专题03 立方根和实数运算（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

专题03 立方根和实数运算（六大题型） 【题型1 立方根的概念】........................................................................................................1 【题型2 已知一个数的立方根求这个数】..............................................................................1 【题型3 立方根的实际应用】..................................................................................................1 【题型4 与立方根有关的规律探索】......................................................................................3 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】..........................................................................3 【题型6 实数的运算】..............................................................................................................4 【题型1 立方根的概念】 1.的立方根是 ，的立方根是 ． 2.8的立方根是 ． 3.1的立方根是 ；的立方根是 ． 4.27的立方根是 ；的平方根是 ． 【题型2 已知一个数的立方根求这个数】 1.若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 2.已知，且，则x= ． 3.已知的立方根是3，则 ． 【题型3 立方根的实际应用】 1.2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.我们知道，球的体积公式是，如图所示的乒乓球的体积为，则这个乒乓球的半径为（    ） A． B． C． D． 3.如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 4.已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【题型4 与立方根有关的规律探索】 1.如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 2.已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 3.观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 4.已知，，，则 ． 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】 1．已知一个数的两个不同的平方根是和，求这个数的立方根． 2．求的值：． 3．已知的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． 4．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 5．已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 【题型6 实数的运算】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2) 5.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 1．若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 2．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 3．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 立方根和实数运算（六大题型） 【题型1 立方根的概念】........................................................................................................1 【题型2 已知一个数的立方根求这个数】..............................................................................2 【题型3 立方根的实际应用】..................................................................................................3 【题型4 与立方根有关的规律探索】......................................................................................6 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】..........................................................................7 【题型6 实数的运算】..............................................................................................................9 【题型1 立方根的概念】 1.的立方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟知这两个概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， 又，27的立方根是3， 的立方根是3， 故答案为：，3． 2.8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根定义，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．根据立方根定义，进行求解即可． 【详解】解：8的立方根是2． 故答案为：2． 3.1的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握立方根的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：1的立方根是，的立方根是， 故答案为：1，． 4.27的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：根据立方根和平方根的定义求解． 【详解】解：， 的立方根是3； ， 的平方根是； 故答案为：3； 【题型2 已知一个数的立方根求这个数】 1.若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 2.已知，且，则x= ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根的运算，根据题意，得到，再解方程即可． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 3.已知的立方根是3，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 【题型3 立方根的实际应用】 1.2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 2.我们知道，球的体积公式是，如图所示的乒乓球的体积为，则这个乒乓球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，根据球的体积公式，代入数据即可求出答案 【详解】解：∵， ∴cm， 故选：A 3.如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为 则其边长为 故答案为：． 4.已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 【题型4 与立方根有关的规律探索】 1.如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2.已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 3.观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 4.已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】 1．已知一个数的两个不同的平方根是和，求这个数的立方根． 【答案】这个数的立方根是． 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，由题意得，解得，求出这个数是，然后利用立方根的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的两个不同的平方根是和， ∴，解得：， ∴这个数是， ∴这个数的立方根是． 2．求的值：． 【答案】 【分析】本题考查了运用立方根解方程，先整理得，再开立方，即可作答． 【详解】解：， ， ． 3．已知的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键． 根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的平方根是． 4．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 5．已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根．根据算术平方根、平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根为， ∴，则， ∵，而的立方根为， ∴，即， ∴， ∴的平方根是． 【题型6 实数的运算】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键， （1）利用负数指数幂、开立方、平开方对各项进行化简，再计算即可得到答案； （2）利用开平方、去绝对值、开立方对各项进行化简，再计算即可得以答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是∶ （1）先计算乘方和开方，然后计算括号内，再计算乘法，最后计算加减； （2）根据乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解∶原式． ； （2）解∶原式 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2)35 (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”，立方根，算术平方根定义． （1）根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算； （1）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解； （2）根据算术平方根、立方根、化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 5.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，绝对值等知识点， (1)原式去括号合并即可得到结果； (2)原式利用算术平方根定义，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值； 熟练掌握数的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）去绝对值符号，再根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）先计算乘方，算术平方根与立方根，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根和平方根，根据立方根的定义得到x的值是解题的关键．根据的立方根是4，从而得到，代入，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $