2.2.2《一元二次方程的解法--公式法》同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 分层覆盖公式法核心素养，从基础判别式计算到综合几何应用，梯度适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|判别式计算、公式法步骤|单选1-3直接考查判别式值与根的关系，填空6-8强化参数基础计算，培养抽象能力| |能力提升层|参数取值、多结论判断|单选4-5结合方程根的情况考查推理，解答11-13通过解题规范与错误辨析发展运算能力| |综合拓展层|方程与几何综合|解答15结合勾股定理定义“勾系方程”并证明根的存在性，体现模型意识与创新思维|

2.2.2《一元二次方程的解法-公式法》同步练习 一、单选题 1.下列方程中，有两个相等实数根的是（) A.x2-2x-1=0B.x2-2x=0 C.x2-1=0 D.x2-2x+1=0 2.用公式法解-元二次方程x2-2x=3时，b2-4ac的值为() A.-8 B.8 C.16 D.17 3。关于一元二次方程2r-2x+2=0的根的情况，下列说法正确的是() A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 m-2)x2+4x+2=0 4.关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是() A.m≤4 B.m≥4 C.m≥4且m≠2 D.m≤4且m≠2 5.对于一元二次方程+c+C=00+0),给出下列说法 ①若方程ax+c=0有两个不相等的实根，则方程ar2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有aC+b+1=0成立； ③若是一元二次方程ar+r+c=0的根，则B-4c=(2a,+b八： ④存在实数mn(0≠n川，使得m+bm+c=am2+b加+e. 其中正确的是( ) A.只有①③ B.只有①② C.只有①③④ D.①②③④ 二、填空题 6.一元二次方程2x2-3x+1=0根的判别式的值为 7。关于x的一元二次方程+加+-0有两个相等的实数根，则6 8.若关于x的一元二次方程a2-2x+1=0没有实数根，则k的取值范围是 9.已知关于x的一元二次方程2-(Bm-)x+}m-1=0有两个不相等的实数根，则0的取值 4 范围是 10.若关于的-元二次方程a+1)r-x-1=0 两个实数根，则“的取值范围是 三、解容题 11.用公式法解下列方程： (0)3r=202- .2)+2x+1=-2x+9.8)-x-l=0④V5r=6x-5 12.已知关于x的方程-(2+x+4-2=0 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根. (2)若等腰△ABC的一边长a为4，另两边b,C的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角 形的周长. 13.习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程：3x2-5x=2 解：将方程化为一般形式，得3x2-5x+2=0, 第一步， a=3b=5c=2 第二步； .△=b2-4ac=52-4×3×2=1>0 第三步； x=5±万5±1 2×3=6 第四步， 2 即x=3,为=1 第五步 (1)开始出现错误的步骤是第 步； (2)请给出此题正确的解答过程. 14.已知关于x的一元二次方程x+c-k-3=0(k为常数)· (1)若方程的一个根为2，求k的值； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根 l5.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是RIABC和RtBED边 长，易知AE=V2c,这时我们把关于x的形如a2+V2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元 二次方程”. 请解决下列问题： b Bb D (1)请直接判断下列方程，哪些是“勾系一元二次方程”？ ①3x2+5V2x+4=0: 1 =0 ②5+ist2； ③x2+2x+1=0; ④6x2+8V2x+10=0, (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ar2+V2cx+b=0必有实数根. 参考答案 一、单选题 1.D 选项A:x2-2x-1=0,a=1,b=-2，c=1, ∴.△=(-2)}-4×1×(-1)=8>0， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B:x2-2x=0,a=1,b=-2,c=0, .△=(-2)2-4×1×0=4>0 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项C:x2-1=0,a=1,b=0,c=-l, .△=02-4×1×(-1)=4>0 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D:.x2-2x+1=0,a=1,b=-2,c=1, 4=(-2)2-4×1×1=0, 方程有两个相等的实数根，符合题意. 2.C 解：x2-2x=3, ∴.x2-2x-3=0, a=1,b=-2,c=-3, b2-4ac=(-2}-4x1x(-3)=4+12=16 故选：C 3.C 解：对于一元二次方程-2x+2=0 1 可得a= 2,b=-2,C=2, a=-4c=(6-2-42=44=80 .方程有两个不相等的实数根 4.D :关于x的一元二次方程m-2)r+4r+2=0 两个实数根， ∴.m-2≠0，即m≠2， 且△=b2-4ac20. .△=42-4×(m-2)×2=16-8(m-2)=16-8m+16=32-8m≥0 .m≤4 又m≠2， ∴.m的取值范围是m≤4且m≠2. 故选：D. 5.C 解：①方程ax+c=0有两个不相等的实根， ∴.△=0-4ac>0 .-4ac>0 则方程ar2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac>0, 六方程r+br+c=0, 必有两个不相等的实根，故①正确； ②c是方程ax2+br+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0, ∴.c(ac+b+1)=0 若c=0,等式仍然成立，但aC+b+l=0不一定成立，故②不正确； ③若xo是一元二次方程ar2+bx+c=0的根， 则由求根公式得气= 2a 或66-c 2a ax+h-ac+-4ac ∴b2-4ac=(2ax+b) ，故③正确： ④存在实数m、n(m≠ ,使得am'+bm+c=am+bn+c, 整理得(r-n)+b(m-川)=0，即（m-n[a(m+n+]=0。 b 因为m≠，只需取m+n=a即可满足， b 例如取m=0,n=-Qa≠0），就有am+bm+c=a㎡2+bm+c,故④正确. a 二、填空题 6.1 解：2x2-3x+1=0中a=2,b=-3,c=1, .A=2-4ac=(-3-4x2x1=1 故答案为：1. 7.±1 解：对于一元二次方短+加+好0，其中a1,一次项系致为b,常颈项© 4 判别式△=b2-4ac, 由于方程有两个相等的实数根，故A=0,即-4×1x}0, 4 解得b=±1， 故答案为：1. 8.k>1 解：：关于x的一元二次方程a2-2x+1=0没有实数根， .k≠0，△=(-2-4×kx1<0 解得：k>1, 故答案为：k>1. 5 9.m< 6 解：：关于的一元二次方程2-(Bm-)+m-1=0有两个不相等的实数根， =(m-明-4-小>0 整理，得-6m+5>0, 解得m< 6· 10a之-4且a≠1 解：：关于的一元二次方程(a+)r-x-l=0 有两个实数根， .a+1≠0且（1ヅ-4×(a+1)x(-1)≥0 5 解得a2-4且a≠-1： 5 a的取值范围是a之4且a≠-1 5 故答案为：a2-4且at-1, 三、解答题 11.(1)解：整理，得3x2+2x-4=0. b2-4ac=22-4×3×(-4)=52>0 x=-2±213--1±3 6 3， 出s* 飞=1-国 3， 3. (2)解：整理，得x2+4x-8=0. b2-4ac=42-4×1×(-8)=16+32=48>0 x=4±45.-2生25 2 ∴x=-2+2V3x2=-2-23 (3)解：x2-x-1=0, .a=l,b=-l,c=-1 :A=(--4x1x(-1)=5>0 -c1生5 2a 2, 5515 2 2 (4)解：V5x2=6r-V5 5x2-6x+V3=0 ∴.a=V3,b=-6,c=3」 :4=(-6-4x5xV5=24>0 ，·x=二5±√b2-4ac_-（-6)±24=3±② 2a 2V3 :=5+2,x=5-2 12.(1)证明：△=[2k+-4x1x(4h-2) =4k2+4k+1-16k+8 =4k2-12k+9 =(2k-3)2 ·无论k取何值，(2k-3≥0 :4=(2k-3≥0 无论k取何值，此方程总有实数根； (2)解：由(1)得△=(2k-3 ①当b=C时，即方程有两个相等的实数根， :4=(2k-3=0 解得3 2, ·把3 2代入x2-(2k+1)x+4k-2=0, 整理得x2-4x+4=0 .:(-2}=0 .x=2 .2+2=4, .不能构成三角形，舍去 ②当6=a=4或0=a=4时，即方程-(2k+r+4-2= 有一个根x=4, :16-(2+1)x4+46-2=0 解得：=5 2, x2-6x+8=（x-2)(x-4)=0 方程化为 解得=2，x2=4 即三边为4,4,2，能构成三角形， 则周长=4+4+2=10， ∴.这个等腰三角形的周长是10. 13.(1)解：将方程3x2-5x=2化为一般形式，得 3x2-5x-2=0 ∴第一步开始出现错误. 故答案为：一 (2)解：解方程化为一般形式，得3x2-5x-2=0, a=3b=-5c=-2 △=b2-4ac=(-5)-4×3×(-2)=49>0 x=-54西5t7 2×36, 1 即=3，为=2. 14.(1)解：把x=2代入方程，得 22+2k-k-3=0 解得k=-1; (2)证明：.x2+-k-3=0中a=1,b=k,c=-k-3, △=-4x1x(-k-3)=2+46+12=k+2}+8 (k+2)}≥0 :k+2y+8>0,即△>0， ∴.不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根. 15.(1)解：根据题意，可知a,b,c是RIAABC和RtABED边长，∠C=90°， a2+b2=c2 ①对于方程3x2+5V2x+4=0,a=3,b=4,V2c=5V2, ∴.c=5 a2+b2=25c2=25 .a2+b2=c2 方程3r+5x+4= 是“勾系一元二次方程”；： ,5x+=0a= ②对于方程5+3+20,4 5, 13, cs I 13, .a2+b2≠c2 方程5+启+0不是“有系一元次方程 ③对于方程x2+2x+1=0,a=1,b=1,V2c=2, .c=2 a2+b2=2,c2=2, .a2+b2=c2 ·方程 x2+2x+1=0 是“勾系一元二次方程”； ④对于方程6x2+8V2x+10=0,a=6,b=10,V2c=82, ∴.c=8 .a2+b2=136c2=64 a2+b2≠c2 方程6r+8N2x+10=0 是“勾系一元二次方程”， 综上所述：①③是“勾系一元二次方程”；②④不是“勾系一元二次方程”； (2)证明：对于关于x的“勾系一元二次方程”ar2+V2cx+b=0, 判别式为：2o-4ab=2ce2-2ab) a2+b2=c2 .2(c2-2ab)=2(a2+b2-2ab)=2(a-b)220 判别式2ey2-4ab≥0 “关于x的“勾系一元二次方程”r+5x+b=0 必有实数根.