26.4.1几何图形的最大面积-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数几何图形最大面积，通过小球运动、跳水等实际情境导入，衔接二次函数顶点最值知识，构建“设变量—列解析式—定范围—求最值”的解题支架，系统梳理矩形、围栏等图形面积建模方法。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，如铅球运动、矩形菜园等实例，培养建模意识与几何直观。采用分层练习（基础到综合拓展）和步骤化小结，助力学生用数学思维推理面积关系，教师可借助系统资料提升教学效率，学生能深化二次函数应用能力。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.4.1几何图形的最大面积 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 26.4.1 几何图形的最大面积专项练习 本次专项练习对应人教版九年级上册26.4.1知识点，是二次函数最值性质在几何图形中的实际应用，属于中考重点应用型考点。本节核心是利用二次函数建模思想，结合矩形、长方形、围栏图形等常见几何图形的周长、边长关系，建立面积与边长的二次函数解析式，再通过二次函数最值求解方法，计算几何图形的最大面积，重点考查建模能力与数形结合应用能力，分层题型可全面夯实解题思路。 一、核心知识梳理 1. 解题建模原理：几何面积最值问题的核心是转化思想，将几何图形的边长变量设为自变量x，根据周长、边长约束条件，推导面积S与x的函数关系式，最终转化为二次函数最值问题求解，实现几何问题代数化。 2. 核心解题步骤：首先设定合理自变量，通常设变化的边长为x；其次根据几何公式列出面积二次函数解析式；再次结合实际几何意义确定自变量取值范围；最后利用二次函数顶点最值，求解图形最大或最小面积。 3. 关键易错要点：几何边长必须为正数，自变量取值范围受实际场景限制，不可直接套用顶点最值；开口向下的二次函数顶点为最大值，符合面积最值实际需求；常见题型为围栏靠墙矩形、定周长矩形、窗框矩形等规则图形面积最值问题。 二、基础专项练习题 选择题 1. 用总长为40m的篱笆围成矩形场地，设矩形一边长为x m，面积为S m²，则S与x的函数解析式为（ ） A. S=x(40−x) B. S=x(20−x) C. S=2x(20−x) D. S=x(40−2x) 2. 定周长矩形中，面积最大的图形是（ ） A. 长方形 B. 正方形 C. 长大于宽的矩形 D. 长小于宽的矩形 填空题 3. 已知矩形周长为36cm，设一边长为x cm，面积为S cm²，则当x=________cm时，矩形面积最大。 4. 二次函数S=-x²+12x表示矩形面积与边长关系，则该矩形的最大面积为________。 基础解答题 5. 用总长为60m的篱笆围成一个矩形菜园，求菜园的最大面积及此时矩形的边长。 三、能力提升练习题 1. 利用一面墙，用总长为50m的篱笆围成矩形鸡场，墙长足够长，设垂直于墙的边长为x m，求鸡场的最大面积。 2. 已知矩形的长和宽之和为18，求该矩形面积的最大值。 四、综合拓展练习题 某小区计划借助一面长24m的围墙，用篱笆围成一个矩形绿化区域，篱笆总长为40m，设垂直于围墙的边长为x m。求：（1）写出绿化区域面积S与x的函数解析式及自变量取值范围；（2）求出绿化区域的最大面积。 五、参考答案与详细解析 选择题解析 1. 答案：B。解析：周长40m，一组长与宽的和为20m，一边长x m，另一边长(20−x)m，面积S=x(20−x)。 2. 答案：B。解析：定周长矩形中，正方形长宽相等，面积取得最大值，是几何最值基本结论。 填空题解析 3. 答案：9。解析：长宽和为18cm，设边长x，S=x(18−x)，顶点x=9时面积最大，此时为正方形。 4. 答案：36。解析：S=-x²+12x，a=-1＜0，顶点横坐标x=6，代入得最大面积S=36。 基础解答题解析 5. 解析：设一边长为x m，则另一边长(30−x)m，面积S=x(30−x)=-x²+30x。a=-1＜0，顶点x=15时，最大面积S=225m²，此时矩形为边长15m的正方形。 能力提升题解析 1. 解析：垂直墙边长x m，平行墙边长(50−2x)m，面积S=x(50−2x)=-2x²+50x。顶点x=12.5时，最大面积为312.5m²。 2. 解析：设长为x，则宽为18−x，面积S=-x²+18x，顶点x=9时，最大面积为81，此时图形为正方形。 综合拓展题解析 （1）垂直围墙边长x m，平行围墙边长(40−2x)m，由墙长限制得40−2x≤24，解得x≥8，且x＞0，取值范围8≤x＜20，解析式S=-2x²+40x；（2）函数对称轴x=10，在取值范围内，代入得最大面积S=200m²。 练习总结：本节是二次函数实际应用的入门核心，核心解题思路为“设变量—列解析式—定范围—求最值”。高频易错点为忽略几何边长的实际取值限制、靠墙题型边长数量关系判断错误、无法准确建立面积函数模型。熟练掌握矩形面积建模方法，能延伸解决三角形、抛物线内接图形等各类几何最值问题，是二次函数综合应用题的重要基础。（字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数解析式求图形面积的最值. 会应用二次函数的性质解决实际问题. 推进新课 问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 分析： ①由a=-5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。 情境导入 3 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 情境导入 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 例1 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 探究新知 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 例1 解：对于二次函数h=﹣4.9t2+2.8t+11，当 时，h有最大值 . 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 探究新知 思考：函数h=﹣4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ 起跳阶段 (t = 0 到 t ≈0.3 s) 运动员从高度 11 m 处起跳，重心高度逐渐上升，在约 0.3 s时达到最高点11.4m. 下落阶段(t ≈0.3 s到落水) 到达最高点后，重心高度开始下降，直到重心高度为0时，运动员入水，完成跳水动作. 探究新知 用二次函数解决实际问题一般步骤 (1) 审：仔细审题，厘清题意. (2) 设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. (3) 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. (4) 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. (5) 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. (6) 答：写出答案. 探究新知 知识点1 高度最值问题 1.如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，水 在空中划出的曲线是抛物线 （单位： ）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.某学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间 满足的 函数解析式为 .若火箭在点火升空到最高点时打开降 落伞，则火箭点火后____降落伞将打开，这时火箭的高度是_____ . 13 170 返回 举一反三 10 3.如图，某运动员站在点处推铅球时，铅球在点处出手，点在点 的正上方，以地面为 轴，运动员站立的位置为坐标原点，建立平面 直角坐标系.已知铅球经过的路线满足抛物线 . 举一反三 11 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 例2 (20-2x)m x m S=x(20-2x) . 思考：自变量的取值范围怎么考虑呢？ 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义. 如菜园的边长应为正数， 即 x>0，且 20-2x>0， 于是自变量x的取值范围是 0<x<10. 探究新知 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例2 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x) . 即 S=-2x2+20x (0< x <10). 当x=﹣ =5时，S有最大值 =50. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 . (20-2x)m x m 探究新知 （1）铅球出手时的高度 是多少米？ 解：在中，令，则 ， ， . 答：铅球出手时的高度是 . 举一反三 14 （2）在铅球运动过程中，最高点到地面 的距离是多少米？此时铅球 距离运动员的水平距离为多少米？ 解： 抛物线的顶点坐标为 . 答：在铅球运动过程中，最高点到地面的距离是 ，此时铅球距离 运动员的水平距离为 . 返回 举一反三 15 知识点2 面积最值问题 4.某广场有一个长为，宽为 的矩形花园，根据需要将它的长 缩短，宽增加，要使修改后的花园面积达到最大，则 的值为 ( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.4 返回 举一反三 16 5.[杭州模拟] 如图，在长为、宽为 的矩形花圃里建有等宽的 十字形小路，若小路的宽不超过，当小路的宽为___ 时，阴影部分 的面积最小，为_____ . 1 247 返回 举一反三 17 6.［教材 例2变式］某校打算建一个如图所示的 矩形菜地 .菜地的一面利用学校边墙，其他三 面用栅栏围住，但要开一扇 宽的进出口 （不需要栅栏），已知栅栏的总长度为 . 解：设，矩形菜地的面积为 ， 则 ， . 举一反三 18 （1）若墙的长度不限，则当为多少米时，矩形菜地 的面积最 大？最大面积为多少？ [答案] ， . 又， ， ， 当时，有最大值，为 . 答：当为时，矩形菜地的面积最大，最大面积为 . 返回 举一反三 19 （2）若墙长，则当为多少米时，矩形菜地 的面积最大？ 最大面积为多少？ [答案] ， ， ，对称轴为直线， 当时， 有最大值，为 . 答：当为时，矩形菜地的面积最大，最大面积为 . 举一反三 20 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $