第26章 二次函数 综合与实践（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦九年级二次函数实际应用，通过音乐喷泉、汽车刹车、帆布包销售等现实情境问题导入，引导学生从二次函数概念过渡到建模应用，搭建“问题情境—数据采集—数学建模—问题解决”的学习支架。 其亮点是以真实生活案例为载体，培养学生用数学眼光观察现实（如喷泉水流抛物线），用数学思维推理计算（刹车时间、利润最值），用数学语言表达模型（函数解析式）。采用分层练习设计，助力中考备考，学生提升应用能力，教师获得同步教学资源。

数 学 九上　第二十六章 二次函数 综合与实践 主题：测量音乐喷泉水流的最高点与地面的距离 1.(2025南宁兴宁区校级月考)综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分.某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离. 图1　 图2 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且AB＝6 m，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，OP即为抛物线水流的最高点与地面的距离.小组成员设计的方案如下：拿一根长4.5 m的竹竿CD，竖直放在线段OB上(CD⊥OB)，当水流刚好经过竹竿顶部点C时，测得竹竿底部点D到点O的距离为1.5 m. 图1　 图2 【问题解决】 (1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和OP的长. 图1　 图2 解：建立合适的平面直角坐标系如解图. ∵抛物线顶点在y轴上，∴设y＝ax2＋k， ∵AB＝6 m，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O， ∴A(－3，0)，B(3，0)， 由题意可知，CD＝4.5 m，OD＝1.5 m，∴C(1.5，4.5)， 将A，C的坐标分别代入y＝ax2＋k，得解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋6， ∴顶点为P(0，6)，∴OP＝6 m. (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是1.68 m，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到.(该小组成员站在线段AB上拍照.≈1.414，结果保留整数) 图1　 图2 解：当y＝1.68时，－ x2＋6＝1.68，解得x＝±， 最大宽度为－(－ )＝≈≈5 m， ∴他们最多能站5 m宽才不会被水淋到. 主题：探究汽车刹车距离 2.(2025南宁青秀区校级期中)综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离，某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心 考察. 图1　 图2 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制了如图2的函数图象. 发现：开始刹车后行驶的距离y(单位：m)与刹车后行驶的时间t(单位：s)之间成二次函数关系. 图1　 图2 问题解决： (1)求二次函数的解析式(不要求写出自变量的取值范围)； 图1　 图2 解：设二次函数的解析式为y＝at2＋bt＋c， 由条件可得： 解得 ∴二次函数的解析式为y＝－3t2＋30t. 图1　 图2 (2)汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ 图1　 图2 解：y＝－3t2＋30t＝－3(t－5)2＋75， 答：汽车司机踩下刹车后，5 s时汽车完全停下. (3)若有一测速仪固定在汽车开始踩刹点的前65 m处，在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距7 m. 图1　 图2 解：由题意，得汽车开始刹车后行驶的距离y＝65＋7＝72(m)， 令72＝－3t2＋30t， 解得t1＝4，t2＝6(不符合题意，舍去). 答：在汽车刹车过程中，经过4 s汽车超过测速仪且与测速仪相距7 m. 主题：探究销售帆布包的最大利润 3.综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以广西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究. 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y(元)是销售单价x(元/个)的二次函数(8＜x＜32)，部分相关数据如下表： 销售单价x(元/个) 14 15 16 17 18 销售额y(元) 504 510 512 510 504 数学建模：(1)通过分析上表中的数据，直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式. 解：由表格可得，最大销售额为512元，则顶点坐标为(16，512). 设y＝a(x－16)2＋512. 将(17，510)代入得a(17－16)2＋512＝510，解得a＝－2， ∴销售额y(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式为y＝－2(x－16)2＋512. 问题解决：(2)已知每个环保帆布包的成本价为8元. ①若设这批环保帆布包的销售数量为q(个)，求销售数量q(个)与销售单价x(元/个)之间的关系式，以及当销售单价为18元/个时的销售利润； 解：由(1)得y＝－2(x－16)2＋512＝－2x2＋64x， 则q＝＝＝－2x＋64， ∴销售数量q(个)与销售单价x(元/个)之间的关系式为q＝－2x＋64. 当x＝18时，销售利润为(18－8)×(－2×18＋64)＝280(元). ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 解：设销售此款环保帆布包的销售利润为w元. 由①得，销售数量q(个)与销售单价x(元/个)之间的关系式为q＝－2x＋64， ∴w＝y－8(－2x＋64)＝－2x2＋64x－8(－2x＋64)＝－2x2＋80x－512＝ －2(x－20)2＋288， ∴此款环保帆布包的销售利润w是销售单价x的二次函数. ∵－2＜0，且8＜20＜32， ∴当x＝20时，w取得最大值， ∴当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大. $