【详解】解：原方程可化为． ∵，，， ∴，，， 即， 解得，，． ∴． 故答案为：2025． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，为有理数且，则的平方根为_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及平方根的定义，根据算术平方根的定义得到被开方数为非负数，即可确定的值，再求的值，进而确定的平方根．掌握算术平方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若a、b为实数，且与互为相反数，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴且， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知等式，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值等，利用非负数的性质推出，，是解题的关键； 根据非负数的性质，推出，，进一步可得，，再代入表达式计算即可． 【详解】解：，，， ，， ，， 解得，． ， ， ． 故答案为：． 【变式5】（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】，其中均是整数， 又 ，， 当，， 解得，， 此时， 当，， 解得或，， 此时或， 时，或或， 故答案为：． 【变式6】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了实数的性质，代数式求值，根据算术平方根的非负性得出，，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴只有当时满足题意， ∴， 故答案为：8． ▌题型04 与算术平方根有关的规律探究问题 被开方数a的小数点移动与它的算术平方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动两位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：由，可得. 【典例4】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：=____，=____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【答案】4；40；规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位 【分析】先根据算术平方根的定义求出16和1600的算术平方根，再对比被开方数和算术平方根的小数点位置总结规律即可． 【详解】解：，， 被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． ▌题型05 算术平方根的实际应用 1.把实际问题转化为数学问题，一般是转化成求一个数的算术平方根； 2.根据算术平方根的定义，列出方程，利用方程思想解决. 【典例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）面积为 15 的正方形的边长为 ，则 的值在 （     ） A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法求无理数的范围，是解题的关键．先求出正方形的边长，再利用夹逼法，求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴（负值已舍掉）； ∵，即：， ∴m的值在3和4之间， 故选：C． 【变式1】（22-23七年级上·浙江金华·期末）依次连结方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（        ）    A．2 B． C． D．2.5 【答案】B 【分析】首先求出阴影正方形的面积，即可得出边长． 【详解】解：阴影正方形的面积为， ∴阴影正方形的边长是， 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，关键是明确算术平方根的意义． 【变式2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和． 根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：20． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，5张完全一样的长方形卡片放入一张面积为17的正方形卡片中（卡片不重叠，无缝隙），则未被长方形卡片覆盖的A区域与B区域的周长和为_______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算的应用，算术平方根的应用． 设长方形的长为a，宽为b． 根据正方形的面积求得a，b，然后根据图中等量关系列代数式求值即可． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b． 因为面积为17的正方形卡片可知，， 解得：，， 所以未被长方形卡片覆盖的A区域与B区域的周长和为： ． 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的个直角三角形拼成一个大正方形（如图），那么该大正方形的边长为_____. 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，由题意得到大正方形的面积为，再根据正方形的面积计算方法，求出正方形面积的算术平方根即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，大正方形的面积为， ∴该大正方形的边长为， 故答案为：． 【变式5】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 【答案】(1)； (2)小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等 【分析】本题是考查代数式的表达及化简，以及代数式与几何图形的面积和周长结合的综合问题．根据等腰直角三角形、正方形面积计算公式，利用等量代换思想，用代数式表示出面积，是解题的关键． （1）根据图中图形的面积关系，得到④号正方形的面积和①号三角形的面积的关系，计算出④号正方形的面积和边长． （2）根据图中边长的关系，用含的代数式表达图中平行四边形的周长和等腰梯形的周长，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵③④⑤号图形的面积的和与①号三角形的面积相等，③⑤号三角形的面积和与④号正方形的面积相等， ∴④号正方形的面积①号三角形的面积， ∵①号三角形的面积为：， ∴④号正方形的面积， ∵④号正方形的面积， ∴边长； （2）解：图中平行四边形的周长为：， 图中等腰梯形的周长为：， ∴小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等. ▌题型06 已知一个数的平方根，求这个数 一个正实数的平方根有两个，且互为相反数，反之，若两个数是一个正实数的平方根，则这两个数互为相反数或相等. 【典例6】（25-26七年级上·浙江台州·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】16 【分析】本题考查平方根，涉及相反数、解一元一次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 则一个平方根为，另一个平方根为， 故这个正数为， 故答案为：16． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·期末）已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， 故，． 将，代入， 得， 即， 解得， ∵， 故的值为． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江舟山·期中）若与是某一个正数的两个平方根，则的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根．根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此求解即可． 【详解】解：由题意，与互为相反数， 所以， 即， 解得． 故答案为：2． 【变式3】（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是______． 【答案】5 【分析】此题考查了平方根、算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根的性质，从而完成求解． 根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值，根据代数式的性质计算，即可完成求解． 【详解】解：∵的平方根为， ∴， ∴ ∵的平方根为， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为5． 故答案为：5． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，算术平方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，再求解的值即可； （2）将，，的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，； ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． ▌题型07 利用平方根解方程 利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根. 【典例7】（21-22七年级上·浙江金华·期中）一个长方形的长是宽的2倍，面积为，则这个长方形的周长是_____． 【答案】 【分析】设这个长方形的宽为，从而可得长为，再利用长方形的面积公式建立方程，利用平方根解方程求出的值，然后根据长方形的周长公式即可得． 【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为， 由题意得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 即这个长方形的宽为，长为， 则这个长方形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，正确建立方程是解题关键． 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵ ， ∴； （2）解：∵ ， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵， ∴， （4）解： ∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)①，；②， (2)满足 (3)5或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据（1）中的计算结果可得该运算满足交换律； （3）由，可得，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：① ．     ．     ② ．     ． （2）解：由（1）可得：；， ∴该运算满足交换律． （3）解：∵是一个非负数， ∴， ∴，     ∴     ， ∴，     ∴， ∴， ∴或． 【变式3】求下列各式中的． （1）             （2）； （3） 【答案】（1） ；（2）＝16或＝－18；（3）或 【分析】用直接开平方解方程即可 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴＋1＝±17 ＝16或＝－18． （3）∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了直接开平方法解方程，开平方法是解题的关键． ▌题型08 平方根的应用 【典例8】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是__________． 【答案】 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）已知数3，27，加入数，使这三个数中，有一数为另外两个数的乘积的一个平方根，则的值可以是__________________．（写出所有可能） 【答案】或243或 【分析】根据题意先分3种情况：①；②，③，然后分别解之即可求出a． 【详解】解：依题意可知：①，解得； ②，解得； ③，解得． 故答案为：或243或． 【点睛】本题主要考查了平方根概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【变式2】（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为______． 【答案】 【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的倍，设未知数，根据长方形面积等于正方形面积列出方程，解方程即可． 【详解】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的倍， 设短直角边为，则长直角边为，由题意得， ， 解得或舍去， 所以周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，理解平方根的定义，掌握直角三角形、长方形的性质是正确解答的前提． 【变式3】（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 【变式4】（23-24七年级上·浙江温州·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图1样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．    (1) A类正方形的边长是________； (2)求长方形邀请函的周长； (3)小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含意，如图2所示，则修改后的阴影部分的周长是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，则长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解即可； （3）如图，由题意知，阴影部分由两个类长方形，两个类长方形，一个类正方形组成，则类长方形的长为，宽为2，周长为；类长方形的长为2，宽为，周长为；根据阴影部分的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴长方形邀请函的周长为； （3）解：如图，由题意知，阴影部分由两个类长方形，两个类长方形，一个类正方形组成，   类长方形的长为，宽为2，周长为； 类长方形的长为2，宽为，周长为； ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根 （题型突破·举一反三） 题型01 平方根的概念理解 题型02 求一个数的平方根 题型03 利用算术平方根的非负性求解 题型04 与算术平方根有关的规律探究问题 题型05 算术平方根的实际应用 题型06 已知一个数的平方根，求这个数 题型07 利用平方根解方程 题型08 平方根的应用 ▌题型01 平方根的概念理解 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【变式4】（24-25七年级上·浙江台州·期中）下列说法中正确的个数是（    ） ①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌题型02 求一个数的平方根 有时候题目会故意没有去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是________；的平方根是________． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是________；的平方根是________． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知某数的一个平方根为，则该数是_______________，它的另一个平方根是_______________． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）25的算术平方根是___________，的平方根是___________，的立方根是___________. ▌题型03 利用算术平方根的非负性求解 解决此类题目的基本方法是根据算术平方根的意义，得各被开方数都是非负数，由此得方程或不等式(组)，通过方程或不等式(组)确定出一个字母的取值，再根据题意，确定另一字母的取值. 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，那么的值为_____． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是_____． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，为有理数且，则的平方根为_____． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若a、b为实数，且与互为相反数，则_________． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知等式，则_____． 【变式5】（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则_____． 【变式6】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则______． ▌题型04 与算术平方根有关的规律探究问题 被开方数a的小数点移动与它的算术平方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动两位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：由，可得. 【典例4】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则_____． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：=____，=____． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． ▌题型05 算术平方根的实际应用 1.把实际问题转化为数学问题，一般是转化成求一个数的算术平方根； 2.根据算术平方根的定义，列出方程，利用方程思想解决. 【典例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）面积为 15 的正方形的边长为 ，则 的值在 （     ） A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间 【变式1】（22-23七年级上·浙江金华·期末）依次连结方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（        ）    A．2 B． C． D．2.5 【变式2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，5张完全一样的长方形卡片放入一张面积为17的正方形卡片中（卡片不重叠，无缝隙），则未被长方形卡片覆盖的A区域与B区域的周长和为_______． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的个直角三角形拼成一个大正方形（如图），那么该大正方形的边长为_____. 【变式5】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． ▌题型06 已知一个数的平方根，求这个数 一个正实数的平方根有两个，且互为相反数，反之，若两个数是一个正实数的平方根，则这两个数互为相反数或相等. 【典例6】（25-26七年级上·浙江台州·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·期末）已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 【变式2】（25-26七年级上·浙江舟山·期中）若与是某一个正数的两个平方根，则的值是______． 【变式3】（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求，，的值； (2)求的平方根． ▌题型07 利用平方根解方程 利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根. 【典例7】（21-22七年级上·浙江金华·期中）一个长方形的长是宽的2倍，面积为，则这个长方形的周长是_____． 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【变式3】求下列各式中的． （1）             （2）； （3） ▌题型08 平方根的应用 【典例8】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是__________． 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）已知数3，27，加入数，使这三个数中，有一数为另外两个数的乘积的一个平方根，则的值可以是__________________．（写出所有可能） 【变式2】（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为______． 【变式3】（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【变式4】（23-24七年级上·浙江温州·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图1样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．    (1) A类正方形的边长是________； (2)求长方形邀请函的周长； (3)小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含意，如图2所示，则修改后的阴影部分的周长是________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 平方根 (题型突破举一反三) 题型01平方根的概念理解 E 典例精析 【典例1】B E举一反目 【变式1】B 【变式2】C 【变式3】Cc 【变式4】A 题型02求一个数的平方根 三典例精析 【典例2】 【答案】 2 ±2 举一反目 【变式1】 【答案】 【变式2】 1 【答案】 4/0.25 2-0.5 【变式3】 【答案】 +2 0.2/5 题型03利用算术平方根的非负性求解 1/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例3】 【答案】-1 举一反三 【变式1】 【答案】2025 【变式2】 【答案】±3 【变式3】 【答案】-1 【变式4】 【答案】-8 【变式5】 【答案】5,3,1 【变式6】 【答案】8 题型04与算术平方根有关的规律探究问题 典例精析 【典例4】 【答案】450.11 举一反三 【变式1】 【答案】 10 351 【变式2】 【答案】4：40：规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根Va的小数点相应 的向左（或向右）移动一位 【变式3】 【答案】(1)6,22 2/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)Vn×(n+4)+4=V(n+2)}=n+2 (3)1014 题型05算术平方根的实际应用 典例精析 【典例5】C 举一反三 【变式1】B 【变式2】 【答案】20 【变式3】 【答案1片万 【变式4】 【答案】√2 【变式5】 【答案】(1)S=2;a=√2 (2)小曙的发现是正确的，图3中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等 题型06已知一个数的平方根，求这个数 三典例精析 【典例6】 【答案】16 举一反三 【变式1】 【答案】2 【变式2】 【答案】2 【变式3】 3/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】5 【变式4】 【答案】(1)a=-4,b=7,c=49 (2)±7 题型07利用平方根解方程 典例精析 【典例7】 【答案】36cm 举一反三 【变式1】 【答案】(1)x=±√2 (2)x=±V6 3x=±2 (4)x=±V5 【变式2】 【答案】(1)①-3，-3；②-3，-3 (2)满足 (3)5或-1 【变式3】 2 【答案】(1) x=±19： (2)x=16或x=-18:(3)x 9或xs、14 9 题型08 平方根的应用 典例精析 【典例8】 【答案】V2 E 举一反三 4/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1】 【答案】士9或243或3 【变式2】 【答案】12V5 【变式3】 【答案】(1)21 (237 【变式4】 【答案】(1)V2 2)16+8√2 (3)16V2+16 5/5