第十三章三角形题型复习卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 20262027学年人教版新教材八年级数学上册第十三章三角形题型举一反 三专题复习卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一：三角形中三边关系的应用 1.已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是() A.2 B.2或10 C.4 D.2或4 2.已知一个三角形的两边“，b满足(a-3+6-=0,则此三角形的第三边可能为（) A.2 B.6 C.9 D.10 3.把一条长250m的铁丝载成a(0≥3》小段，每段长度不小于20cm,若不论怎样的载法，总存在三小段， 以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知三角形的两边长为6和8，第三边长为x(x取整数)，当x的值是多少时，三角形的周长最小， 最小值是多少？ 考点二：与三角形中线有关的长度计算 5.如图，CM是△ABC的中线，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,BC=8cm,那么AC的长为 () A.3cm B.4cm C.5cm D.11cm 6.在△ABC中，AB=BC,中线AD将这个三角形的周长分为15和21两部分，则AC的长为() 试卷第1页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先鸟笔 A.16 B.11 C.16或8 D.11或1 7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9Cm和l2cm两部分，则等腰三角形的腰长为() A.6cm B.6cm或8cm C.8cm D.5cm或9cm 8.如图，在△ABC 中，MD是BC边上的中线，△MDC周长比△1BD周长么多6cm,MBCE 的周长L为 60cm,BD长为l0cm,求AB和AC的长. B 三：与三角形中线有关的面积计算 9.如图，在△MBC中，G是边BC上任意一点，D、EF分别是4G、BD、C 的中点， S△MBc=32 ,则 Snr的值为(） O B G A.6 B.8 C.12 D.4 10.如图，D是AB边上任意一点，E是CD的中点，F是BE的中点.若△ABF的面积是2，则△ABC 的面积是 D 11,如图，点G是△ABC的重心，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接GD,GE,若△ABC的面积为 试卷第2页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 6,则△GDE的面积为 12.如图，AD,BE分别是△ABC的边BC,AC的高线，AD=3,BC=5,AC=4,则BE的长为 () D 15 A.4 B.3 C.2 3-2 D 四：与三角形高线有关的计算 13.如图，在△ABC中，AB=AC=9,该三角形的面积为18，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点 E,OF⊥AC于点F,则OE+OF等于 E 14.在△ABC中，AB=AC,O为BC上任意一点，OM⊥AB,ON⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为M、 N、H,连接A0.己知OM=2,CH=5,则ON的长为 试卷第3页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC,ED⊥AB于D,若AC=6Cm,求AE+DE的长度. E B 16.如图，在△ABC中，∠A=32,∠B=76°，CE平分∠ACB交AB于点E,CD⊥AB于点D. E DB (1)求∠ACE的度数； (2)若∠CDF=68°，证明：△CDF是直角三角形. 五：与三角形中三线有关的角度计算 17.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,AE平分∠BAC. B (1)若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数. (2)若∠B-∠C=50°，则LDAE=一 6)若∠B-∠C=a(∠B>∠C),求∠DAB的度数.（用含“的代数式表示） 18.如图，AD是△ABC的高，△ABC的两条角平分线AE、BF相交于点O,∠BAC=60°，∠C=70°. 试卷第4页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 ED (1)求∠EAD的度数. (2)求∠BOA的度数. 19.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE是△ABC的角平分线. E D B (1)求∠BCE的度数； (2)D为AB上一点，连接CD,当aCFD为直角三角形，且∠CDF=74°时，求证：CD⊥AB, 20.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，且AB平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若 ∠BAC=110°，则∠1+∠2的度数为() B D H A.80° B.90° C.100° D.110° 六：三角形中的角度计算与折叠问题 2L.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是边AB，,AC上的点，将△ABC沿DE折叠至四边形 DEFG C,F,FG AC H∠AED=65° ∠EHF= ，点与点对应，交于点“，若 ,则 试卷第5页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危光多笔 E H G 22.在如图所示的△ABC纸片中，点E是边AB的中点，点F是边BC上任意一点，现将△BEF沿EF折叠， 得到△B'EF,折痕EF与△ABC的角平分线BD相交于点O,连接CB',当，线段EB'与CB'的长度和最小 时，∠EOB=100°，则此时∠B'CB=°. B 23.把三角形纸片ABC沿DE折叠， 图1 图2 (I)如图1，点A落在四边形BCDE内部点A处时，∠A与∠ADC、∠AEB之间有一种数量关系始终保持不 变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点A落在四边形BCDE外部点A处时，直接写出∠A与∠ADC∠AEB之间的数量关系. 24.如图，在△ABC中，BD,CE是角平分线，且BD,CE相交于点F,∠A=68°.则∠BFE的度数是 () D A.56 B.68° C.112° D.124° 七：双角平分线模型 25.如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P,若∠A=55°，∠D=15°，则∠P的度数为() 试卷第6页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 D A.15 B.20° C.25 D.30° 26.在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交 于点0，与∠4BC的外角平分线交于点E,下列结论：@∠0C=04,②∠D-4,国 <A2 ZE:④∠E+∠DCF=90°+∠ABD: 其中所有正确结论的序号是() B A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④ 27.如图所示，∠A=100°，作BC的延长线CD,∠ABC与∠4CD AABC与 角平分线相交于 ∠ACD A ∠4BC与∠ACD A6 ∠A025= 的角平分线相交于…以此类推， 的角平分线相交于…则 28.如图，BP平分∠ABC,交CD于F,DP平分∠ADC交AB于E,AB与CD相交于G,如果∠A=38°， ∠C=42°，那么∠P的度数为 度 试卷第7页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 E 八：与角平分线有关的三角形内角和问题 29.如图，∠BCD和LBAD的角平分线交于点P. >B (I)求证：∠PCB+∠P=∠PAB+∠B: (2)若∠B=44°，∠D=58°，求∠P的度数， 30.如图.已知∠D=40°，∠B=36,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P.并且与CD、AB分 别相交于点M、N,求∠P的度数. D 31.如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D. D M B 图① 图② (1)若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数： (2)当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有 ∠A的式子表示∠D) 试卷第8页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危光多笔 (3)若把∠A截去，得到四边形MNCB,如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由. 32.如图①，∠AFH和∠AHF的平分线交于点O,EG经过点O且平行于FH,分别与AF、AH交于点 E、G. H 图① 图② (①)若∠AFH=80°，∠AHF=70°，则∠EOF=度，∠GOH=_度，∠FOH=_度. (2)若∠AFH+∠AHF=130°，则∠FOH=_度. (3)如图②，∠AFH和∠AHⅢ的平分线交于点O,EG经过点O,分别与AF、AH交于点E、G.若 ∠AFH+∠AHF=140°，∠OHI=50°，∠EOF=30°，求证：EG∥FH. 九：三角形中的角度综合计算 33.如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O,AO交BC于D,BO交AC于E,连接OC, 过O作OF⊥BC于F. E D (I)试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论： (2)试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论： (3)若∠ACB=60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论. 34.△ABC中，∠C=70°，点D,E分别是△ABC边AC,BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠I, ∠PEB=∠2，∠DPE=∠a. 试卷第9页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 D 图1 图2 图3 图4 图5 初探： (1)如图1，若点P在线段AB上，且∠=60°，则∠1+∠2= (2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的关系为 (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，∠α之间的关系为 再探： (4)如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1，∠2，∠α之间的关系，并说明理由. (5)若点P运动到△ABC的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时∠1，∠2，∠a之间的关系，并说 明理由。 35.己知△ABC中，BE平分∠ABC,点P在射线BE上. PE B ① 2 ③ (1)如图①，若∠ABC=46°，CP∥AB,求BPC的度数： (2)如图②，若∠BAC=110°，∠PBC=∠PCA,求LBPC的度数： (3)如图③，若∠ABC=46°，∠ACB=34°，直线CP与△ABC的一条边垂直，则∠BPC的度数. 36.若等腰三角形的周长为8cm,其中一边长为2cm,则底边长为_cm. 综合训练卷 37.如图是某种可调节躺椅的示意图，AE与BD的交点为C,∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CEF=30° .为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD=120°，且∠CAB、∠CBA、∠CEF保持不变，则图中 ∠CDF应调整为 度. 试卷第10页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 B 38.如图，将三角形ABC沿平行于BC的直线折叠，折痕为DE,点A落在点F处，若∠FEC=40°，则 ∠C的度数为 D 39.如图，在△ABC中，已知点D,E分别为BC,AD的中点，EF=3CF,且△ABC的面积为15，则 △BEF的面积为， 40,如图，在△4BC中MB>BC）,4C=2BC,BC边上的中线4D把AABC的周长分成50和35两部分， 求AC和AB的长 41.如图，在△ABC中，BE、CF是△ABC的中线，△ABE的周长比△BCE的周长长2，若AE=4, BF=6. 试卷第11页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 A B (1)求AB,AC的长： (2)求BC的长： (3)直接写出△ABC的周长. 42.【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC,垂足为点E.若∠B=38°，∠C=70°， 求∠DAE的度数. 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧. 【问题变式】 如图1，将原第9题中“AE⊥BC”改为“在AD上任取一点F,作FE⊥BC”,垂足为点E,其他条件 不变，直接写出∠DFE的度数： 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在AD上任取一点F改为“在DA的延长线上任取一点P',其他条件不变， 判断∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由： 【深度探究】 如图3，在△MBC中，∠B=a,∠C=B(B>a）,AD是∠BAC的平分线，在AD上任取一点R,过点P 作EF⊥AD,与BC的延长线交于点E,请直接写出∠DEF与a,P之间的数量关系. D D E 图1 图2 图3 43.综合与实践 试卷第12页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 9 图1 图2 图3 ()如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,如果∠A=70°，那么∠BPC=-, (2)如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,试求出∠Q、∠A之间的数量关系_ (3)如图3，延长BP、QC交于点E,在△BE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过 程，求∠A的度数 4.如图，在ABC中，已知点D,8,F分别为边BC,4D,CE的中点，且Sc=8c,则等于 () E B D A.Icm2 B.2cm2 C.4cm2 D.6cm2 45.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= D B 46.如图，直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,则∠P与∠B、∠D的数量关系是 试卷第13页（共46页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光鸟笔 B D 试卷第14页（共46页）苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2026~2027学年人教版新教材八年级数学上册第十三章三角形题型举一反三专题复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一：三角形中三边关系的应用 1．已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，正确理解三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．分分两种情况：①若腰长为2，②若底边长为2，利用三角形的三边关系依次验证即可． 【详解】解：分两种情况： ①若腰长为2，则底边长为， ，不能构成三角形，故舍去； ②若底边长为2，则腰长为，，能构成三角形， 故腰长为4， 故选C． 2．已知一个三角形的两边，满足，则此三角形的第三边可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了非负性的性质，三角形三边关系的应用，先由非负性的性质求出，再由三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴第三边的长， ∴四个选项中，只有B选项中的数符合题意， 故选：B． 3．把一条长的铁丝截成小段，每段长度不小于，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，能够根据三角形的三边关系解决生活中的实际问题，设其中最小的两段都是根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解． 【详解】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是； 每一段不小于， ，不与前两段组成三角形的话，，即，不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即，即，不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即，即， 此时剩下的， 实际上，那么前面四段中必有两段与组成三角形． 的最小值为6． 故选：D． 4．已知三角形的两边长为6和8，第三边长为（取整数），当的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 【答案】，三角形的周长最小值为 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了求三角形第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再根据周长取最小即为能取到的最小整数，由此解出本题． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴值可为3，且此时三角形周长最小, ∴三角形的最小周长为． 考点二：与三角形中线有关的长度计算 5．如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选C． 6．在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（   ） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 【答案】C 【知识点】构造二元一次方程组求解、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设，，则，分两种情况列二元一次方程求解，再利用三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设，， 是中线， ， 中线将这个三角形的周长分为15和21两部分， 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 综上可知，的长为16或8， 故选：C． 7．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 8．如图，在中，是边上的中线，周长比周长多，的周长L为，长为，求和的长． 【答案】和的长分别为和 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， ， 即①， 的周长L为，长为， ，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得， 故和的长分别为和． 三：与三角形中线有关的面积计算 9．如图，在中，是边上任意一点，分别是的中点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由点是的中点，则，，故，所以，根据点是的中点的，点是的中点得，从而求解，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】连接，如图所示， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：． 10．如图，是边上任意一点，是的中点，是的中点．若的面积是，则的面积是__________．    【答案】8 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了中线平分面积的知识，掌握三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 根据是的中点，的面积是，得到，根据是的中点，得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的中点，的面积是， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8 ． 11．如图，点G是的重心，点D，E分别是边，的中点，连接，若的面积为6，则的面积为_________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】根据三角形中线的性质以及重心的性质即可得出答案； 【详解】解：∵点G是的重心， ∴CG=2DG， ∴S△DEGS△CDE ∵点D，E分别是边，的中点， ∴S△BCDS△ABC ，S△CDES△BCD， ∴S△CDES△ABC， ∵的面积为6， ∴S△CDE， ∴S△DEGS△CDE； 故答案为： 【点睛】此题考查三角形的面积和重心的性质，熟练掌握重心的性质是解题的关键． 12．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 四：与三角形高线有关的计算 13．如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【答案】4 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 14．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 15．如图，在中，，平分，于，若，求的长度． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质可得，结合图形计算即可． 【详解】解：， ， 平分，，， ， ． 16．如图，在中，，平分交于点E，于点D． (1)求的度数； (2)若，证明：是直角三角形． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）知， ， 在中， ， ， 在中， 是直角三角形． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定义，角平分线的定义，三角形外角性质，熟练掌握垂直的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义是解决本题的关键． （1）先根据三角形内角和求出的度数，再根据角平分线的定义求出结果； （2）先根据三角形外角性质求出的度数，在中，求出的度数，在中，根据三角形内角和求出等于即可． 【详解】（1）解：， ， 平分 （2）略 五：与三角形中三线有关的角度计算 17．如图，在中，于D，平分． (1)若，，求的度数． (2)若，则______． (3)若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，求出的度数，据此结合垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形内角和定理求出，则由角平分线的定义可得的度数，求出的度数，据此结合垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （3）同（2）求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．如图，是的高，的两条角平分线、相交于点，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形高线可得，利用三角形的内角和定理可求解的度数； （2）由三角形的内角和可求解的度数，再根据角平分线的定义可求出和的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【详解】（1）解：是的高线， ， ，， ． 是的角平分线，， ． ； （2）解：，，， ， ，分别平分，，，相交于点， ，， ， ． 19．如图，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数； (2)为上一点，连接，当为直角三角形，且时，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵点为上一点，为直角三角形， ， ， ， ， ∴， ∴． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据题意可得，进而得出，再求出，最后再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∵是的角平分线， ． （2）略 20．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、折叠问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识． 连接，首先求出，再证明，即可解决问题． 【详解】解：连接，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故选：A 六：三角形中的角度计算与折叠问题 21．如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，利用折叠的性质得到相等的角是解题的关键． 先由邻补角性质求出，再利用折叠性质得和的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 22．在如图所示的纸片中，点E是边的中点，点F是边上任意一点，现将△BEF沿折叠，得到，折痕与的角平分线相交于点O，连接，当，线段与的长度和最小时，，则此时______．      【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】当三点共线时, 线段与的长度和最小, 设交于点, 设, 则 ，利用翻折及外角可, 再利用三角形的内角和即可得出结果. 【详解】当三点共线时，线段 与 的长度和最小,    设交于点， ∵平分, ∴, 设, ∵, ， ， , 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和以及外角性质，找到是的外角是解决本题的关键. 23．把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) 解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2) 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 24．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，三角形的角平分线，掌握以上知识点是解题的关键． 由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 故选：A． 七：双角平分线模型 25．如图，、的平分线交于点P，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，延长交于E，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图，延长交于E， ∵的角平分线交于点P， ∴， 由三角形的内角和定理得，， 在中，， 在中，， ∴， 得，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 26．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键； 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④； 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ， 故①正确，符合题意； 平分， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④； 故选：C 27．如图所示，，作的延长线，与的角平分线相交于，与的角平分线相交于…以此类推，与的角平分线相交于…则________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是找出与的规律． 利用三角形外角性质和角平分线性质，推导、与的关系，归纳出的一般规律，再代入求解． 【详解】解：∵分别平分和， ， 而， ∴， ， 同理可得， 即， 即． 故答案为：． 28．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为________度． 【答案】40 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 八：与角平分线有关的三角形内角和问题 29．如图，和的角平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：设，相交于点，如图1． ，， 而， ． (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）设，相交于点，根据三角形内角和定理和对顶角的性质证明即可； （2）类似（1）可得出，设．结合（1）的结论可得，，两式相加即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设与相交于点，如图2． ∵平分，平分， ∴设． ， ， 又， ， 则， ， 即， ， 由①+②，得， ， 解得 30．如图．已知和的平分线和相交于点P．并且与分别相交于点，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角的定义、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了对顶角相等、三角形内角和定理，角平分线的定义，先根据已知，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； 【详解】解：∵， ∴，① 同理得，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， 得：， 即， 又∵，， ∴， ∴． 31．如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3) 解：，理由如下： 如图，延长、交于点， ∴ ， 由（2）可得， ． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形的概念与分类 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可． 【详解】（1）解：，平分， ， 又， ， 平分， ， ， （2）解：不变化，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即； （3）略 32．如图①，和的平分线交于点O，经过点O且平行于，分别与、交于点E、G． (1)若，，则 度， 度， 度． (2)若，则 度． (3)如图②，和的平分线交于点O，经过点O，分别与、交于点E、G．若，，，求证：． 【答案】(1) (2)115° (3) 证明：∵和的平分线交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】内错角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题．掌握角平分线的定义，三角形的内角和定理，是解题的关键． （1）根据角平分线平分角，平行线的性质，和三角形的内角和定理进行求解即可； （2）根据角平分线平分角结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （3）角平分线的性质，求出度数，进而求出的度数，根据，求出的度数，再根据角平分线的性质，推出，即可． 【详解】（1）解：∵，，和的平分线交于点O， ∴， ∴ ∵经过点O且平行于， ∴； 故答案为：； （2）∵和的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）略 九：三角形中的角度综合计算 33．如图，已知中，、的平分线交于，交于，交于，连接，过作于． (1)试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 解：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； (2) 解：，证明如下： 过作于，于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴在的角平分线上， ∴， 结合（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 解：，证明如下： ∵， ∴由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，然后由，即可获得答案； （2）过作于，于，首先根据角平分线的性质定理可得，，得，进而证明为的角平分线，结合（1）可知，，再证明，即可证明结论； （3）结合题意证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、角平分线的性质定理和判定定理、直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键． 34．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）130 （2） （3） （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴； （5）解：如图5-1所示， ∵， ∴ 如图5-2所示， ∵， ∴ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）如图1所示，连接，证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）利用三角形外角的性质求解即可； （5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：； （3）解：设与交于F， ∵，， ∴， 故答案为：； （4）略 （5）略 35．已知中，平分，点P在射线上． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，，求的度数； (3)如图③，若，直线与的一条边垂直，则的度数． 【答案】(1) (2) (3)°，， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和等于，是解题的关键． （1）根据角平分线的定义与平行线的性质，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，可得，进而即可求解； （3）分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴ ∵中，， 中，， ，， ∴ 即； （3）解：当， 当， 当， ， 故答案为：，，． 36．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则底边长为_____． 【答案】2 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，当等腰三角形的给定边长不固定时要分情况讨论求出另两边的长度是解题的关键． 分两种情况：当腰长为时，当底边长为时，结合三角形的三边关系分别求出底边长． 【详解】解：当底边为时，则腰长为：， 此时三边长为，可以构成三角形，符合题意； 当腰长为时，则底边为， 此时三边长为，，不可以构成三角形，不符合题意， ∴底边为， 故答案为：2． 综合训练卷 37．如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 ________________度． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和及三角形的外角，延长交于点M，首先根据三角形的内角和求出的值，然后利用三角形的外角可得，进而即可得出结论． 【详解】延长交于点M， ，， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：20． 38．如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为_____． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质得到，再根据，，求出，最后根据平行线的性质得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．如图，在中，已知点，分别为，的中点，，且的面积为15，则的面积为___________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握中线能够把三角形的面积平分是解题的关键．根据点，分别为，的中点，可推出，再根据，可推出，代入数据即可求得答案． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴，，， ∴， ∵，且的面积为15， ∴． 故答案为：． 40．如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 【答案】， 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成50和35两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， 综上：，． 41．如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 42．【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：； 继续探究：不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究： 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：略 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． 43．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 44．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】直接根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵D为的中点， ∴， ∵E为的中点， ∴，， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，掌握中线的基本性质，熟练推理三角形面积之间的关系是解题关键． 45．如图，______． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形的内角和为，将所求角的度数转化为某些三角形的内角和是解题的关键． 由，得所求角的度数和等于的内角和，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 46．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ，， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 试卷第46页（共46页） 试卷第45页（共46页） 学科网（北京）股份有限公司 $