专题04 实数及其简单运算的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04实数及其简单运算的七类综合题型 月录 典例详解 类型一、无理数的识别 类型二、实数大小比较 类型三、实数的整数与小数部分的计算 类型四、程序设计与实数运算 类型五、实数的混合运算 类型六、新定义下的实数运算 类型七、与实数运算相关的规律题 压轴专练 典例详解 类型一、无理数的识别 方法总结 1.定义对照：无理数是无限不循环小数，凡整数、分数（含循环小数）以外的实数皆为无理数。 2.形式判断：常见无理数包括开不尽的方根（如√2）、特定常数（如π）、构造的无限不循环小数。 解题技巧 1.化简验证：将所给数化至最简，若为无限不循环小数或带π、等特定符号的数为无理数。 2.有理化反推：若一个数能化为两个整数之比（分数），则为有理数，否则为无理数。 例1.2526人年级上金国期未)在-1414,5，号.胥7,03.222-（相3两个2之 间1不断增加)中，无理数的个数() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-1】(25-26七年级下.全国课后作业)有下列实数：√5，元，3.14114111411114.（每两个4之间 依次塔加一个1,6,2二，5。共中无理数有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【变式12】25,26八年级上河南南阳月考)给出下列7个实数：-，25,35,0,6,5,2号.其 中无理数共() 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-3】(25-26八年级上山东青岛周测)在3.141、0.33333…、 5-7、分225、子 3 0.3030003000003·(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、0这八个数中，无理数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型二、实数大小比较 方法总结 1.统一形式：将待比较的数转化为同一种形式，如同为小数、同为根式或同分母分数。 2.间接比较：利用数轴（左小右大）、作差法（差>0则前大）、平方法（正数比较）等间接判断。 解题技巧 1.估算定界：先估算各数在哪两个连续整数之间，快速确定大致范围。 2.临界值法：选取0、±1等临界值作为参照，比较各数与临界值的关系。 例2.(25-26八年级上江苏南京·月考)比较大小：√15-31. 【变式2-1】(2026全国模拟预测)若a为实数，则a-2_a-√5.（填“>=”或“<”） 【变式2-2】(25-26七年级下全国周测)比较大小：0-2 (填“>”或“<”). 5 【变式2-3】(25-26八年级上·四川成都期中)比较大小：①7 5:②5+1 2 或“<”) 类型三、实数的整数与小数部分的计算 方法总结 1. 确定整数部分：找出小于等于该实数的最大整数，即为整数部分。 2.作差求小数：用原数减去其整数部分，所得的差（非负纯小数）即为小数部分。 解题技巧 1.估值先行：对于含根号的数，先估算其值在哪两个连续整数之间，再确定整数部分。 2.注意符号：若实数为负数，其整数部分是不大于它的最大整数（为负），小数部分仍为非负。 例3.(25-26九年级上·重庆期末)已知m=7-2√5，a是m的整数部分，则a的值为_， 【变式3-1】(25-26八年级上江苏南京月考)若a<√13<b,且a、b是两个连续的整数，则(-b)的值 为 【变式3-2】(25-26八年级上河南郑州期中)己知a是√6的整数部分，b是√6的小数部分，那么a+2b的 值为 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-3】(25-26七年级上·全国期末)已知2a-1的算术平方根是3，b是√5的整数部分，则2a+3b的 平方根为 类型四、程序设计与实数运算 方法总结 1.理解流程图：明确流程图中各框（输入、处理、判断、输出）的功能与执行顺序。 2.代数化执行：将初始值代入，按箭头顺序逐步计算，遇判断框根据条件选择分支。 解题技巧 1.追踪变量：在演算纸上记录每一步操作后各变量的当前值，避免混乱。 2. 循环处理：若含循环结构，先明确循环条件与变量变化规律，归纳规律或逐步执行有限次。 例4.(24-25七年级下·广西梧州期中)按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的 值是 是无理数 输入x 取立方根 是有理数 是无理数 输出y 取算术平方根 是有理数 【变式4-1】(25-26七年级上浙江绍兴期中)小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： 是有理数 取算术 是有理数 是无理数 输入x的值 平方根 取立方根 输出y 是无理数 (1)当输入x的值是64时，输出的y值是 (2)分析发现，当非负数x取 时，该程序无法输出y值. 【变式4-2】(25-26八年级上江苏连云港期中)如图是一个数值转换器(x<36) 计算x-2 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 (1)当输入的x为-7时，输出的y值是 ； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 (3)若输出的y是√6，求x的负整数值. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式4-3】(25-26八年级上河南平顶山期中)如图，这是一个数值转换器. 是无理数 输出x 取算术平方根 输出y 是有理数 (I)当输入x的值为9时，输出y= (②)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”.请你判断输入x的值 可能是哪一个数据？并说明理由.备选数据：4， 51 7’3 (3)小明输入了某个x的值后得到了√2，请你写出2个不同的x值. 类型五、实数的混合运算 方法总结 1. 顺序优先：遵循先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的运算顺序。 2.统一为实：运算过程中，将绝对值、根式、幂等统一为实数，按法则计算。 解题技巧 1.分段处理：对于多层括号或复杂式子，从内向外分段计算并简化，步步为营。 2.巧用定律：灵活运用交换律、结合律、分配律，并优先合并同类项或化简根式以简化运算。 例5.(25-26八年级上江苏无锡月考)计算： 1)-)2+16-8: ②-2×4 -27x-1)226. 【变式5-1】(25-26七年级下·全国课后作业)计算： ()-27-5+(5)2+1-√5 o 2+(102 【变式5-2】(24-25七年级下·全国课后作业)计算： 1)4-8+1-√2. (2)27+|√2-3-49. (3)-23+27+V(-2)2-13-π. 【变式5-3】(2026七年级下·全国.专题练习)计算： 4/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)2-5-2; (2)-1+-2-9; 3)5-2-5: ④00+s-得： (⑤)49-V169+327: L_-16+36; 652 +-27+5-3: 4+6 8v0.09+27-- V 25 (9)30.125- - (10)64- 63 +0.216+- 64 类型六、新定义下的实数运算 方法总结 1.理解新规：仔细阅读题目，准确理解新运算的规则（如符号定义、计算步骤）。 2.严格套用：将给出的实数代入新定义规则中，严格按照规定的步骤进行计算或推理。 解题技巧 1.举例验证：先选简单数值按新规则操作，确保理解无误后再进行正式运算。 2.化归转化：将新运算的结果，通过常规的实数运算法则（如结合律、分配律）进行化简求值。 例6.(24-25七年级下.全国周测)定义：对于任意的实数a,b,有a*b=a2+b+1.例如： 1*(-8=12+-8+1=0,则[(-2)*64]*1=_ 【变式6-1】(25-26七年级上浙江杭州期中)对于任意正数a,b,定义运算“*”如下： a*b= Va-√b,(a≥b) 计算(9*25)*(16*4)结果为 √b-Va,(a<b) 【变式6-2】(25-26八年级上北京延庆期末)对于非负实数a,我们规定：用符号[]表示不大于√a的 最大整数，称[可为4的根整数，例如，【6]4，[]=1. C A B 0 5/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 计算：[4]= :53]= ②)若[V]=3,则满足条件的x的取值范围是 (3)如图，数轴上的点A,B表示的数分别为1和√2，C是数轴上一点，且点A是BC的中点.设点C表示 的数为x,求[x-1+3W2+1]. 【变式6-3】(24-25八年级上·甘肃兰州期中)阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如2.5=2，[3)=3，[2]=1： 材料二：定义新运算a*b=[d-[b],如2.5*2=[2.5]-[2]=2-2=0，对有序实数对(a,b),若满足a*b=1,则称 该有序数对为“望一”数对；若满足a*b=0,则称该有序数对为“望音”数对. (1)计算：V4*V5=- (2)下列数对是“望一”数对的有_，是“望音”数对的有_·（填序号） @0》@),®-15-25：@，2：®(5， (3)计算√*√2+√5*√4+V5*√6+…+√2023*√2024的值. 类型七、与实数运算相关的规律题 方法总结 1.从特到普：准确计算前几项具体结果，观察数字、符号、运算结果的变化特征。 2.归纳公式：将观察到的规律（如周期性、递推关系）抽象为用序号表示的代数式（通项或求和公式） 解题技巧 1.拆分结构：将复杂运算拆解为符号、整数部分、小数部分或循环节等独立模块，分别找规律。 2.周期验证：若发现周期规律，需用后续1-2个周期验证，确保归纳正确后再应用。 例7.(24-25七年级下.安微滁州月考)观察下列等式： 等式1： 115 V4164 (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为-，第10个等式为_： (2)归纳猜想：用含的式子表示第n个等式所反映的运算规律为_ 【变式7-1】(24-25七年级下·安微月考)观察下列等式，并回答下列问题： ①1-2=2-1； 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②V2-=3-√2： ③3-√4=4-5： ④√4-5=5-4： (1)请写出第⑤个等式： ;计算5-4= (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的式子表示). )比较⑧-1与1的大小 2 【变式7-2】(24-25七年级下江苏南通期中)观察下列式子：①8+-8=2+(-2)=0；② 1+-1=1+(-1)=0;③1000+-1000=10+(-10)=0； @--o 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： (②)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数α，b, 若 ,则ā+6=0，反之也成立： (3)根据(2)中的结论，解答问题：若6-2x与x+1的值互为相反数，求x的值： (4)若4a2-10与6-3b的值互为相反数，且10a2-6b=16,求a的值。 【变式7-3】(25-26八年级上河北保定·月考)先观察下列等式，再回答问题. 11+12 ,11 V223京=1+ ②，1+ 11 1 22+16 11 ③，1+ ,11 1 91+京+家1+33中12 =1 11 (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 425 (②)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式： (3)对任何实数a,用[@表示不超过a的最大整数，如4=4，[]=1，计算 的值 7/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9w 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上四川眉山期中)下列实数、 -27、 、 16、0.1212212221…（每相邻两 1V2 个1之间依次多1个2)中，无理数的个数是( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(25-26八年级上河南平顶山期中)已知7+√15的整数部分是a,15-√7的小数部分是b,则a+b的值 为() A.13-√7 B.2-7 C.14-V万 D.15-√7 3.(25-26八年级上·陕西安康·期中)如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入x为64时，输出 y是() 是无理数 输入x 取立方根 取算术平方根 输出y 是有理数 A.22 B.2 C.2 D.±V2 42425九年级上相建新国月考)设S=1+日+分，马=1+宁了，鸟=1+宁+子… 11 S=1++5=+++女，测、235伯值为() A.2024 B.2025 c D.5 1 5.(25-26七年级上福建三明期中)定义一种对正整数n的“F运算：①当n为奇数时，F(n)=3n+1;② 当n为偶数时，F(n)= 2k (其中k是使F()为奇数的正整数)，两种运算交替进行，取n=12,则有 F② F① F② 12 3 10 5 ·,按此规律继续计算，则第2025次“F运算的结果是() 第1次 第2次 第3次 A.1 B.3 C.4 D.16 二、填空题 6.(2526八年级上四川成都期中)比较大小：51—号：25—3反（填<>或=。 2 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(24-25七年级下·四川广安期中)已知4a+1的一个平方根是5，-1-3b的立方根是2，c是√万的整数部 分，则3a-2b+6c的平方根是 8.(25-26七年级下·全国·课后作业)对于两个不相等的实数Q,b,定义一种新的运算： a6=a+ba+b>0).如32=3+2-5，则36*3= a-b 3-2 9.(25-26七年级上浙江温州期中)按如图所示的流程操作，当输入-29时，输出的值是一；当输出 的值等于4时，输入的负数是」 是 输入 大于0 +2 ×2 算术平方根 →输出 +1 相反数 10.(25-26八年级上湖南永州期中)将√1,2，√5，√4按如图方式排列，若规定(m,n表示第m排从左向右 第n个数，则 ①(6,4)表示的数是」 ②10,7）与(15,11)表示的两数的平方和为」 1 第1排 2 第2排 65 4 第3排 ⑧ 10 第4排 V151413 V12V团 第5排 三、解答题 11.(25-26八年级上江苏常州月考)计算： 06-+ 26'+3-2-; 3)儿5+√16+V42: (45+-125+2-V5 12.(25-26八年级上·江苏盐城期中)已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是√7的整数部分. 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求a+b+c的算术平方根： (②)若x是√7的小数部分，求x-√万+9的值. 13.(24-25八年级上江苏宿迁期中)对于实数a,b,定义运算◆：a◆b= N+b(a2b)例如4◆3， ab(a<b) :4>3,.4◆3=V42+32=5.若x,y满足方程x-7+Vy+2=0求x◆y的值. 14.(25-26七年级上浙江金华期中)在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出√2的 近似值，得出1.4<√2<1.5.利用“逐步逼近”法，请回答问题： (1)如果√5的小数部分为a,√13的整数部分为b,求a+b-√5的值： (2)已知：10-V3=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求y-x的值 15.(25-26八年级上河北唐山期中)如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,点B 表示√3，设点A所表示的数为m A B -2-101 3 (1)实数m的值是_： (2)求m+m+1的值； (3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有2c+4与√d-4互为相反数，求2c+3d的立方根. 16.(24-25七年级下·北京·期中)如图是一个数值转换器(x<25) 是无理数 输入x 计算x2到 取算术平方根 输出y 是有理数 (1)当输入的x为-14时，输出的y值是 ； (②)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为； (3)若输出的y是√5，求x的负整数值. 17.（2025七年级上浙江.专题练习)对于实数a,b,定义运算：“*”，运算规则为a*b=ab-a-b. (1)计算：√9.-125； (2)填空：V16(--8)-（--8)*V16(填“>“=”或“<”)： (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由(2)的计算结果，你认为这种运算“*”是 否满足交换律？若满足，请说明理由. 10/11 专题04 实数及其简单运算的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、无理数的识别 类型二、实数大小比较 类型三、实数的整数与小数部分的计算 类型四、程序设计与实数运算 类型五、实数的混合运算 类型六、新定义下的实数运算 类型七、与实数运算相关的规律题 压轴专练 类型一、无理数的识别 方法总结 1. 定义对照：无理数是无限不循环小数，凡整数、分数（含循环小数）以外的实数皆为无理数。 2. 形式判断：常见无理数包括开不尽的方根（如）、特定常数（如π）、构造的无限不循环小数。 解题技巧 1. 化简验证：将所给数化至最简，若为无限不循环小数或带π、e等特定符号的数为无理数。 2. 有理化反推：若一个数能化为两个整数之比（分数），则为有理数，否则为无理数。 例1．（25-26八年级上·全国·期末）在，，，，，，（相邻两个之间不断增加）中，无理数的个数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的识别，掌握无理数的定义，注意区分有限小数、循环小数与无限不循环小数． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否无理． 【详解】解：∵ 是有限小数， ∴是有理数； ∵是负的无理数， ∴是无理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵中π是无理数，除以有理数3后仍无理数， ∴是无理数； ∵， ∴是有理数； ∵是循环小数， ∴是有理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∴无理数有3个：， 故选：C． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列实数：，π，3.14114111411114…（每两个4之间依次增加一个1），，，．其中无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解： 是无理数， 是无理数， （每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数， = 4，是有理数， 是分数，是有理数， 是无理数， ∴ 无理数有个. 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）给出下列7个实数：，2.5，，0，，，．其中无理数共（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，立方根和算术平方根的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：是整数，是有理数；2.5是有限小数，是有理数；是无理数；0是整数，是有理数；是整数，是有理数；不是整数且不能化为分数，是无理数；是分数，是有理数， ∴ 无理数共2个， 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东青岛·周测）在3.141、、、、、、（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、0这八个数中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：3.141是有限小数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； ，都是无理数，且无法化为有理数，属于无理数 是无限不循环小数，是无理数， ，属于有理数； 是分数，属于有理数； （相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、是无限不循环小数，属于无理数； 0是整数，属于有理数； 综上所述：无理数有3个； 类型二、实数大小比较 方法总结 1. 统一形式：将待比较的数转化为同一种形式，如同为小数、同为根式或同分母分数。 2. 间接比较：利用数轴（左小右大）、作差法（差>0则前大）、平方法（正数比较）等间接判断。 解题技巧 1. 估算定界：先估算各数在哪两个连续整数之间，快速确定大致范围。 2. 临界值法：选取0、±1等临界值作为参照，比较各数与临界值的关系。 例2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，无理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先估算出，即可得出答案． 【详解】解：, ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·周测）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握分母相同的分数，比较分子大小即可，结合无理数的估算判断分子的大小是解题的关键． 因为分母相同，故可通过比较分子的大小来比较两个分数的大小． 【详解】解：∵分母相同， ∴比较分子和． ， ∴， ． 故答案为：＞． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：①7 ；② ．（填：“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值、通分法及平方比较法是解题的关键．①直接比较数值大小；②通过通分转化为比较分子，再用平方运算比较无理数． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：；． 类型三、实数的整数与小数部分的计算 方法总结 1. 确定整数部分：找出小于等于该实数的最大整数，即为整数部分。 2. 作差求小数：用原数减去其整数部分，所得的差（非负纯小数）即为小数部分。 解题技巧 1. 估值先行：对于含根号的数，先估算其值在哪两个连续整数之间，再确定整数部分。 2. 注意符号：若实数为负数，其整数部分是不大于它的最大整数（为负），小数部分仍为非负。 例3．（25-26九年级上·重庆·期末）已知，是的整数部分，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过估算 的取值范围，计算 的值范围，从而确定其整数部分． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即 ． ∴的整数部分 ． 故答案为：2． 【变式3-1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）若，且a、b是两个连续的整数，则的值为 ． 【答案】256 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值；估算 的范围，确定b的值，再代入求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算的范围，确定其整数部分和小数部分，再代入进行计算． 【详解】解：因为，即， 因为a是的整数部分，b是的小数部分， 所以，． 则． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算．根据算术平方根的定义和无理数的估算，先求出a和b的值，再计算代数式的值，最后求平方根，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵， ∴ ∵b是的整数部分， ∴， 则， ∴16的平方根是， 故答案为：． 类型四、程序设计与实数运算 方法总结 1. 理解流程图：明确流程图中各框（输入、处理、判断、输出）的功能与执行顺序。 2. 代数化执行：将初始值代入，按箭头顺序逐步计算，遇判断框根据条件选择分支。 解题技巧 1. 追踪变量：在演算纸上记录每一步操作后各变量的当前值，避免混乱。 2. 循环处理：若含循环结构，先明确循环条件与变量变化规律，归纳规律或逐步执行有限次。 例4．（24-25七年级下·广西梧州·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是 ． （2）分析发现，当非负数取 时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 【变式4-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 类型五、实数的混合运算 方法总结 1. 顺序优先：遵循先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的运算顺序。 2. 统一为实：运算过程中，将绝对值、根式、幂等统一为实数，按法则计算。 解题技巧 1. 分段处理：对于多层括号或复杂式子，从内向外分段计算并简化，步步为营。 2. 巧用定律：灵活运用交换律、结合律、分配律，并优先合并同类项或化简根式以简化运算。 例5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）根据立方根、幂的运算、绝对值的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）根据算术平方根、绝对值、立方根、幂的运算逐项化简，再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）先分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再对结果进行加减运算； （2）先计算立方根、判断绝对值内式子的正负并化简绝对值、计算算术平方根，再依次进行加减运算； （3）先计算乘方、立方根、算术平方根、判断绝对值内式子的正负并化简绝对值，再按顺序进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式5-3】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键． （1）（2）（3）（6）（7）（9）先去绝对值符号，然后进行计算即可； （4）（5）（8）（10）先去掉根号，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． （5）解：原式= ． （6）解：原式= ． （7）解：原式= ． （8）解：原式= ． （9）解：原式= ． （10）解：原式= ． 类型六、新定义下的实数运算 方法总结 1. 理解新规：仔细阅读题目，准确理解新运算的规则（如符号定义、计算步骤）。 2. 严格套用：将给出的实数代入新定义规则中，严格按照规定的步骤进行计算或推理。 解题技巧 1. 举例验证：先选简单数值按新规则操作，确保理解无误后再进行正式运算。 2. 化归转化：将新运算的结果，通过常规的实数运算法则（如结合律、分配律）进行化简求值。 例6．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．根据运算定义，分别计算和，再对结果进行运算． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 即结果为0． 故答案为：0． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，=4，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数是解题的关键． （1）先求出，，再根据符号表示不大于的最大整数求解即可； （2）先根据符号表示不大于的最大整数求出的取值范围，再求解即可； （3）根据数轴上两点间距离求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴=2； ∵， ∴， ∵符号表示不大于的最大整数， ∴； （2）∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴， ∴； （3）∵点，表示的数分别为和， ∴． ∵点表示的数为，点表示的数为，由数轴可知点在点的左边， ∴． ∵点是的中点， ∴， ， ， ， ∴点表示的数为． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，，，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 类型七、与实数运算相关的规律题 方法总结 1. 从特到普：准确计算前几项具体结果，观察数字、符号、运算结果的变化特征。 2. 归纳公式：将观察到的规律（如周期性、递推关系）抽象为用序号n表示的代数式（通项或求和公式）。 解题技巧 1. 拆分结构：将复杂运算拆解为符号、整数部分、小数部分或循环节等独立模块，分别找规律。 2. 周期验证：若发现周期规律，需用后续1-2个周期验证，确保归纳正确后再应用。 例7．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 【变式7-3】（25-26八年级上·河北保定·月考）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列实数、、、、、（每相邻两个1之间依次多1个2）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数，根据无理数是指无限不循环小数，逐个判断即可解答． 【详解】解：是无理数，是有理数，是有理数，是无理数，是有理数，（每相邻两个1之间依次多1个2）是无理数． 综上，无理数共有3个． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的整数部分的有关计算，求代数式的值． 通过估算和的范围，确定的整数部分和的小数部分，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为 12， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·福建莆田·月考）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 5．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小： ； （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．分别用作差法和平方即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：，． 7．（24-25七年级下·四川广安·期中）已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键． 根据平方根及立方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的一个平方根是5， ， 解得：． 的立方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据新定义的运算规则，先计算内层运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：首先计算 ， 然后计算 ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·浙江温州·期中）按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是 ；当输出的值等于4时，输入的负数是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了流程图与实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先判断正负，再根据流程图计算即可． 【详解】解：当输入时，， ， ； 当输出的值等于4时，， 输入的负数是， 故答案为：8，． 10．（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏常州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方根，立方根，实数的运算，掌握算理即可解决问题． （1）先计算平方根，立方根，再进行加减运算即可； （2）先计算平方根，立方根，绝对值，再进行加减运算即可； （3）先计算平方根与绝对值，再进行加减运算即可； （4）先计算平方根，立方根，绝对值，再进行加减运算即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 12．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知a的平方根是，b是27的立方根，c是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)若x是的小数部分，求的值． 【答案】(1)3 (2)7 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，无理数的估算，实数的混合运算．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据a的平方根是，b是27的立方根，得出又因为，则，然后代入进行计算，得出9，最后求出的算术平方根是，即可作答． （2）先由，得，即，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵a的平方根是，b是27的立方根， ∴ ∵， ∴， ∵c是的整数部分． ∴， ∴， 则的算术平方根是， ∴的算术平方根是； （2）解：∵， ∴， ∵x是的小数部分， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 【答案】 【分析】本题考查实数的新定义运算，先根据非负数的性质得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 即的值为． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题： (1)如果的小数部分为的整数部分为b，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是正确解答的关键． （1）估算无理数、的大小，确定、的值，再代入计算即可； （2）估算的大小，进而得出的大小，确定、的值，再代入计算即可． 【详解】（1），， 的小数部分，的整数部分， ， 答：的值为1； （2）， ， 又，其中是整数，且， ，， ． 15．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 (3)2 【分析】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的立方根． （1）由题意可直接求出的值是； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的立方根． 【详解】（1）解：实数m的值是． 故答案为：； （2） ． ． （3）∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 则的立方根为． 16．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 17．（2025七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【答案】(1) (2)＝ (3)满足，理由见解析 【分析】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可． （1）即可计算； （2）根据题意的运算规则，即可进行判断； （3）对于实数，则交换，位置有． 【详解】（1）解：； （2）解：由运算规则得， ， ， 故， 故答案为：＝； （3）解：满足 理由如下： ∵对于实数， ， ∴这种运算“”满足交换律 18．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，实数的简便计算，找出分数的分母与n的关系是解题关键． （1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据前后两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $