精品解析：山东烟台市某校（五四制）2025-2026学年上学期九年级 阶段测试数学试题（1月）

2025-2026学年度第一学期质量检测 九年级数学 （时间：120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】从二次根式的意义，分式有意义的条件两个方面去思考求解即可． 【详解】∵ 有意义， ∴x-2≥0， ∴x≥2， ∵ 是分式， ∴ ≠0， ∴x≠2， 综上所述， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个条件，并灵活运用是解题的关键． 2. 小颖有一套文学名著上册、中册、下册，随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好是“上册、中册、下册”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种， 所以从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是． 故选：A． 3. 图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中． 【详解】从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置，已知 ，若栏杆的旋转角 时，借助计算器求栏杆A端升高的高度．下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由旋转可知： ， ∴栏杆A端升高的高度 ． 5. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为 ．若在坡比为的山坡树，也要求株距为 ，那么相邻两棵树间的坡面距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡比为1：2.5求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可． 【详解】如图， ∵坡比为 i=1:2.5， ∴AC:BC=1:2.5 ， 即 AC:5=1:2.5 ， 解得:AC＝2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB=（m）， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理的运用，属于基础题． 6. 如图，是的直径，，点为的中点，交 于点，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理、圆心角定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 连接 ．首先证明，想办法证明即可解决问题． 【详解】解：连接 ． ， ， ， ， ， ，设 ，则， ， ， . 故选： B． 7. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向上，与轴交于负半轴，故A、B、C、D都不符合题意； ②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项A正确， 故选：A． 8. 如图，把一块含 的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为2的上，边、分别与交于点、点，则位于三角板内部的弧的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 ，，根据圆周角定理得 ，根据弧长公式进行计算即可得． 本题主要考查了圆周角，圆弧长．解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理，弧长公式． 【详解】连接 ，，如图所示， ∵在中， ， ∴， ∵的半径为2， ∴位于三角板内部的弧的长度为：． 故选：A． 9. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（　　）①CE＝OE②∠C＝50° ③＝④AD＝2OE A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可． 【详解】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E， ∴CE＝DE，，， ∴∠BOC＝2∠A＝40°，， 即，故③正确； ∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°， ∴∠C＝50°，故②正确； ∵∠C≠∠BOC， ∴CE≠OE，故①错误； 作OP∥CD，交AD于P， ∵AB⊥CD， ∴AE＜AD，∠AOP＝90°， ∴OA＜PA，OE＜PD， ∴PA+PD＞OA+OE ∵OE＜OA， ∴AD＞2OE，故④错误； 故选：B． 【点睛】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质. 10. 如图，是等腰直角三角形，， ，点P是边上一动点（点P不与点A重合），以为边作正方形，设 ，正方形与重合部分（阴影部分）的面积为y则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象：熟练掌握等腰直角三角形和正方形的性质．解决本题的关键是分段求出y与x的关系式，然后利用函数解析式对各选项进行． 如图1，当点D落在 上，利用 为等腰直角三角形得到，所以当 时，，当时，如图2，正方形与 相交于F、G，表示出，所以，然后利用所得的解析式对各选项进行判断． 【详解】解：如图1，当点D落在 上， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，解得， 当 时，， 当时，如图2，正方形与 相交于F、G， 易得和都是等腰直角三角形， ， 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA﹣|＋（cosB﹣）2＝0，则△ABC是_____三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算，再利用等边三角形的判定方法得出答案． 【详解】解：∵|tanA﹣|＋（cosB﹣）2＝0， ∴tanA﹣＝0，cosB﹣＝0， 则tanA＝，cosB＝， 故∠A＝60°，∠B＝60° 则△ABC是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，非负数的性质，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 12. 某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数 93 190 390 564 746 931 1118 优等品的频率 从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值约是__________．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为． 【详解】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是． 故答案为． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先构造直角三角形，由勾股定理解得的长，再根据余弦的定义解题． 【详解】解：过点作于点， 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义、勾股定理与网格问题等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14. 如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的如图所示的图案，若小圆的半径为2，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是阴影部分面积的求解，勾股定理的应用，圆的对称性与正方形的性质，扇形面积与弓形面积的理解，正多边形与圆，掌握以上知识是解题的关键．如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，再由勾股定理可得：，从而可得答案． 【详解】解：如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积， 小圆的半径为2， ， ， ， ； 故答案为： 15. 抛物线 的部分图象如图，对称轴为直线，直线 与抛物线都经过点．下列说法：① ；② ；③关于x的一元二次方程的两根为 ，；④当时，二次函数 有最大值．其中正确的有_______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】由图象可知， ，则有 ，然后根据二次函数的图象与性质可进行排除答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故①是正确； ∵抛物线经过点， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴根据二次函数的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的两根为 ，，故③正确； ∵直线 经过点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴当时，y有最大值，故④错误； 综上所述：正确的有①③． 16. 如图，在中，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点E为切点），则切线长的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质， 先根据直角三角形的性质，勾股定理求出，连接，可知是直角三角形，当时，最小，最小，再根据三角形的面积相等求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：在中，， ∴． 根据勾股定理得， 即， 解得． 连接， ∵是的切线， ∴， 则是直角三角形． 当时，最小，最小． ∵， ∴， 解得． 在中，根据勾股定理得． 所以的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8个题，满分72分,其中包含两分卷面分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解． 【详解】解： 18. 如图，已知中，，求的值． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先作 ，设，再根据勾股定理求出，进而得出 ，及 ，然后根据勾股定理求出，最后根据正弦的定义得出答案． 【详解】解：过点A作 ，垂足为D． 在中，， 设， 根据勾股定理，得， ， 解得（负值舍去）， 则，． 在中，. ∴． 19. 如图，有四张背面完全相同的卡片，，，，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上． （1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率是______； （2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）不公平，见解析 【解析】 【分析】（1）先判断出A、B、C、D四个卡片上的函数增减性，在结合概率的定义即可求解 （2）根据题意用列表法分别求出小亮和小强同时抽到函数增减性相同的概率，和增减性不同的概率，二者进行比较即可 【详解】（1）卡片A上的函数为，为减函数，随的增大而减小； 卡片B上的函数为，为增函数，随的增大而增大； 卡片C上的函数为，为增函数，随的增大而增大； 卡片D上的函数为，为减函数，随的增大而减小； 所以从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率为 （2）不公平．理由如下，根据题意列表得： 卡片A 卡片B 卡片C 卡片D 卡片A AB AC AD 卡片B AB BC BD 卡片C AC BC CD 卡片D AD BD CD 卡片A，卡片D上的函数为减函数，卡片B，卡片C上的函数为增函数， 由表可知总共有12中等可能的结果，抽出的两张卡片上的函数增减性相同的概率为 ；抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是， ， ∴不公平． 【点睛】本题考查了函数的性质，概率和游戏的公平性，掌握列表或树状图法展示等可能的结果是解题关键． 20. 如图，希望中学的教学楼和综合楼 之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树 ，且其底端B，D，F在同一直线上， 米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为 ，点E的俯角为 ． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！） 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.156 0.158 0.276 0.287 【答案】能，综合楼的高度约为37.00米 【解析】 【分析】过点E作于G，过点A作于H，根据正切的定义分别求出、，计算即可． 【详解】解：过点E作于G，过点A作于H，如图所示： 由题意可知： ， ， ， ∴ 米， 米， 在 中， 米， ， ∴ （米）， ∴ 米， 在中， （米）， ， ∴ （米）， ∴ （米）， 答：综合楼的高度约为37.00米． 21. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E． （1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE； （2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形外角等于内对角，得到∠ABC＝∠ADE，根据等腰三角形性质，得到∠ABC＝∠ACB，结合圆周角定理，∠ADB＝∠ACB，推理即可． （2）作直径BF，连接FC，根据sin∠BAC= sin∠BFC计算即可． 【小问1详解】 ∵圆内接四边形外角等于内对角，四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵AB=AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADB＝∠ADE． 【小问2详解】 如图，作直径BF，连接FC， 则∠BCF=90°， ∵圆的半径为2，BC=3， ∴BF=4，BC=3，∠BAC= ∠BFC， ∴sin∠BAC= sin∠BFC=． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角函数，熟练掌握圆的内接四边形性质，圆周角定理，三角函数是解题的关键． 22. 一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是____________斤（用含的代数式表示）； （2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少? 【答案】（1） （2）水果店需将每斤橘子的售价降低1元 （3）当每斤橘子售价为5.2元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元 【解析】 【分析】本题考查二次函数解析式和一元二次方程的应用； （1）利用每天的销售量=降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）利用每天销售利润=每斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要保证每天至少售出220斤，即可确定x的值，进而可得出每斤的售价降低的钱数． （3）设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元，列出二次函数解析式，即可求解 【小问1详解】 由题意得：斤， 故答案为： 【小问2详解】 设：水果店需将每斤橘子的售价降低元，则每斤橘子售价为元，由题意得： ， 解之得：， 为保证每天至少售出220斤，即 水果店需将每斤橘子的售价降低1元． 【小问3详解】 设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元， 由题意得： 当时， 每斤橘子的售价为 答：当每斤橘子售价为5.2元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元 23. 如图，在 中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段 的垂直平分线交 、于点 、，连接． （1）求证：是的切线； （2）若， ，为，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是 的垂直平分线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质以及勾股定理列方程求解即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查切线的判定，线段垂直平分线的定理，勾股定理，等边对等角等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ， ． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接 、、 ，设点的横坐标为， 的面积为 ，求 的最大值； （3）如图2，点 是抛物线上一动点且位于对称轴左侧， 交对称轴于点，将线段绕点旋转 得到点的对应点．是否存在 的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的 点坐标，若不存在，请说明理由； （4）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 的最大值是 （3）或 （4）或或或或． 【解析】 【分析】（1）根据 ， ，得，，，再由待定系数法即可求出解析式； （2）作轴于点F，交 于点E，用含m的式子表示出D、E的坐标，进而表示出，根据，列出S关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意知，，设对称轴与轴交点为点，过点作对称轴的垂线交于点，可证明，得到，再根据线段顺时针或逆时针旋转 ，分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式，与抛物线联立求交点即可； （4）分 为边和 为对角线两种情况，根据菱形的邻边相等以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ， ∴，，， ∴可设抛物线的表达式为， 把代入得，，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：作轴于点，交 于点， 设直线 的解析式为， ∴ ∴， ∴直线 的解析式为 ， ∵点的横坐标为，且点D在抛物线上， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值是； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵抛物线解析式为 ， ∴抛物线对称轴为直线， 设对称轴与轴交于点， 如图，过点作交直线 于Q， ①当线段顺时针旋转 得到线段时， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为； ②当线段逆时针旋转 得到线段时， 同理可证， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或； 【小问4详解】 解：设， 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形 是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形 是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，旋转的性质，两点距离公式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，中点坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期质量检测 九年级数学 （时间：120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 函数的自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 小颖有一套文学名著上册、中册、下册，随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好是“上册、中册、下册”的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置，已知 ，若栏杆的旋转角 时，借助计算器求栏杆A端升高的高度．下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为 ．若在坡比为的山坡树，也要求株距为 ，那么相邻两棵树间的坡面距离（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，点为的中点，交 于点，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一块含 的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为2的上，边、分别与交于点、点，则位于三角板内部的弧的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（　　）①CE＝OE②∠C＝50° ③＝④AD＝2OE A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 如图，是等腰直角三角形，， ，点P是边上一动点（点P不与点A重合），以为边作正方形，设 ，正方形与重合部分（阴影部分）的面积为y则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA﹣|＋（cosB﹣）2＝0，则△ABC是_____三角形． 12. 某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数 93 190 390 564 746 931 1118 优等品的频率 从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值约是__________．（精确到） 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为_______． 14. 如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的如图所示的图案，若小圆的半径为2，则阴影部分的面积为________． 15. 抛物线 的部分图象如图，对称轴为直线，直线 与抛物线都经过点．下列说法：① ；② ；③关于x的一元二次方程的两根为 ，；④当时，二次函数 有最大值．其中正确的有_______． 16. 如图，在中，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点E为切点），则切线长的最小值是_____________． 三、解答题（本题共8个题，满分72分,其中包含两分卷面分） 17. 计算： 18. 如图，已知中，，求的值． 19. 如图，有四张背面完全相同的卡片，，，，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上． （1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随 的增大而减小的概率是______； （2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 20. 如图，希望中学的教学楼和综合楼之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树，且其底端B，D，F在同一直线上， 米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为 ，点E的俯角为 ． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！） 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.156 0.158 0.276 0.287 21. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E． （1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE； （2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC． 22. 一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将橘子每斤的售价降低 元，则每天的销售量是____________斤（用含 的代数式表示）； （2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少? 23. 如图，在 中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段的垂直平分线交、于点、 ，连接． （1）求证：是的切线； （2）若， ，为，求线段的长． 24. 如图，抛物线与 轴交于、两点，与轴交于点， ， ． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接 、、，设点的横坐标为， 的面积为 ，求 的最大值； （3）如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧， 交对称轴于点，将线段绕点旋转 得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； （4）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $