第十四章全等三角形题型分类练习 2026～2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦全等三角形核心考点，以"性质-判定-构造-综合"为逻辑主线，融合动态问题与辅助线技法，系统培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|4题|全等性质求角度/线段|从基础性质到多结论推理| |判定|4题|SSS/SAS/ASA/AAS判定辨析|判定定理的条件组合与选择| |倍长中线|4题|中线加倍构造全等|中点条件转化与线段关系| |截长补短|4题|截长法/补短法证线段和差|角平分线条件下的辅助线构造| |垂直模型|4题|一线三垂直证全等|直角条件与线段转化| |综合应用|8题|动点问题/多结论判断|性质与判定的综合迁移应用|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年人教版新教材八年级数学上册 · 第十四章全等三角形题型分类练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点一：全等三角形的性质的应用 1．如图，，的延长线经过点，交于，，，，则_______________°． 2．如图，B，D，E，C四点共线，且，若，则_________． 3．如图，，，，与交于点，连结． (1)求证：； (2)过点作于点，于点，求证：； (3)若，求的度数（直接写出答案）． 4．如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，则________． 考点二：全等三角形的性质解动点问题 5．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______cm/s． 6．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 7．如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动．分别过、两点作于点，于点，当与全等时，的值为________． 8．如图，中，，，；直线l经过点C 且与边相交．动点P从点A出发沿的路径向终点B运动；动点Q从点B 出发沿 的路径向终点A运动(P，Q到达终点后均保持不动)．点P，Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点 P和点Q作于点E，于点 F（E，F 不重合），设运动时间为t秒，则当________秒时，与全等． 考点三：全等三角形的判定 9．四边形中，，与相交于点．若添加下列四个条件：①，②，③，④中的一个条件，能使得一定全等于，则添加的这个条件是____________（填写正确条件的序号） 10．如图，在和中，，，有下列条件：①；②；③；④．添加一个条件后能证明，这个条件不可以是________． 11．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 12．根据下列条件，能画出唯一确定的的是（） A． B． C． D． 考点四：全等三角形的性质与判定综合 13．，点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． (1)求证：是的中点． (2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． 14．如图，已知于点F，的延长线交于点，连接平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．如图，，，是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 16．如图，在中，，，于点E，于点D． (1)求证：； (2)，，求的长度． 考点五：全等与角平分线的性质综合 17．如图，在中，平分交于点，平分交于点，与交于点，．    (1)求的度数； (2)过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 18．学习与探究： 如图1，是的平分线，点A是上任意一点，用圆规分别在、上截取，连接、，则，判定方法是_________． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数； （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由． 19．已知：，点是平分线上的一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)如图1，若，连接，作于点，则和的数量关系是_____． (2)如图2，若，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，当，点在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． ∵， ∴， 在四边形中，， ∵点是平分线上的一点，，， 20．如图，中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H (1)填空： (2)求证：； (3)猜想线段与的数量关系，并说明理由． 考点六：全等三角形中的多结论问题 21．如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 22．如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C．若，则 D． 23．如图，中，，G为的中点，连接并延长交于点E，作，垂足为H，交于点下列判断；；；，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点七：倍长中线构全等 25．如图，已知，点是边的中点，点是延长线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由； (3)若，的面积为6，求四边形的面积． 26．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 27．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 28．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 考点八：截长补短构全等 29．【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 30．（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 31．已知在四边形中，，． (1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； (2)已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 32．在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，如果，求的长； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 考点九：垂直模型 33．在中，，直线经过点，且于点于点． (1)当直线绕点旋转到图①的位置时，试问，具有怎样的等量关系？并加以证明； (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明） 34．【材料阅读】小红在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放运副三角板：如图：在中，，；在中，，所以，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，设垂足为，过点作，垂足为． (1)①图1中，，，求的长，请补充小红的过程． ∵， ． ． ， ． （补充小红的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 35．（1）观察理解：如图①，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，试说明：． （2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图③，中，，，过点A作于点A，，连接，求的面积． 36．已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点，点，过点C作轴于点D，则______； (2)如图2，若点，点，过点C作轴于点D，则点C的坐标为______； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，则与有怎样的数量关系？并说明理由． 单元测试卷 37．如图，在中，，平分，交于点，，垂足为，若的周长为，的周长为，则的长为 （     ） A． B． C． D． 38．如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 39．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①；②平分；③平分；④．其中正确的有（   ）个 A． B． C． D． 40．在中，．若对于的每一个值，对应的的形状、大小都唯一确定，则长的取值范围是________． 41．如图，中，，，，点P从A点出发沿路径运动；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A．点P和Q分别以每秒2和5的运动速度同时开始运动，点Q到相应的终点时点P也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动_____秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 42．如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 43．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 44．【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 45．某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．可证得：___________________； (2)组员李明想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 试卷第2页（共16页） 试卷第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年人教版新教材八年级数学上册 · 第十四章全等三角形题型分类练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点一：全等三角形的性质的应用 1．如图，，的延长线经过点，交于，，，，则_______________°． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，根据全等三角形的性质求出，根据平角定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为∶ ． 2．如图，B，D，E，C四点共线，且，若，则_________． 【答案】20 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， B，D，E，C四点共线， ， ， 故答案为：20． 3．如图，，，，与交于点，连结． (1)求证：； (2)过点作于点，于点，求证：； (3)若，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：由（）得，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴； (3)． 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，证明，由全等三角形性质即可求证； （）由（）得，，，则，所以，然后代入即可求解； （）设与交于点，由（）得，，由（）得，，则，根据三角形内角和定理可得，所以，然后证明，所以，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，设与交于点， 由（）得，，由（）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 4．如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，则________． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)72 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识； （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，结合三角形外角的性质可得出，最后结合已知即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 故答案为：72． 考点二：全等三角形的性质解动点问题 5．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______cm/s． 【答案】5或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：5或． 6．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 7．如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动．分别过、两点作于点，于点，当与全等时，的值为________． 【答案】3或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可分三种情况，点P在线段上，点Q在线段上，点P和点Q相遇和点P在线段，点Q在线段上，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】解：当点P在线段上，点Q在线段上时， 由题意得，， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当与全等时，只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 当点P和点Q相遇时，也满足与全等 ∵， ∴点P和点Q在线段上相遇， ∵此时满足， ∴， 解得； 当点P在线段，点Q在线段上时， 同理可得，则， 解得（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：3或． 8．如图，中，，，；直线l经过点C 且与边相交．动点P从点A出发沿的路径向终点B运动；动点Q从点B 出发沿 的路径向终点A运动(P，Q到达终点后均保持不动)．点P，Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点 P和点Q作于点E，于点 F（E，F 不重合），设运动时间为t秒，则当________秒时，与全等． 【答案】2或或12 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．分三种情况讨论：点Q在上；当点P与点Q重合时；当点与点重合时；根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作 由题意得，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当与全等， 则， ∴． 解得：； ③如图3，当点与点A重合时， 当， 则， ∴， 解得：， 综上可知，当或或时，与全等 故答案为：2或或12． 考点三：全等三角形的判定 9．四边形中，，与相交于点．若添加下列四个条件：①，②，③，④中的一个条件，能使得一定全等于，则添加的这个条件是____________（填写正确条件的序号） 【答案】①或③/③或① 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理(边边边、边角边)，结合已知的边相等(、公共边)，分析添加不同条件时，能否满足全等判定要求，最终得出能使的条件为①或③，体现了对全等三角形判定与已知条件结合分析能力的考查． 【详解】解：①，在和中， ， 根据全等三角形判定定理“边边边”，可以得出； ②， 仅，结合已知，无法得到能判定的足够条件， 所以②不能判定两个三角形全等； ③， 在和中， ∴ ∴， ∴， 即， 在和中， ， 根据全等三角形判定定理“边角边”，可以得出； ④只能说明是等腰三角形， 结合已知，无法得到能判定出的足够条件， 所以④不能判定两个三角形全等； 综上，能使；的条件是①或③． 故答案为：①③． 10．如图，在和中，，，有下列条件：①；②；③；④．添加一个条件后能证明，这个条件不可以是________． 【答案】④ 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据条件结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：添加①可利用判定； 添加②可利用判定； 添加③可利用判定； 添加④不能判定； 故答案为：④． 11．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定即可． 【详解】解：对于选项A：添加，根据无法判断，故选项A符合题意； 对于选项B：添加，符合，能判断，故选项B不符合题意； 对于选项C：∵， ∴，即， ∴可根据判断，故选项C不符合题意； 对于选项D：添加，符合，能判断，故选项D不符合题意． 故选：A． 12．根据下列条件，能画出唯一确定的的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形唯一确定的判定，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：对于选项A：∵已知三个角（），只能确定形状相似，不能确定大小，∴不能唯一确定三角形． 对于选项B：∵，，，且，已知两角和夹边（），能唯一确定三角形． 对于选项C：∵已知两边和其中一边的对角（），不能唯一确定三角形，∴错误． 对于选项D：∵，，，且，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴错误． 故选：B． 考点四：全等三角形的性质与判定综合 13．，点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． (1)求证：是的中点． (2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． 【答案】(1) 证明：， 即 在和中， 在和中， ，即是的中点； (2) 解：成立，理由如下： ， ，即 ， 在和中， 在和中， ，即是的中点． 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂线的性质得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论； （2）根据，结合，得到，同（1）可证是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，已知于点F，的延长线交于点，连接平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明： ． 平分，， ． (2) 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键． （1）直接根据角平分线的性质可证得结论； （2）证明，得到，进而线段的和与差可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在和中， ， ， ， ． 15．如图，，，是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在与中 ， ∴． (2)10 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知可得到，，从而利用判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到，，再利用即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴，． ∴ ， ∴的面积为10． 16．如图，在中，，，于点E，于点D． (1)求证：； (2)，，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中， ∴； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点是解此题的关键． （1）先证明，再利用证明即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴，      ∴． 考点五：全等与角平分线的性质综合 17．如图，在中，平分交于点，平分交于点，与交于点，．    (1)求的度数； (2)过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ． 理由：如图，过点作于点，连接， ∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴，， 由（1）得：，， ∴ 在四边形中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴．    【知识点】角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得，，再根据三角形内角和定理得，代入计算即可； （2）过点作于点，连接，证明，得，证明，得，然后通过恒等变形得，可得结论； 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴在中， ， ∴的度数为； （2）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，角平分线的定义、性质，四边形的内角和，全等三角形的判定和性质等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 18．学习与探究： 如图1，是的平分线，点A是上任意一点，用圆规分别在、上截取，连接、，则，判定方法是_________． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数； （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由． 【答案】； （1）； （2）．理由如下： 在上截取，连接，如图2所示： ∵是的平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴． （3）在（2）中的结论仍然成立． 在上截取，连接，如图所示： 同（2）可得：， ∴，， 又由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， ∴， ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，作出相应的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，本题的综合性较强，难度较大． 根据可知：可证明两个三角形全等； （1）根据三角形内角和定理可求，是的外角，根据外角的性质计算求解； （2）根据图1的作法，在上截取，则；根据证明，得，故判断； （3）只要的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， 在与中， ， ∴； （1）如图2，∵，°， ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴； （2）略 （3）略 19．已知：，点是平分线上的一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)如图1，若，连接，作于点，则和的数量关系是_____． (2)如图2，若，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，当，点在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)的形状是等边三角形． 理由如下， 证明：如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵点是平分线上的一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； (3) 理由如下， 证明：如图所示，过点作于点， ∵点是平分线上的一点，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义，角平分线的性质定理得到，，再证，得到，即可求解； （2）证明：如图所示，过点作于点，则，根据题意得到，根据四边形的内角和定理得到，可证，得到，根据等边三角形的判定即可求证； （3）根据题意可证，得到，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，点是平分线上的一点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 略 （3） 略 20．如图，中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H (1)填空： (2)求证：； (3)猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； (3) ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理即可证明≌； （3）由全等三角形的性质得到，导角证明，进而证明，即可证明． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， ； （2）略 （3）略 考点六：全等三角形中的多结论问题 21．如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，即可证明得到，即可判断①②；设与的交点为，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；过点作于，于，先证明得到，即可证明得到，假设平分，则可证得到，这与矛盾，即可判断④． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ，故②正确； 设于的交点为， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ， ，故③正确； 过点作于，于， ， 又，， ， ， 又， ， ， 假设平分， ， ，即， 又， ， ，这与矛盾， 不平分，故④错误， 故正确的有：①②③． 故选：B． 22．如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C．若，则 D． 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点作于，由角平分线的性质得到，然后利用角平分线的判定定理即可得到平分，进而判断A；由结合三角形面积即可判断B；由角平分线的定义得到，，然后结合三角形外角的性质得到，然后由平分即可得到，即可判断C；证明出，得到，证明出，得到，然后等量代换即可判断D． 【详解】解：A．过点作于， ∵平分，， ∴， 又平分，，， ∴， ∴， 又，， ∴平分，故A正确； B．由①知， ，故B正确； C．∵平分平分， ∴，， ∴ ∴ ∵平分， ∴，故C错误； D．∵， ∴ ， ， 又∵，， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质和判定定理，三角形的面积公式，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练运用角平分线的性质和三角形的相关定理进行推理计算． 23．如图，中，，G为的中点，连接并延长交于点E，作，垂足为H，交于点下列判断；；；，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形中线的性质，准确找到判定三角形全等条件是解题的关键， ①依据题中条件，可以判定，根据全等三角形性质可得； ②由①中，可得； ③根据三角形中线平分面积的性质进行判断； ④若④结论成立，那么D需为的中点，进而判断④错误． 【详解】解：① 在和中， ， ， ，故①正确； ②由①得， ，故②正确； ③是的中点， 是的中线， ，故③正确； ④由图可知，， 但点D题中未说明是的中点， ， ， 故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选： 24．如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和以及角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键． 根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ， ， ，故①正确； ， 又， ， ， ， 在和中 ，故②正确； ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴，故结论③正确； 又∵， ， 即， 不能证明， 故结论④错误， ∴正确的个数是3个． 故选：B． 考点七：倍长中线构全等 25．如图，已知，点是边的中点，点是延长线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由； (3)若，的面积为6，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：如图所示： ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 解： ， 理由如下： 由（1）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由两个三角形全等判定定理求证即可得到答案； （2）由（1）知，，则，再由两个三角形全等判定定理求证，得到，最后根据平行线的判定即可得到答案； （3）数形结合，找准图形中各个三角形的面积关系，最后由代值求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵点是边的中点，的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及中点定义、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中中线等分三角形面积等知识，数形结合，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 26．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1) 选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， (2)证明：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【详解】（1）解：， 在中， ， ， 即：， ， （2）略 27．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）4． 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，再证明，可得为等边三角形，从而，即可求解． 【详解】解：（1）①解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）略 （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 28．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：延长至，使，连接 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， ∵， 即，且，， . ， ， ． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求长度 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形的外角性质． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线 ， 在和中， ， ， ∴判断全等的依据为“”， 故答案为：； （2）略 考点八：截长补短构全等 29．【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）； 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立.新数量关系为：． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 30．（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 31．已知在四边形中，，． (1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； (2)已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ，． ， ， ， . 又， ； (2) （ⅰ）证明：如图，延长至，使，连接． ，， . ，， ， ，， ， ， ， . 又， ， ； （ⅱ）解：（ⅰ）中的结论不成立，， 理由：如图，延长至，使，连接． ，， ， ，， ， ，， ， ， . ， ， ， ， ． ， ， ． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）先证明，得到，，进而推出，即可证明； （2）（ⅰ）延长至，使，连接．类比（1）同理先证明，得到，，进而推出，再证明，最后结合全等三角形性质求解，即可解题； （ⅱ）延长至，使，连接，类比（ⅰ）的证明过程，先证明，再证明，并结合全等三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 32．在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，如果，求的长； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 【答案】(1) 证明：，，， ． 在与中， ， ． ． (2) (3) 解：如图，连接． ，， 是等腰直角三角形． ． ， ． 由（1）得：， 也是等腰直角三角形． 根据折叠的性质，四边形是正方形， ． 是等腰三角形． ． ， ． ，， ． 设，则，． ． ． ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求线段长、分母有理化、含30度角的直角三角形 【分析】（1）证明，可得结论； （2）由，，并由（1）得，可知，求出和的长，可知的长．又因，，可得是等边三角形，可得出的长； （3）如图，连接．可得是等腰直角三角形，从而得出．由（1）得：，则也是等腰直角三角形．根据折叠的性质，四边形是正方形，可得．则是等腰三角形．可得，据三角形内角和为，可求出，则，，可知．设，则，． ． 【详解】（1）略 （2）解：在中， ，， ，，． 由（1）得：． ，． ． ， ，． ． ，， 是等边三角形， ． （3）略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，分母有理化等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 考点九：垂直模型 33．在中，，直线经过点，且于点于点． (1)当直线绕点旋转到图①的位置时，试问，具有怎样的等量关系？并加以证明； (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明） 【答案】(1) ． 证明：， ， ， ． 在和中， ， ， ． (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用证明，利用线段的和差关系即可完成； （2）利用证明，利用线段的和差关系即可完成． 【详解】（1）略 （2）解：， 证明如下： ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴． 34．【材料阅读】小红在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放运副三角板：如图：在中，，；在中，，所以，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，设垂足为，过点作，垂足为． (1)①图1中，，，求的长，请补充小红的过程． ∵， ． ． ， ． （补充小红的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 【答案】(1) ，补充： 在和中， ， ， ； (2) ，理由如下： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的解题过程，补充相关内容，证明，即可作答． （2）先整理得，再证明，再运用线段的和差关系计算列式整理，即可作答． （3）过点作，交的延长线于点，运用代入数值到进行计算，再计算，整理得，然后证明，则，故，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 35．（1）观察理解：如图①，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，试说明：． （2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图③，中，，，过点A作于点A，，连接，求的面积． 【答案】 （1）证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； （2）50； （3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出直角梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）同（1）证明：，， ，，，， ，，，， ， ，，， ， 四边形是直角梯形， ， 图中实线所围成的图形的面积 ， 故答案为：50； （3）过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 36．已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点，点，过点C作轴于点D，则______； (2)如图2，若点，点，过点C作轴于点D，则点C的坐标为______； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，则与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3) 理由如下： 如图，和的延长线相交于点， ， ，而， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， 轴平分， ， ， ∴， ， ． 【知识点】坐标与图形综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，能正确利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形是解决此题的关键． （1）由坐标得，，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得到，则可根据“”证明，进而即可得解； （2）由（1）得，得到，，进而即可得解； （3）如图，和的延长线相交于点，先证明得到，再证，得，进而即可得解． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ，， ， ， 故答案为：； （3）略 单元测试卷 37．如图，在中，，平分，交于点，，垂足为，若的周长为，的周长为，则的长为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定及性质．根据题意，判定≌，然后得到，，进行求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， 又， ≌， ， ， 的周长为， ， 又的周长为， ， 又， ， 故选A． 38．如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据直角三角形的全等，四边形的内角和定理解答即可． 本题考查了直角三角形的全等，四边形的内角和定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 39．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①；②平分；③平分；④．其中正确的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长到点，使，连接，可证，得到，，， 再证明，得到，， 即得，，即可判定①②；由得到，即可判定③；由，得到，即可判定④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴不平分，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的说法有①②④，共个， 故选：． 40．在中，．若对于的每一个值，对应的的形状、大小都唯一确定，则长的取值范围是________． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，过点B作交直线于D，则，可得；当时，此时点C与点D重合，当时，此时点C在线段上和点C在线段的延长线上都符合题意，当时，点C只能在线段的延长线上，据此结合图形可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交直线于D， ∴， ∵， ∴； ∴； 由垂线段最短可知，当时，此时点C与点D重合，对应的的形状、大小都唯一确定； 当时，此时点C在线段上和点C在线段的延长线上都符合题意，即此时对应的的形状、大小都不能唯一确定； 当时，点C只能在线段的延长线上，此时对应的的形状、大小都不能唯一确定； 综上所述，或． 故答案为：或． 41．如图，中，，，，点P从A点出发沿路径运动；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A．点P和Q分别以每秒2和5的运动速度同时开始运动，点Q到相应的终点时点P也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动_____秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在上，Q在上，则，， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，则，， 由①知：， ， ； 因为此时，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ， 解得：； ④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得． 而Q从B运动到A所需时间为， 故不符合题意； ⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒5， P和Q都在上的情况不存在； 综上，点P运动1或秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或． 42．如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 【答案】(1) 证明：过点作于，如图所示： ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴点A在的角平分线上， ∴平分； (2)2 【知识点】角平分线的判定定理、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再根据角平分线的判定定理，得出答案即可； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积为，进而得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形面积的计算，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 43．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：，， ， ，， ， 在与中，， ， ， 平分； (2)15 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 44．【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图，延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）或 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、二次根式的应用、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）①小红同学的解题思路：延长到点，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得；②小林同学的解题思路：延长到点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （2），证明：延长至，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再分两种情况：①当在点的右侧时，②当在点的左侧时，先求出的长，再参考（2）的思路证出，由此即可得． 【详解】解：（1）①小红同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． ②小林同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． （2）略； （3）∵等腰中，，， ∴， ∵． 则分以下两种情况： ①如图，当在点的右侧时， ∴， 由（2）已证：， ∴； ②如图，当在点的左侧时， 延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上，的长度为或． 45．某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．可证得：___________________； (2)组员李明想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1)，． (2) （1）中的结论成立，证明如下： 如图②： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴． (3) 证明：如图③：过点E作交的延长线于点N， ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M是的中点． 【知识点】三角形内角和定理的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、同角的余角相等等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图①：先说明，再说明，再运用可证明； （2）根据平角的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，即，再运用可证明； ； （3）如图③：过点E作交的延长线于点N，，由等腰直角三角形可得，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明得到，再由，得到，即可证明得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图①： ∵直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． （2）略 （3）略 试卷第2页（共75页） 试卷第1页（共75页） 学科网（北京）股份有限公司 $