学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（山东青岛专用，范围：新教材北师大版九年级上册第1～2章）

**基本信息** 立足北师大版九上1-2章，以“赵爽弦图”文化素材和电暖器销售等现实问题为载体，考查一元二次方程与特殊四边形，体现几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|9/27|一元二次方程概念、特殊四边形性质|第7题以“赵爽弦图”渗透文化传承，考查几何直观| |填空|6/18|方程根的判别式、菱形面积计算|第11题结合中国结情境，强化空间观念| |作图|1/4|菱形作图|尺规操作培养动手能力与推理意识| |解答|8/71|方程应用、四边形证明、动态几何|第21题电暖器销售问题考查模型意识，24题动态探究提升推理能力|

可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材北师大版九上第1章至第2章。 第I卷 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 1.下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x2-1=0 B.x2+y2=1 C. D.2x+2026=0 2.己知关于x的一元二次方程二x2+(m-1)x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（) 4 A.月 8 4 c月 D.2 3.解一元二次方程x2-4x+1=0,配方后正确的是() A.(x-2)2=2 B.(x-1)2=2 C.(x-2)=3 D.(x-1)=4 4.一辆汽车的行驶距离关于行驶时间1的函数关系式是5=+9外-81.若汽车行驶40m,则行驶时 2 2 间是() A.20s B.21s C.22s D.23s 5.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，过点A作AP⊥CD于点P,连接BP,则BP的长为() 4 B A.3 B.2 C.7 D.4 1/6 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,点F是DA的中点.己 知BC=5,△DEF的周长为12，则AE长为() B F A.7 B.8 C.9 D.10 7.“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图是由与Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围 成的一个正方形ABCD,中间的部分是一个小正方形，过正方形ABCD的顶点作正方形EFGH,且 EF⊥OB.若中间最小的正方形的面积为1，AB=5,则正方形EFGH的面积为() H D G A.25 B.36 C.49 D.64 8.如果m,n是两个不相等的实数，且满足2-m=3,m2-n=3,那么代数式22-m+2m+14的值是 () A.23 B.24 C.25 D.26 9.如图，矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,过点B作BF⊥AC交CD于点F,交AC于点M,过点D 作DE∥BF交AB于点E,交AC于点N,连接FN,EM.则下列结论：①DN=BM;②EM∥FN: ③AE=CM;④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形.其中，正确结论的个数是() D F M E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 216 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10.若关于x的一元二次方程x2-3x-c=0有实数根，则最小整数c= 11.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱 形中国结装饰.测得AC=12cm,BD=l6cm,则该菱形的面积为_cm2. 12.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点E、F.若AB=3,BC=4, 则图中阴影部分的面积为 E D 13.已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是CE的中点，则DF=一· 14.若x,七是方程x2+x-1=0的两根，则++6的值为 15.等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n+2=0的两个根，则n的 值为 三、作图题：本题共1小题，共4分。 16.如图，己知∠ABC,点D是射线BC上一点，利用尺规作图法求作菱形MBND,使得点M在AB上.（不 写作法，保留作图痕迹) B C 316 可学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 四、解答题：本题共8小题，共71分。 17.（16分)解方程： 2(x+3)=1 (2)x2-7x-18=0 (3)(x-2)2=2-x (4)2x2-4x-1=0 18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-（2m-3)x+-3=0. (1)求证：该方程有两个实数根： (2)若m为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由. 19.(6分)为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米） 作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个 各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中AB的长度用x米表示， A D 出口 入口 B (I)BC的长度可表示为米，并直接写出x的取值范围 (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么AB的长度多少米？ 416 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，且BE=DF, D B (I)求证：四边形AECF是平行四边形 (2)若BD⊥AC,且AC=5,EF=7,求四边形AECF的面积. 21.(7分)随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经 调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台.为了增大利润，商场决定采取适当的降价 措施， (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由 22.(8分)某水果店售卖时令水果，进价是每千克10元，市场调查可知：售价定为每千克18元时，每日可 售出60千克：售价每降低1元，每日销量增加30千克.设每千克售价降低x元.(x>0,x为整数) (1)用含x的式子表示：现在每千克售价为元，每日销售量为 千克： (2)若该水果店每日销售这种水果获利630元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价： (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于1元，且每日水果销售量超过200千克，求符合条件 的所有整数x 5/6 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 23.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.过点C作CE∥OD,过点D作DE∥OC, CE与DE相交于点E,连接BE. A B (1)求证：四边形OCED是矩形： (2)若AB=2,∠ABC=60°，求BE的长 24.(10分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠ADC=90°，AD=12cm,AB=18cm,CD=23Cm, 动点P从点A出发，以lcm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线 BC-CD向终点D运动，若一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t(秒). ◇ (1)AP=cm,BP=_ cm(用含t的代数式表示)： (2)①写出BC=cm: ②当t为何值时，四边形PBCQ是平行四边形？ (3)若改变点Q的运动速度，使运动过程中的某一时刻，四边形PBCQ为菱形，请你求出点Q的运动速 度应为多少？ 616 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九上第1章至第2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 3．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 6．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 9．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 12．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 13．已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 14．若，是方程的两根，则的值为________． 15．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 三、作图题：本题共1小题，共4分。 16．如图，已知，点是射线上一点，利用尺规作图法求作菱形，使得点在上．（不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题：本题共8小题，共71分。 17．（16分）解方程： (1) (2) (3) (4) 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19．（6分）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为_米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 20．（8分）如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． 21．（7分）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 22．（8分）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 23．（8分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 24．（10分）如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，若一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)_____，_____（用含的代数式表示）； (2)①写出_____； ②当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，使运动过程中的某一时刻，四边形为菱形，请你求出点的运动速度应为多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10._______________ 13. ________________ 11. _______________ 14. _______________ 12 _________________ 15.________________ 三、作图题：本题共1小题，共4分。 16．如图，已知，点是射线上一点，利用尺规作图法求作菱形，使得点在上．（不写作法，保留作图痕迹） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题：本题共8小题，共71分。 17．（16分）解方程： (1) (2) (3) (4) 18．（8分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（7分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九上第1章至第2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程． 选项A：，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项B：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项C：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项D：未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义． 综上，故选A． 2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 3．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得． 4．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 5．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 6．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 7．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， 四个直角三角形全等， 结合全等三角形性质同理可得，， ， ， ，解得， 正方形的面积． 8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 9．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题目条件先证，得出，，故①正确；再证，得出，，故③错误；证四边形是平行四边形，得出，故②正确；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；故④正确；即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； 在和中， ， ， ，， ， , ，故③错误； ，即， ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形；故④正确； 故正确结论的个数是3个． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根的条件：一元二次方程根的判别式大于或等于0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴最小整数． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】96 【分析】根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 12．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，，，利用证明，将转化为，最后得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 13．已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，得到中点的坐标，再利用勾股定理计算的长度. 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵正方形边长为， ∴，，，； ∵是的中点， ∴的坐标为， ∵是的中点，，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴. 14．若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 15．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 三、作图题：本题共1小题，共4分。 16．如图，已知，点是射线上一点，利用尺规作图法求作菱形，使得点在上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，四边形即为所求 【分析】先利用尺规作图作线段的垂直平分线，分别交于点，再以点为圆心，为半径画圆交的垂直平分线于点，分别连接即可． 【详解】作图略； 理由：由作图可知垂直平分线段，且， 则四边形的对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 四、解答题：本题共8小题，共71分。 17．（16分）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，．………………4分 （2）解： ∴ 解得，．………………4分 （3）解：移项得， 提取公因式得：， ∴， 即，， 解得：，．………………4分 （4）解：对于方程，其中，，， ∴判别式， ∴， ，．………………4分 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根；………………3分 (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴，………………5分 ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且………………6分 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数．………………8分 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．（6分）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为_米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【答案】(1)； (2)的长度为16米 【分析】（1）由的长为x米，可得边所用隔栏绳，将绳子全长减去，边所用隔栏绳绳长，即可表示出的长度，根据的长度不超过墙的最大可利用长度为24米列出不等式，求解即可； （2）根据表演区的面积为320平方米列出方程，求解并结合（1）中x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）．………………1分 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为．………………2分 （2）解：根据题意得：，………………4分 整理得：， 解得：，，………………5分 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米．………………6分 20．（8分）如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，………………1分 ∵ ∴，即，………………3分 ∴四边形是平行四边形．………………4分 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得其对角线互相平分（，）；又因为，所以；由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求证． （2）由（1）中四边形是平行四边形可得，四边形的对角线互相平分，再由，可得四边形为菱形，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】（1）略． （2）解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形．………………6分 ∵，， ∴四边形的面积为：．………………8分 21．（7分）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ，………………1分 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元．………………3分 （2）不能，理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ，………………5分 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根．………………6分 ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元．………………7分 22．（8分）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 【答案】(1)， (2)元 (3)，， 【分析】（1）设每千克售价降低元，根据题意列出关于的表达式． （2）设水果每千克售价降低元，则售价为元，根据题意列出方程计算即可． （3）依题意得不等式组，求出的取值范围，根据只能取整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，现在每千克售价元，每日销量千克．………………2分 （2）解：设水果每千克售价降低元，则售价为元，列方程得： ………………3分 整理得：，即 解得，，………………4分 ∵尽快减少这种水果的库存，每日销售量为千克必须是最大的， ∴（舍去）， ∴水果的售价为：（元） 答：此时水果的售价为元．………………5分 （3）解：依题意得不等式组：………………6分 解得，即，………………7分 ∵是整数， ∴取，，， 答：符合条件的所有整数有，，．………………8分 23．（8分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即，………………1分 ∵， ∴四边形是平行四边形，………………2分 ∴四边形是矩形；………………3分 (2) 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，，………………4分 ∵， ∴， ∴，………………6分 ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴．………………8分 24．（10分）如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，若一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)_____，_____（用含的代数式表示）； (2)①写出_____； ②当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，使运动过程中的某一时刻，四边形为菱形，请你求出点的运动速度应为多少？ 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意即可列代数式； （2）①过点作，先得到四边形是矩形，然后对运用勾股定理求解即可； ②可知点在上，由平行四边形得到，据此列出关于的方程求解即可； （3）设的速度为，在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：由题意得，，………………1分 ∵ ∴；………………2分 （2）解：①过点B作于点G，则，如图， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，；………………4分 ②∵， ∴当四边形是平行四边形时，点在上， ∴ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形；………………6分 （3）解：设的速度为，由（2）可知，在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可，………………7分 由题意得，，， ∴，………………8分 解得， 当点的速度为时，四边形为菱形．………………10分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 单项选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][DJ 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 11. 12 13 14. 15 三、作图题：本题共1小题，共4分。 16.如图，已知∠ABC,点D是射线BC上一点，利用尺规作图法求作菱形MBND,使得点M在AB上.（不 写作法，保留作图痕迹) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题：本题共8小题，共71分。 17.(16分)解方程： 1 (四0x+3)=1 (2)x2-7x-18=03)(x-2)2=2-x (4)2x2-4x-1=0 18. (8分) 19.(6分) A D 出口 入口 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 0 E B 21.(7分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) A E O B 24.(10分) A P B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A A C C C B C C C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 11. 96 12. 6 13. 14. 0 15. 7 三、作图题：本题共1小题，共4分。 16．如图，已知，点是射线上一点，利用尺规作图法求作菱形，使得点在上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，四边形即为所求 四、解答题：本题共8小题，共71分。 17．（16分） 【答案】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，．………………4分 （2）解： ∴ 解得，．………………4分 （3）解：移项得， 提取公因式得：， ∴， 即，， 解得：，．………………4分 （4）解：对于方程，其中，，， ∴判别式， ∴， ，．………………4分 18．（8分） 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根；………………3分 (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴，………………5分 ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且………………6分 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数．………………8分 19．（6分） 【答案】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）．………………1分 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为．………………2分 （2）解：根据题意得：，………………4分 整理得：， 解得：，，………………5分 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米．………………6分 20．（8分） 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，………………1分 ∵ ∴，即，………………3分 ∴四边形是平行四边形．………………4分 (2)解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形．………………6分 ∵，， ∴四边形的面积为：．………………8分 21．（7分） 【答案】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ，………………1分 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元．………………3分 （2）不能，理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ，………………5分 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根．………………6分 ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元．………………7分 22．（8分） 【答案】（1）解：根据题意可知，现在每千克售价元，每日销量千克．………………2分 （2）解：设水果每千克售价降低元，则售价为元，列方程得： ………………3分 整理得：，即 解得，，………………4分 ∵尽快减少这种水果的库存，每日销售量为千克必须是最大的， ∴（舍去）， ∴水果的售价为：（元） 答：此时水果的售价为元．………………5分 （3）解：依题意得不等式组：………………6分 解得，即，………………7分 ∵是整数， ∴取，，， 答：符合条件的所有整数有，，．………………8分 23．（8分） 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即，………………1分 ∵， ∴四边形是平行四边形，………………2分 ∴四边形是矩形；………………3分 (2)解：∵四边形是菱形， ∴，，，，………………4分 ∵， ∴， ∴，………………6分 ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴．………………8分 24．（10分） 【答案】（1）解：由题意得，，………………1分 ∵ ∴；………………2分 （2）解：①过点B作于点G，则，如图， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，；………………4分 ②∵， ∴当四边形是平行四边形时，点在上， ∴ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形；………………6分 （3）解：设的速度为，由（2）可知，在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可，………………7分 由题意得，，， ∴，………………8分 解得， 当点的速度为时，四边形为菱形．………………10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) O 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材北师大版九上第1章至第2章。 : 第I卷 : 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 1.下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x2-1=0 B.x2+y2=1 D.2x+2026=0 不 2.己知关于x的一元二次方程二x2+(m-1)x+m2=0有两个相等的实数根，则m的值是() 4 1 A. B. 1 D.2 .. 4 O 3.解一元二次方程x2-4x+1=0,配方后正确的是() A.(x-2)}=2 B.(x-1)2=2 C.(x-2)2=3 D.(x-1)2=4 A一辆汽车的行驶距离8关于行驶时间的函数关系式是女+9” 若汽车行驶440m,则行驶时 间是() : A.20s B.21s C.22s D.23s .. : 5.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，过点A作AP⊥CD于点P,连接BP,则BP的长为 : : () .: : D 北 : A.5 B.2 C.7 D.4 试题第1页（共6页） : : : @学科网·学易金卷侧斑德：然限是” 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,点F是DA的中点.己 知BC=5,△DEF的周长为12，则AE长为() B A.7 B.8 C.9 D.10 7.“赵爽弦图'是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图'是由与Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围 成的一个正方形ABCD,中间的部分是一个小正方形，过正方形ABCD的顶点作正方形EFGH,且 EF⊥OB.若中间最小的正方形的面积为1，AB=5,则正方形EFGH的面积为() D G A.25 B.36 C.49 D.64 8.如果m,n是两个不相等的实数，且满足2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-m+2m+14的值是 () A.23 B.24 C.25 D.26 9.如图，矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,过点B作BF⊥AC交CD于点F,交AC于点M,过点D 作DE∥BF交AB于点E,交AC于点N,连接FN,EM.则下列结论：①DN=BM;②EM∥FN: ③AE=CM;④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形.其中，正确结论的个数是() E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷德怒急：限是合” 第IⅡ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10.若关于x的一元二次方程x2-3x-c=0有实数根，则最小整数c= 11.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱 形中国结装饰.测得AC=12cm,BD=16cm,则该菱形的面积为cm?. 12.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点E、F.若AB=3,BC=4, 则图中阴影部分的面积为 D B 13.已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是CE的中点，则DF= 14.若，，是方程x2+x-1=0的两根，则x+x+6的值为 15.等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n+2=0的两个根，则n 的值为. 三、作图题：本题共1小题，共4分。 16.如图，已知∠ABC,点D是射线BC上一点，利用尺规作图法求作菱形MBND,使得点M在AB上.（不 写作法，保留作图痕迹) B DC 试题第3页（共6页） 四、解答题：本题共8小题，共71分。 17.(16分)解方程： (0(x+3=1 (2)x2-7x-18=0 (3)(x-2)}=2-x (4)2x2-4x-1=0 长 河 18.(8分)己知关于x的一元二次方程x2-(2-3)x+m-3=0. 数 (1)求证：该方程有两个实数根： 游 (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由. 习 细 19.(6分)为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米） 作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个 世 各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中AB的长度用x米表示. A D 出口 入口 B (I)BC的长度可表示为米，并直接写出x的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么AB的长度多少米？ 试题第4页（共6页） 20.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，且BE=DF,. O : .: (1)求证：四边形AECF是平行四边形 (2)若BD⊥AC,且AC=5,EF=7,求四边形AECF的面积. .: .: : %1 .: 21.(7分)随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经 .: 调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台，为了增大利润，商场决定采取适当的降价 .: 措施。 : : (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ : (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由. O .. 蝶 22.(8分)某水果店售卖时令水果，进价是每千克10元，市场调查可知：售价定为每千克18元时，每日 可售出60千克；售价每降低1元，每日销量增加30千克.设每千克售价降低x元.(x>0,x为整数) .. (1)用含x的式子表示：现在每千克售价为元，每日销售量为 千克； : : (2)若该水果店每日销售这种水果获利630元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价： (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于1元，且每日水果销售量超过200千克，求符合条 件的所有整数x. 那 试题第5页（共6页） : 西学科网·学易金卷做好德：就限是音普 23.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.过点C作CE∥OD,过点D作DB∥OC, CE与DE相交于点E,连接BE】 B (1)求证：四边形OCED是矩形： (2)若AB=2,∠ABC=60°，求BE的长. 24.(10分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠ADC=90°，AD=12cm,AB=18cm,CD=23cm, 动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线 BC-CD向终点D运动，若一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（秒). B (1)AP=cm,BP= cm(用含t的代数式表示)： (2)①写出BC= cm: ②当t为何值时，四边形PBCQ是平行四边形？ (3)若改变点Q的运动速度，使运动过程中的某一时刻，四边形PBCQ为菱形，请你求出点Q的运动速 度应为多少？ 试题第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九上第1章至第2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 3．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 6．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 9．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 12．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 13．已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 14．若，是方程的两根，则的值为________． 15．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 三、作图题：本题共1小题，共4分。 16．如图，已知，点是射线上一点，利用尺规作图法求作菱形，使得点在上．（不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题：本题共8小题，共71分。 17．（16分）解方程： (1) (2) (3) (4) 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19．（6分）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为_米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 20．（8分）如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． 21．（7分）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 22．（8分）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 23．（8分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 24．（10分）如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，若一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)_____，_____（用含的代数式表示）； (2)①写出_____； ②当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，使运动过程中的某一时刻，四边形为菱形，请你求出点的运动速度应为多少？ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $