专题03 实数及其运算（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦实数核心概念与运算，通过12类题型构建“概念辨析-技巧应用-综合拓展”三阶训练体系，渗透抽象能力与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数概念与分类|2典例8变式|有限/无限小数分类法、定义辨析法|从无理数识别到实数体系构建，形成数系扩展逻辑链| |估算与整数部分|2典例8变式|夹逼法、整数小数分离法|基于平方根性质，实现无理数大小定位与拆分| |性质与数轴表示|2典例8变式|相反数/绝对值性质、数形结合法|从数的性质到几何直观，体现代数与几何融合| |运算与综合应用|6典例24变式|平方法比较、程序流程图解法、新定义转化法|从基础运算到实际问题、规律探究，培养推理意识与应用能力|

专题03 实数及其运算 （题型突破·举一反三） 题型01 无理数的识别 题型02 估算无理数的大小 题型03 无理数整数部分的有关计算 题型04 实数的分类 题型05 实数的性质 题型06 实数与数轴 题型07 实数的比较大小 题型08 实数的混合运算 题型09 实数运算与实际问题 题型10 程序设计与实数运算 题型11 实数运算与新定义问题 题型12 与实数运算相关的规律问题 ▌题型01 无理数的识别 要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数. 【典例1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可得出结果． 【详解】解：由题意得，是整数，是分数，是有限小数，属于有理数，故A、B、D选项不符合题意； 开方开不尽，是无理数，故C选项符合题意． 【变式1】（2026·浙江绍兴·二模）科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（     ） A．“常压下水的沸点是”中的100 B．“氧气在空气中的占比约为”中的 C．“月球公转周期27天”中的27 D．“圆周率π”中的π 【答案】D 【详解】解：选项A的是整数，属于有理数； 选项B的是分数，属于有理数； 选项C的是整数，属于有理数； 选项D的是无限不循环小数，是无理数． 【变式2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知下列实数：①②③，④0，⑤⑥⑦，⑧（每两个“3”之间依次多一个“1”）（只需填写序号）其中整数有：___________；分数有：___________；无理数有：___________． 【答案】②④；①③⑥；⑤⑦⑧ 【分析】本题主要考查了有理数的定义，无理数的定义，无理数是无限不循环小数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此结合整数和分数的定义求解即可． 【详解】解：， 整数有②④， 分数有①③⑥， 无理数有⑤⑦⑧， 故答案为：②④；①③⑥；⑤⑦⑧． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位：（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{     } “分数”席：{     } 【答案】(1)3 (2)； 【分析】本题主要考查了实数分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根，解题的关键理解相关定义． （1）根据无理数定义进行解答即可； （2）根据实数分类方法进行求解即可． 【详解】（1）解：，， （每两个“1”之间依次多一个“0”）中无理数有，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）共3个， ∴主办方需要准备3个“无理数”的席位； （2）解：“整数”席：{}； “分数”席：{}． 【变式4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填入相应的括号里． ①        ②        ③        ④        ⑤0        ⑥ (1)整数：______． (2)分数：______． (3)无理数：______． 【答案】(1)③⑤ (2)②⑥ (3)①④ 【分析】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； （1）根据算术平方根及整数的概念可进行求解； （2）根据分数的概念可进行求解； （3）根据立方根及无理数的概念可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴整数的有，0； 故答案为③⑤； （2）分数有，； 故答案为②⑥； （3）无理数的有，； 故答案为①④． ▌题型02 估算无理数的大小 1）若，则； 2) 若，则. 【典例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算的结果，下列说法正确的是（  ） A．值介于4和5之间 B．值介于5和6之间 C．值介于6和7之间 D．值介于7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查立方根的估算，关键是找到与被开方数相邻的两个完全立方数，利用立方根的单调性确定其取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，关键是找到与50相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而求出m的值． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，且m为整数， ∴； 故选：D. 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，通过计算，我们可以得到一系列越来越接近的近似值．类似地，可求得精确到十分位的近似值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，根据例题的方法估算出，再求近似数，即可求解． 【详解】解：∵，，则， ，，则， ∴，即精确到十分位的近似值是 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D均在网格点上且四边形为正方形，那么边的长度估计在（   ） A．和3之间 B．3和之间 C．和4之间 D．4和之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，无理数估算，解题的关键是求出正方形的面积．先求出正方形的面积，然后求出算术平方根，再估算大小即可． 【详解】解：正方形的面积为：， ∴边的长度为， ∵， ∴， 即边的长度在3和之间． 故选：B． 【变式4】（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 【答案】4.33 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键．仿照小潘同学估算的方法，先确定的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到，即可得解． 【详解】解：因为，所以的整数部分是4． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以， 故答案为：4.33． ▌题型03 无理数整数部分的有关计算 确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知的小数部分是a，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，通过估算的取值范围，确定的整数部分，进而得到小数部分． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此整数部分为10，小数部分． 故答案为． 【变式】1（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，以及代数式求值．先估算的范围，确定整数部分和小数部分，然后代入 计算． 【详解】解：∵， ∴，则 ． ∵ 、 分别是 的整数部分和小数部分， ∴ ，， 则 ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若规定表示不超过的整数中最大的整数，如，则的值为_____． 【答案】8 【分析】考查知识点：新定义（取整函数）、无理数的范围估算．根据新定义明确的含义，通过估算无理数的范围确定的值，再进行有理数运算．解题关键：准确理解表示不超过x的最大整数，熟练估算的范围以确定的取整结果．易错点：对的取整容易出错，误将的取整当作，忽略“不超过”的定义． 先根据新定义求：因为，所以．再估算的范围，由于，所以，根据定义可得．最后计算． 【详解】由题意得，， ， ，且 ， 故． 故答案为：8． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知是4的平方根，是的小数部分，是的整数部分，则代数式_________． 【答案】21或5 【分析】本题考查了平方根，估算无理数的大小以及代数式求值，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．根据平方根的定义求出的值，估算出的范围，求出、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是4的平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 同理， ∵是的整数部分， ∴， ∴或， 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键．先通过估算确定M、N的值，再求的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴a的整数值为：，0，1，2，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴9的平方根是，即的平方根为； 故答案为：． ▌题型04 实数的分类 【典例4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛    ｝； 无理数：｛ ｝； 整数：｛ ｝； 负实数：｛ ｝． 【答案】；；； 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答即可． 【详解】解：由题意得，；不符合定义，不是实数； ∴有理数为：； 无理数为：； 整数为：； 负实数为：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）小颖与小聪一起制作了10张数字卡片．两个人规定：做出一张无理数卡片给小颖加1分，做出一张有理数卡片给小聪加1分． 0 （1）小颖得到___________分． （2）请找出正分数：____________；负整数__________． 【答案】（1）2；（2），，；， 【分析】（1）先得到无理数的个数，从而判断小颖的分数； （2）根据实数的分类解答即可． 【详解】解：（1）有理数为：，，，，，，，， 一共有8个， ∴无理数有2个， ∴小颖得到2分． 故答案为：2． （2）正分数有：，，； 负整数有：，． 故答案为：，，；，． 【点睛】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握有理数、无理数，正分数和负整数的定义． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（相邻的两个之间依次多一个）． 分数： ； 无理数： ； 是整数而不是负数： ； 负实数： ． 【答案】②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧ 【分析】本题考查实数的分类，解题的关键是根据分数、无理数、非负整数及负实数的意义依次对各个数进行判断即可．也考查了立方根及乘方． 【详解】解：①是无理数； ②是分数也是负实数； ③是整数，也是负实数； ④是分数； ⑤是无理数； ⑥是无理数； ⑦是整数而不是负数； ⑧是整数，也是负实数； ⑨（相邻的两个之间依次多一个）是无理数， ∴分数：②④； 无理数：①⑤⑥⑨； 是整数而不是负数：⑦； 负实数：②③⑧． 故答案为：②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填入相应的括号内：①，②，③，④，⑧，⑨（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数：___________； 负整数：___________； 正有理数：___________； 无理数：___________． 【答案】④⑦⑧，①③，⑦⑧，②⑤⑨ 【分析】本题考查了实数的分类． 分别根据分数的定义、负整数的定义、正有理数的定义、无理数的定义作答即可． 【详解】解：， 分数：④⑦⑧； 负整数：①③； 正有理数：⑦⑧； 无理数：②⑤⑨． 故答案为：④⑦⑧，①③，⑦⑧，②⑤⑨． ▌题型05 实数的性质 【典例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如果表示实数，那么的值（　　） A．不可能是负数 B．可能是零或者负数 C．必定是零 D．必定是正数 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，分类讨论的范围确定出原式的值即可，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， 如果表示实数，那么的值不可能是负数， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）填空： （1）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________； （2）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________； （3）若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和求一个数的绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）的相反数是，绝对值是； （2）的相反数是 ，绝对值是； （3）∵， ∴． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【变式2】（2022·浙江·三模）若一个实数的相反数为，则这个实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【详解】解：∵一个数的相反数是，即-2022， ∴这个数是：2022． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式4】（2026·浙江金华·二模）实数的相反数是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义直接推导即可得到结果． 【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． ▌题型06 实数与数轴 【典例6】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．由题意可得表示的数为，，则表示的数为，表示的数为，则，则表示的数为，表示的数为，进而求出． 【详解】解：∵表示的数为，， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，确定对应的数，进而求出，，，等点对应的数，通过观察数据找出的规律，最后代入的值求解． 【详解】解：由图可知，点坐标为，点坐标为， ∴， ∵以长度为半径，原点为圆心画圆交数轴正半轴于点， ∴对应的数为， ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为3， ∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点， ∴， ∴对应的数为， ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为4， ∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点， ∴， ∴对应的数为， 同理可得对应的数为5，对应的数为， ， 观察规律可知： 对应的数为， 对应的数为， ， 对应的数为， ∵， ∴对应的数为． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的小数部分是___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 用原点表示的数加上圆的周长，再减去周长的整数部分即可得到答案． 【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点， ∴点对应的数是，它的小数部分是． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则______． 【答案】/ 【分析】知识点：数轴两点间距离公式．方法：根据点的位置确定距离表达式，列等式求解．关键：正确判断距离的符号（大数减小数）．易错点：距离表达式符号错误（忽略的条件）． 首先用数轴距离公式表示和；再由列等式，解出a． 【详解】由数轴上两点间距离公式，（因），． 已知，故： 解得： ． 故答案为：． ▌题型07 实数的比较大小 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 【典例7】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在三个数中，最大的是__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，正数大于零，负数小于零；对于负数，绝对值大的反而小．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）写出一个比大的负有理数是_____；比大的负无理数是_____． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查实数的大小比较，有理数的大小比较，解题的关键是掌握：正数大于负数，正数大于零，零大于负数；数轴上的点所对应的实数，越往右越大．据此解即可． 【详解】解：根据数轴的特点找出在右边的负有理数及负无理数， 例如：比大的负有理数可以是，比大的负无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）． 【答案】 如图， 用“＜”连接如下： 【分析】此题考查了实数与数轴，比较实数的大小等知识，熟练掌握有理数的估算是关键． 把实数表示在数轴上，根据左边的数小于右边的数用“＜”连接即可． 【详解】略 ▌题型08 实数的混合运算 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【典例8】（2026·浙江·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）计算：． 【答案】 【分析】原式分别计算，，，然后再合并即可． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先计算绝对值，再算加减即可； （）先算乘方、开方，再算除法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解:． ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查有理数的运算，实数的混合运算： （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）先进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用有理数的加法运算法则求解即可； （2）先计算有理数的乘方和算术平方根，再乘除计算，然后加法运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型09 实数运算与实际问题 【典例9】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 不能，理由：设长方形纸片的宽为，则长为，由题意得：， 解得（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴不能剪出这样的长方形． 【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用、正方形与长方形的面积计算． （1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长． （2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性． 【详解】（1）解：∵小正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的边长为； 故答案为：； （2）略 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 能；理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）略 ▌题型10 程序设计与实数运算 【典例10】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2) 输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）略 （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 【变式1】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． ▌题型11 实数运算与新定义问题 【典例11】（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）表示不小于x的最小整数，如，，则下列结论错误的有（   ） A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．存在实数x，使成立 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，根据表示不小于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案． 【详解】解：表示不小于0的最小整数，即，故A选项结论正确，不合题意； 当x是整数时，有最小值， ，故B选项结论正确，不合题意； ，的最大值不能取1，故C选项结论错误，符合题意； 当的小数部分等于时，，故D选项结论正确，不合题意； 故选C． 【变式2】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）对于任意两个正整数，，定义某种运算（用表示），当都是正偶数或都是正奇数时，；当，中一个为正奇数，一个为正偶数时，，则上述定义下，满足的不同数对共有（    ）个． A．7 B．16 C．15 D．9 【答案】C 【分析】根据定义的运算规则分两种情况讨论：同奇偶、一奇一偶，分别找出满足的有序数对个数，求和即可得到结果． 【详解】解：根据运算定义，分两种情况讨论： 情况1：同为正奇数或同为正偶数，此时． 若同为正奇数，满足条件的有序数对为，共个． 若同为正偶数，满足条件的有序数对为，共个． 情况1共有个满足条件的数对． 情况2：一个为正奇数，一个为正偶数，此时． 乘积为且奇偶性不同的有序数对为，共个． 情况2共有个满足条件的数对． 综上，满足条件的不同数对总个数为. 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则可以化简为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减．根据新定义可得，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）对于任意非零实数a，b，定义新运算“”：，，，，…，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，乘方运算，解题的关键是总结出新定义的运算法则． 通过观察给定的例子，发现运算“⊕”满足关系式 ，代入，即可求解． 【详解】解：由定义，， 代入，， 得， 故答案为：． ▌题型12 与实数运算相关的规律问题 【典例12】（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键． 通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、负数、正数循环出现， 又因为余1， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：D． 【变式3】（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知有理数，我们把称为的差倒数，例如：2的差倒数是的差倒数是．如果是的差倒数， 是的差倒数……，以此类推，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算问题．根据题意分别列出， ，，的式子并计算结果可知3组数值一循环，再计算出，再计算可知为个的和再加上的值即为本题答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴通过上述计算可知：3组数值一循环， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 【答案】 / 【分析】本题考查实数与数轴、估算无理数大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解决本题关键． （1）利用，右侧最近的整数点为求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，逐一计算各点对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：（1）根据题意得：表示在数轴上点处， ∵右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2； 故答案为：； （2）∵点表示的数为，点表示的数为2 ∴ ∴ ∴ ∴点表示的数为 ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数为3， 同理可得，，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，； ． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数及其运算 （题型突破·举一反三） 题型01 无理数的识别 题型02 估算无理数的大小 题型03 无理数整数部分的有关计算 题型04 实数的分类 题型05 实数的性质 题型06 实数与数轴 题型07 实数的比较大小 题型08 实数的混合运算 题型09 实数运算与实际问题 题型10 程序设计与实数运算 题型11 实数运算与新定义问题 题型12 与实数运算相关的规律问题 ▌题型01 无理数的识别 要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数. 【典例1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江绍兴·二模）科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（     ） A．“常压下水的沸点是”中的100 B．“氧气在空气中的占比约为”中的 C．“月球公转周期27天”中的27 D．“圆周率π”中的π 【变式2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知下列实数：①②③，④0，⑤⑥⑦，⑧（每两个“3”之间依次多一个“1”）（只需填写序号）其中整数有：___________；分数有：___________；无理数有：___________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位：（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{     } “分数”席：{     } 【变式4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填入相应的括号里． ①        ②        ③        ④        ⑤0        ⑥ (1)整数：______． (2)分数：______． (3)无理数：______． ▌题型02 估算无理数的大小 1）若，则； 2) 若，则. 【典例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算的结果，下列说法正确的是（  ） A．值介于4和5之间 B．值介于5和6之间 C．值介于6和7之间 D．值介于7和8之间 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，通过计算，我们可以得到一系列越来越接近的近似值．类似地，可求得精确到十分位的近似值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D均在网格点上且四边形为正方形，那么边的长度估计在（   ） A．和3之间 B．3和之间 C．和4之间 D．4和之间 【变式4】（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． ▌题型03 无理数整数部分的有关计算 确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知的小数部分是a，则_______． 【变式】1（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【变式2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若规定表示不超过的整数中最大的整数，如，则的值为_____． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知是4的平方根，是的小数部分，是的整数部分，则代数式_________． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为__________． ▌题型04 实数的分类 【典例4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛    ｝； 无理数：｛ ｝； 整数：｛ ｝； 负实数：｛ ｝． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）小颖与小聪一起制作了10张数字卡片．两个人规定：做出一张无理数卡片给小颖加1分，做出一张有理数卡片给小聪加1分． 0 （1）小颖得到___________分． （2）请找出正分数：____________；负整数__________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（相邻的两个之间依次多一个）． 分数： ； 无理数： ； 是整数而不是负数： ； 负实数： ． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填入相应的括号内：①，②，③，④，⑧，⑨（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数：___________； 负整数：___________； 正有理数：___________； 无理数：___________． ▌题型05 实数的性质 【典例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如果表示实数，那么的值（　　） A．不可能是负数 B．可能是零或者负数 C．必定是零 D．必定是正数 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）填空： （1）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________； （2）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________； （3）若，则___________． 【变式2】（2022·浙江·三模）若一个实数的相反数为，则这个实数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式4】（2026·浙江金华·二模）实数的相反数是（     ） A． B．2026 C． D． ▌题型06 实数与数轴 【典例6】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的小数部分是___________． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则______． ▌题型07 实数的比较大小 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 【典例7】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在三个数中，最大的是__________． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）写出一个比大的负有理数是_____；比大的负无理数是_____． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）． 用“＜”连接如下： ▌题型08 实数的混合运算 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【典例8】（2026·浙江·中考真题）计算：． 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）计算：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2) ． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) ▌题型09 实数运算与实际问题 【典例9】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． ▌题型10 程序设计与实数运算 【典例10】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【变式1】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． ▌题型11 实数运算与新定义问题 【典例11】（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）表示不小于x的最小整数，如，，则下列结论错误的有（   ） A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．存在实数x，使成立 【变式2】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）对于任意两个正整数，，定义某种运算（用表示），当都是正偶数或都是正奇数时，；当，中一个为正奇数，一个为正偶数时，，则上述定义下，满足的不同数对共有（    ）个． A．7 B．16 C．15 D．9 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则可以化简为_____． 【变式4】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）对于任意非零实数a，b，定义新运算“”：，，，，…，则__________． ▌题型12 与实数运算相关的规律问题 【典例12】（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知有理数，我们把称为的差倒数，例如：2的差倒数是的差倒数是．如果是的差倒数， 是的差倒数……，以此类推，那么的值是______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 典例精析 【典例1】C 举一反三 【变式1】D 【变式2】 【答案】②④：①③⑥：⑤⑦ 【变式3】 【答案】(1)3 > (2)0,2024,-√16： 303 【变式4】 【答案】(1)③⑤ (2)②⑥ (3)①④ 典例精析 【典例2】B 举一反目 【变式1】D 【变式2】B 【变式3】B 【变式4】 【答案】4.33 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 实数及其运算 (题型突破举一反三) 题型01无理数的识别 0⑧ 题型02估算无理数的大小 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03无理数整数部分的有送计算 三 典例精析 【典例3】 【答案】V14-3 举一反三 【变式】1 【答案】9-√7 【变式2】 【答案】8 【变式3】 【答案】21或5 【变式4】 【答案】±3 题型04实数的分类 三 典例精析 【典例4】 【答案】 053.14159265-2:3W5.213030303.:-2丙：-3-V25 2 举一反三 【变式1】 72 i 【答案】(1)2； (2) 24’3’V4:-9:8 【变式2】A 【变式3】 【答案】②④：①⑤⑥⑨：⑦：②③⑧ 【变式4】 【答案】④⑦⑧，①③，⑦⑧，②⑤⑨ 2/8 学科网 典例精析 【典例5】A 举一反 【变式1】 【答案】 -V5 5 【变式2】A 【变式3】D 【变式4】B 典例精析 【典例6】B 举一反三 【变式1】B 【变式2】A 【变式3】 【答案】π-3 【分析】 【变式4】 【答案】-2-V2/-√2-2 典例精析 【典例7】 【答案】 举一反三 【变式1】 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05实数的性质 1-5 5-1 ±5 题型06实数与数轴 题型07实数的此较大小 3/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】-√5 【变式2】 1 √2 【答案】 2 (答案不唯一) 2 (答案不唯一) 【变式3】 【答案】 -4<-π<-3，-2<-√5<-1.7， 如图， 8 π3 15 -5-43-2-1012345 →用“<”连接如下：-元<-5<15<8 题型08实数的混合运算 典例精析 【典例8】 【答案】-2 举一反三 【变式1】 【答案】2-3 【变式2】 【答案】(1)9 (2)-3 【变式3】 【答案】(1)0 (2)7 【变式4】 【答案】(1)-1 (2)18 题型09实数运算与实际问题 4/8 可学科网 www.zxxk.com 典例精析 【典例9】 【答案】(13，√6 (2)阴影部分的面积为3V6-6 (3)周长为12+2√6 举一反三 【变式1】 【答案))329 2+2 13v2 22 2 【变式2】 【答案】(1)98cm (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为rcm, 由题意得：3r2=291, 解得：r=V7, “圆形纸胚的直径为2r=297,宣纸的宽为21cm,且(27)=38,2P .21>297, ∴能够裁出来 【变式3】 【答案】(1)4 (2) 不能，理由：设长方形纸片的宽为xcm,则长为3xcm,由题意得：3x·x 解得=2，为=-2（不符合题意，舍去） 3x=6 6>4, ∴.不能剪出这样的长方形 5/8 让教与学更高效 =441, 12, 可学科网 www.zxxk.com 【变式4】 【答案】(1)80m (2) 能：理由如下 设长方形的长为5x米，宽为3x米， 依题意得5x3x=285」 解得x=V9或x=-V19】 :x>0, .x=V19 .长方形的长为5V19米，宽为3W9米， .长方形的周长为2×(5V19+3W19)=16W19, 4<V19<5, .64<16W19<80, ·能够完成新阵法. 题型10程序设计与实数运算 典例精析 【典例10】 【答案】(1)V2 (2) 输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与(-2)的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x 1 (3)x=0或x=一2时始终在进行循环计算而输不出y的值 2、s9 3 (4)若输出的y是√5，则输入的x值不唯一；如：x= 2· E 举一反三 【变式1】 【答案】(1V万 68 让教与学更高效 不能是任何实数 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)0和1 (3)5,25(5的偶次方都对) 【变式2】 【答案】(1)V2 (2)4次 【变式3】 【答案】(1)当x=2时，y=-V2;当x=4时，y=-√2；当x=16时，y=-2 (2)3或9 题型11实数运算与新定义问题 典例精析 【典例11】C 举一反目 【变式1】C 【变式2】C 【变式3】 【答案】7-3x/-3x+7 【变式4】 3 【答案】-2 题型12与实数运算相送的规律问题 典例精析 【典例12】C 举一反目 【变式1】A 【变式2】D 【变式3】 7/8 可学科网 【答案】 23 3 【变式4】 【答案】 2-√2/-V2+2 www.zxxk.com 让教与学更高效 8/8