专题02 立方根（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

专题02 立方根 （题型突破·举一反三） 题型01 立方根的概念理解 题型02 求一个数的立方根 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 题型04 与立方根有关的规律探究问题 题型05 立方根的实际应用 题型06 平方根与立方根综合 题型07 利用立方根解方程 ▌题型01 立方根的概念理解 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．125的立方根是 C．算术平方根是它本身的数是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． 根据定义逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 64的平方根是，而不是8， ∴ A错误； ∵ 125的立方根是5，而不是， ∴ B错误； ∵ 算术平方根是它本身的数有0和1，而不是只有0， ∴ C错误； ∵， ∴的立方根是， ∴D正确； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句：①最大的负数是；②的平方根是；③两个负数的差一定是负数；④如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数．正确的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】逐一判断每个语句的正确性：①负数没有最大值；②，其平方根为；③两个负数的差可能为正数；④互为相反数的数的立方根也互为相反数．本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键． 【详解】∵ ①中，负数没有最大值，例如，故①错误； ∵ ②中，，3的平方根是，而非，故②错误； ∵ ③中，两个负数的差可能为正，如，故③错误； ∵ ④中，设两数为和，则与互为相反数，故④正确． ∴ 正确的序号是④． 故答案为：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）下列说法正确的是（    ）．   A．负数没有立方根 B．的立方根可以表示为 C．等于4 D．任何一个正数都有两个立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根．运用立方根的意义分析即可． 【详解】解：A、负数没有平方根但有一个负的立方根，故本选项不符合题意； B、的立方根可以表示为，故本选项符合题意； C、，因为，故本选项不符合题意； D、任何正数都只有一个正的立方根，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则  ②若，则 ③若，则  ④若，则 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，立方根的性质，根据绝对值的非负性，以及立方根的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则：， ∴；故①正确； 若，则或；故②错误； 若，则，故③错误； 若，则，故④正确； 故选D． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误； ②负数有立方根，该选项说法错误； ③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确； ④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误； ∴正确的说法有个， 故选：． ▌题型02 求一个数的立方根 1）定义法:求一个数a的立方根通常用开立方运算，先找出立方等于a的数，写出立方式，再由立方式写出a的立方根的值， 2）借助计算器:直接利用计算器求一个数a的立方根. 【典例2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（    ） 姓名： 洪涛    得分：______ 填空题（每小题25分，共100分）①2的相反数是 ；②倒数等于本身的数是 1 ； ③8的立方根是 2 ；④16的平方根是 4 ． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】B 【分析】按照立方根的定义、相反数的定义、倒数的定义以及平方根的定义一一判断，最后根据有理数的乘法计算出得分即可． 【详解】解：①2的相反数是，计算正确， ②倒数等于本身的数是1和，计算错误， ③8的立方根是2，计算正确， ④16的平方根是4和，计算错误， 真确的有2个，故洪涛同学得分（分） 故选：B． 【点睛】本题考查立方根、相反数、倒数，平方根，有理数的乘法等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【答案】 2 3 3 / / 0 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解决问题的关键．如果一个数的立方是a，则这个数的立方根是， 根据立方根的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴8的立方根是2； ， 的立方根是； （2）， 的立方根是3，即； （3）∵，∴的立方根是； （4）∵，∴的立方根是； （5）∵，∴0的立方根是0； （6）∵，∴9的立方根是 ． 故答案为：2，，3，3，，，0，． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算的结果是________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的运算是解题的关键． 直接利用算术平方根以及立方根的意义分别化简得出答案． 【详解】 ． 故答案为：3． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解． 【详解】由题意可知，， ， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江·单元复习）求下列各数的立方根： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)100 【分析】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）的立方根为； （2）的立方根为； （3）的立方根为； （4）的立方根为100． ▌题型03 已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】（22-23七年级上·浙江温州·期中）若，，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 当，时，， 当，时，， 故选：B． 【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）要使为最大的负整数，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，即，进而求出a即可． 【详解】解：∵最大的负整数为−1， ∴，即， ∴，即a＝±6， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了立方根的定义和绝对值的性质，解题关键利用最大的负整数为−1建立含有绝对值的方程，求出a的值． 【变式2】（20-21七年级上·浙江湖州·期末）若，，且的倒数是，求的值． 【答案】4 【分析】根据已知条件求出、、的值，再代入计算即可求解． 【详解】解： ， ， 的倒数是， 原式． 【点睛】此题考查了求代数式的值，根据算术平方根、立方根和倒数的意义分别求出、、的值是解题关键． 【变式3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，则的算术平方根为______． 【答案】7 【分析】根据立方根和算术平方根的定义进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根为. ▌题型04 与立方根有关的规律探究问题 被开方数a的小数点移动与它的立方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：由，可得. 【典例4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，，则_____． 【答案】47.4 【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根的计算等，熟知立方根的性质变形是解题的关键． 根据立方根的运算法则求出，接着求出，再计算的值即可． 【详解】， ， 又， ． 故答案为：47.4． 【变式1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）观察规律，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知，，，，，则_____，_____． 【答案】 1.285 2.342 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值． 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1) 解：依题意，（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可作答． （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； 故答案为：， （3）解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴x的立方根是． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； ▌题型05 立方根的实际应用 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用立方根的定义求出方程的解. 【典例5】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）一个正方体储水容器，已知其容积是，则该容器的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义； 首先设这个储水池的棱长为，根据题意可得， 然后根据立方根的定义计算出的值即可． 【详解】解：设这个储水池的棱长为， 这个储水池是正方体，且容积为， ， ， 即该容器的棱长是， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长为4，根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长，根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数． 【详解】解：∵， ∴这个魔方的棱长为4， ∴小正方体的棱长为2， ∴阴影部分的面积为：， ∴小正方形的边长为：， ∴点D在数轴上表示的数为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是立方根、平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 【变式4】（22-23七年级上·浙江温州·期中）底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则___________cm． 【答案】4 【分析】根据是两个立方体放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积，列式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为：4． 【点睛】本题考查立方根的应用．解题的关键是明确水位上升的高度等于水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积． 【变式5】（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 【变式6】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． 【详解】（1）解：立方体木块的体积是， 则棱长为； （2）解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 【变式7】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． ▌题型06 平方根与立方根综合 【典例6】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【答案】(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）根据，都是整数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可； （2）根据，都是分数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键 （1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可； （2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数， ，，， ，； （2）解：由（1）可知，，，； ， 的平方根是． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2)4 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，无理数大小的估算，熟记概念是解答本题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义，可列式求出a和b的值，对的估算，即可求得c的值； （2）将a，b，c的值代入即可得出答案． 【详解】（1）的平方根是， ， 解得， 的算术平方根是1， ， ， 解得， 是的整数部分，， ． （2），，， ， 所以的立方根是4． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． 【答案】-2 【分析】根据和互为相反数，可得，从而得到，再由的平方根是它本身，可得，即可求解． 【详解】解：和互为相反数， ， ， 解得：， 的平方根是它本身， ， ， ， 的立方根是． 【点睛】本题主要考查了立方根的性质，平方根的性质，熟练掌握立方根的性质，平方根的性质是解题的关键． ▌题型07 利用立方根解方程 在解含立方运算的方程时，一般先把方程化为的形式，再利用立方根的定义开立方，从而求出未知数的值，开立方只会得到唯一解.当有的形式时，先把看成一个整体再进行开立方，从而求出未知数的值. 【典例7】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）或；（2） 【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握立方根，以及平方根的概念是解本题的关键． （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程变形后，利用立方根定义开方即可求出解． 【详解】解：（1） 或 或； （2） ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）平方根：若，则； （2）立方根：若，则． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 或． （2）解：， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）利用方程思想，平方根的定义计算即可； （2）利用方程思想，立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) 或 (2) (3) 或 (4) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解一元二次（三次）方程，解题的关键是通过等式变形将方程转化为平方或立方等于某数的形式，再利用平方根、立方根的定义求解． （1）先将方程两边乘2消去系数，得到平方形式，再开平方求解； （2）移项后得到立方形式，利用立方根定义求解； （3）移项后得到平方形式，开平方后求解； （4）先移项再乘3消去系数，得到立方形式，利用立方根定义求解． 【详解】（1）解： ， ． 当时，；当时，． 或． （2）解： ， ． ∴． （3）解： ， ． 当时，；当时，． 或． （4）解： ∴ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 三典例精析 【典例1】D 举一反三 【变式1】D 【变式2】B 【变式3】D 【变式4】D 典例精析 【典例2】B 举一反目 【变式1】 【答案】 【变式2】 【答案】3 【变式3】 【答案】-3 【变式4】 【答案】(1)-6 a 3)0.2 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 立方根 (题型突破举一反三) 题型01立方根的概念理解 题型02求一个数的立方根 33 20.5-/0500 1/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)100 题型03已知一个数的应方根，求这个数 E 典例精析 【典例3】B 举一反目 【变式1】D 【变式2】 【答案】4 【变式3】 【答案】4或2或5 【变式4】 【答案】7 题型04与立方根有送的规律探究问题 三典例精析 【典例4】 【答案】47.4 举一反三 【变式1】 【答案】-400 【变式2】 【答案】 1.285 2.342 【变式3】 【答案】(1) 解：依题意， 64+64=4+(4)=0(答案不唯一) (2)a+b 3)5 2/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4】 【答案】(1)2,27 (2)①-72，②0.81 题型05立方根的实际应里 典例精析 【典例5】C 举一反三 【变式1】C 【变式2】D 【变式3】 【答案】 10-1000-V 【变式4】 【答案】4 【变式5】 【答案】(1)432立方厘米： (2)6厘米 【变式6】 【答案】(1)10cm (2)4cm 【变式7】 【答案】(1)5cm (2)4cm 题型06平方根与立方根综合 典例精析 【典例6】 5 【答案】(a=3, b=- 6或-6：a-b>a>b: 3/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)c=4 举一反三 【变式1】 【答案】(1)a=-27,b=9或a=-8,b=4(答案不唯一) 1 1 (2)a= 8 b=4(答案不唯一) 【变式2】 【答案】(1)a=9，b=-3,c=3 (2)±6 【变式3】 【答案】(1)a=9,b=-16,c=7 (2)4 【变式4】 【答案】-2 题型07利用立方根解方程 典例精析 【典例7】 【答案】(1)x=7或x=1:(2)x=4 举一反三 【变式1】 【答案】(1)x= 2或x=- 2 (2)y=-1 【变式2】 【答案】(1)x= 3 (2)x=-3 【变式3】 【答案】(1)x=5或x=-11 4/5 学科网 (2)x=-6 (3)x=3或x=-2 (4)x=0 www zxxk.com 5/5 让教与学更高效 专题02 立方根 （题型突破·举一反三） 题型01 立方根的概念理解 题型02 求一个数的立方根 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 题型04 与立方根有关的规律探究问题 题型05 立方根的实际应用 题型06 平方根与立方根综合 题型07 利用立方根解方程 ▌题型01 立方根的概念理解 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．125的立方根是 C．算术平方根是它本身的数是0 D．的立方根是 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句：①最大的负数是；②的平方根是；③两个负数的差一定是负数；④如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数．正确的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）下列说法正确的是（    ）．   A．负数没有立方根 B．的立方根可以表示为 C．等于4 D．任何一个正数都有两个立方根 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则  ②若，则 ③若，则  ④若，则 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌题型02 求一个数的立方根 1）定义法:求一个数a的立方根通常用开立方运算，先找出立方等于a的数，写出立方式，再由立方式写出a的立方根的值， 2）借助计算器:直接利用计算器求一个数a的立方根. 【典例2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（    ） 姓名： 洪涛    得分：______ 填空题（每小题25分，共100分）①2的相反数是 ；②倒数等于本身的数是 1 ； ③8的立方根是 2 ；④16的平方根是 4 ． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算的结果是________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 _______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江·单元复习）求下列各数的立方根： (1) ； (2)； (3)； (4)． ▌题型03 已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】（22-23七年级上·浙江温州·期中）若，，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）要使为最大的负整数，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 【变式2】（20-21七年级上·浙江湖州·期末）若，，且的倒数是，求的值． 【变式3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，则的算术平方根为______． ▌题型04 与立方根有关的规律探究问题 被开方数a的小数点移动与它的立方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：由，可得. 【典例4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，，则_____． 【变式1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）观察规律，，，则___________． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知，，，，，则_____，_____． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． ▌题型05 立方根的实际应用 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用立方根的定义求出方程的解. 【典例5】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）一个正方体储水容器，已知其容积是，则该容器的棱长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 【变式4】（22-23七年级上·浙江温州·期中）底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则___________cm． 【变式5】（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【变式6】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【变式7】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． ▌题型06 平方根与立方根综合 【典例6】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的立方根． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． ▌题型07 利用立方根解方程 在解含立方运算的方程时，一般先把方程化为的形式，再利用立方根的定义开立方，从而求出未知数的值，开立方只会得到唯一解.当有的形式时，先把看成一个整体再进行开立方，从而求出未知数的值. 【典例7】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）解方程： （2）解方程： 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期中）解方程 (1) (2) 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $