专题09 椭圆的几何性质（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的几何性质核心知识点，系统梳理从椭圆定义、基础几何性质（范围、对称性、顶点、轴长）到离心率、通径，再到焦点三角形、离心率范围、动点最值等难点内容，构建从基础到综合的学习支架。 该资料通过分层目标设计（重点/难点）、题型分类（典例+变式）及易错点强化，培养学生数学眼光（抽象几何性质）、数学思维（推理离心率范围）和数学语言（规范解题步骤）。例如离心率问题结合焦点三角形面积公式，课中辅助教师系统教学，课后训练帮助学生查漏补缺。

专题09 椭圆的几何性质 重点目标： 1. 熟练掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长短轴等基础几何性质.能由标准方程快速读出基础几何量. 2. 理解椭圆离心率的定义、几何意义.掌握离心率与椭圆扁平程度的对应关系. 3. 熟记椭圆四大参数的换算关系.能实现参数之间的快速互化计算. 4. 掌握椭圆通径、顶点坐标、焦点坐标、对称轴等必考基础结论.解决基础选择填空题型. 5. 能利用椭圆几何性质求解简单最值、范围问题.适配基础高频考点. 难点目标： 1. 精准理解离心率的取值范围与几何内涵.掌握多种条件下离心率的求值与范围求解方法. 2. 掌握椭圆焦半径公式、焦点三角形的性质与结论.能灵活用于求值、最值、角度计算. 3. 熟练处理含参椭圆的几何性质问题.能根据参数变化分析离心率、顶点、范围的变化规律. 4. 掌握椭圆上动点的横纵坐标最值、距离最值、面积最值的综合求解思路. 5. 综合运用椭圆几何性质结合不等式、三角函数、平面几何知识解决中档压轴题型. 1、 重点知识 （一）椭圆定义 · 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 1. 定点叫做椭圆的焦点. 2. 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.记. 3. 设轨迹上任意一点为.则恒有. 4. 定义核心条件：即.是轨迹为椭圆的必要前提. （一）椭圆基础几何性质（两大标准方程通用） · 核心参数关系：椭圆恒满足.为长半轴长.为短半轴长.为半焦距. 1. 对称性：椭圆既是轴对称图形（关于x轴、y轴对称）.又是中心对称图形（关于原点中心对称）. 2. 取值范围： 焦点在x轴：. 焦点在y轴：. 3. 顶点坐标：椭圆有四个顶点.长轴顶点、短轴顶点区分明确. 焦点在x轴：长轴顶点.短轴顶点. 焦点在y轴：长轴顶点.短轴顶点. 4. 轴长：长轴长.短轴长. （二）离心率 1. 定义公式：椭圆离心率. 2. 取值范围：. 3. 几何意义：离心率越大.椭圆越扁平.离心率越小.椭圆越趋近圆形. 4. 衍生公式：.可直接由a、b快速求离心率. （三）通径基础结论（考试速用） 1. 定义：过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径. 2. 通径长定值：. 3. 核心性质：通径是椭圆所有弦中最短的焦点弦. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 顶点混淆误区：混淆长轴顶点与短轴顶点.未根据焦点坐标轴区分顶点坐标. 2. 离心率公式误用：混淆椭圆与双曲线离心率公式.记错平方关系. 3. 范围书写错误：椭圆坐标范围有界.极易写成无界区间或不等号方向错误. 4. 离心率范围误区：默认离心率任意正数.忽略椭圆硬性范围. （二）焦半径拔高性质 1. 设椭圆上任意一点. 2. 左焦半径：. 3. 右焦半径：. 4. 最值结论：焦半径最大值为.最小值为. 5. 核心用途：快速求解椭圆上点到焦点距离.无需距离公式繁琐计算. （三）焦点三角形综合难点 · 椭圆上任意一点与两焦点构成（焦点三角形）. 1. 周长定值：. 2. 面积公式：（）. 3. 角度规律：点P在短轴顶点时.焦点三角形顶角最大.面积最大. 4. 综合考法：结合余弦定理、基本不等式求解角度范围、面积最值、离心率范围. （四）离心率范围求解难点 5. 几何约束法：利用椭圆点的范围、边长大小关系、三角形三边关系构造不等式. 6. 最值转化法：利用焦点三角形最值、焦半径最值建立离心率不等式. 7. 含参椭圆分类：根据参数范围约束关系.求解离心率区间. （五）椭圆动点最值深度拓展 1. 距离最值：椭圆上动点到定点、定直线的距离最值.结合几何特征数形结合求解. 2. 弦长最值：椭圆最长弦为长轴.最短焦点弦为通径. 3. 面积最值：焦点三角形、内接三角形、四边形面积最值规律. （六）深度拓展拔高知识 1. 椭圆二级结论拓展：中点弦结论、点差法核心规律.快速解决椭圆弦中点斜率问题. 2. 离心率秒杀模型：利用焦点三角形顶角、边长比例、对称关系快速求离心率. 3. 隐形几何约束：题目无显性条件时.挖掘椭圆有界性、三角形三边关系等隐形条件. 4. 椭圆对称性综合：利用对称性质求解周长最值、路径最短等几何综合问题. 5. 离心率恒成立问题：结合参数范围、不等式恒成立求解离心率精准区间. （七）本节高频失分点汇总 1. 长短轴顶点混淆.坐标轴判断失误导致坐标书写错误. 2. 记错平方关系.与双曲线公式混淆. 3. 求解离心率范围忽略固有范围. 4. 焦点三角形面积公式、焦半径公式记忆混淆.乱用结论. 5. 动点最值问题只会代数运算.不会利用椭圆几何性质秒杀. 6. 含参椭圆不结合几何约束.导致离心率、参数范围求解不完整. 题型01 由椭圆方程研究其几何性质 【典例】已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．长轴长为2 C．离心率 D．最大值为 【变式】（多选）已知椭圆C：，则下列说法正确的是 （    ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．椭圆C的短轴长为6 D．椭圆C的一个焦点为 题型02 由椭圆几何性质求标准方程 【典例】已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 题型03 椭圆的离心率问题 角度1：求离心率的值 【典例】设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式】，为椭圆上的两点，，为其左右焦点，且满足，当时，椭圆的离心率为_________． 角度2：求离心率的取值范围 【典例】已知椭圆的左､右焦点分别为､，离心率为.若椭圆上存在点，使得，该离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的任意一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型04椭圆有关的位置关系问题 角度1：点与椭圆的位置关系 【典例1】若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【典例2】已知点在椭圆上，则(　　) A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断点，，是否在椭圆上 【变式1】设椭圆的右焦点为，且，方程的两个实根为，，则点（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上情形都有可能 【变式2】若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度2：直线与椭圆的位置关系 【典例】已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式】已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度3：直线与椭圆相切应用 【典例】已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______． 【变式】若方程有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度3：直线与椭圆相交弦长问题 【典例】经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式】过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 角度4：直线与椭圆相交形成三角形面积问题 【典例1】已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 【典例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【变式1】椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 【变式2】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. (1)求的标准方程； (2)已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 题型05椭圆的中点弦与点差法 【典例】如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式】如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型06 椭圆的综合问题 【典例】已知椭圆与直线：交于不同的两点，原点到该直线的距离为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在实数使直线交椭圆于两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式】已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【巩固训练】 1．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 3．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知椭圆，则下列说法正确的有（   ） A．的长轴长为10 B．的焦点坐标为 C．的离心率为 D．上的点到焦点的最小距离为4 5．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C．当时，的面积为 D．当为椭圆短轴端点时，取得最大值 6．已知椭圆（）的离心率为，则______． 7．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的范围是______． 8．已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 9．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若，求直线EF的方程． 【强化训练】 1．如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 2．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（     ） A．24 B．48 C．12 D．96 3．已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．2025年春晚节目（借伞）中，精美的西湖绸伞成为舞台亮点.2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为24cm的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为32光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的通径为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 7．（多选）（多选题）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 8．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 9．已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且，则面积的取值范围是______． 10．已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 椭圆的几何性质 重点目标： 1. 熟练掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长短轴等基础几何性质.能由标准方程快速读出基础几何量. 2. 理解椭圆离心率的定义、几何意义.掌握离心率与椭圆扁平程度的对应关系. 3. 熟记椭圆四大参数的换算关系.能实现参数之间的快速互化计算. 4. 掌握椭圆通径、顶点坐标、焦点坐标、对称轴等必考基础结论.解决基础选择填空题型. 5. 能利用椭圆几何性质求解简单最值、范围问题.适配基础高频考点. 难点目标： 1. 精准理解离心率的取值范围与几何内涵.掌握多种条件下离心率的求值与范围求解方法. 2. 掌握椭圆焦半径公式、焦点三角形的性质与结论.能灵活用于求值、最值、角度计算. 3. 熟练处理含参椭圆的几何性质问题.能根据参数变化分析离心率、顶点、范围的变化规律. 4. 掌握椭圆上动点的横纵坐标最值、距离最值、面积最值的综合求解思路. 5. 综合运用椭圆几何性质结合不等式、三角函数、平面几何知识解决中档压轴题型. 1、 重点知识 （一）椭圆定义 · 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 1. 定点叫做椭圆的焦点. 2. 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.记. 3. 设轨迹上任意一点为.则恒有. 4. 定义核心条件：即.是轨迹为椭圆的必要前提. （一）椭圆基础几何性质（两大标准方程通用） · 核心参数关系：椭圆恒满足.为长半轴长.为短半轴长.为半焦距. 1. 对称性：椭圆既是轴对称图形（关于x轴、y轴对称）.又是中心对称图形（关于原点中心对称）. 2. 取值范围： 焦点在x轴：. 焦点在y轴：. 3. 顶点坐标：椭圆有四个顶点.长轴顶点、短轴顶点区分明确. 焦点在x轴：长轴顶点.短轴顶点. 焦点在y轴：长轴顶点.短轴顶点. 4. 轴长：长轴长.短轴长. （二）离心率 1. 定义公式：椭圆离心率. 2. 取值范围：. 3. 几何意义：离心率越大.椭圆越扁平.离心率越小.椭圆越趋近圆形. 4. 衍生公式：.可直接由a、b快速求离心率. （三）通径基础结论（考试速用） 1. 定义：过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径. 2. 通径长定值：. 3. 核心性质：通径是椭圆所有弦中最短的焦点弦. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 顶点混淆误区：混淆长轴顶点与短轴顶点.未根据焦点坐标轴区分顶点坐标. 2. 离心率公式误用：混淆椭圆与双曲线离心率公式.记错平方关系. 3. 范围书写错误：椭圆坐标范围有界.极易写成无界区间或不等号方向错误. 4. 离心率范围误区：默认离心率任意正数.忽略椭圆硬性范围. （二）焦半径拔高性质 1. 设椭圆上任意一点. 2. 左焦半径：. 3. 右焦半径：. 4. 最值结论：焦半径最大值为.最小值为. 5. 核心用途：快速求解椭圆上点到焦点距离.无需距离公式繁琐计算. （三）焦点三角形综合难点（期末高频大题） · 椭圆上任意一点与两焦点构成（焦点三角形）. 1. 周长定值：. 2. 面积公式：（）. 3. 角度规律：点P在短轴顶点时.焦点三角形顶角最大.面积最大. 4. 综合考法：结合余弦定理、基本不等式求解角度范围、面积最值、离心率范围. （四）离心率范围求解难点（高考高频） 5. 几何约束法：利用椭圆点的范围、边长大小关系、三角形三边关系构造不等式. 6. 最值转化法：利用焦点三角形最值、焦半径最值建立离心率不等式. 7. 含参椭圆分类：根据参数范围约束关系.求解离心率区间. （五）椭圆动点最值深度拓展 1. 距离最值：椭圆上动点到定点、定直线的距离最值.结合几何特征数形结合求解. 2. 弦长最值：椭圆最长弦为长轴.最短焦点弦为通径. 3. 面积最值：焦点三角形、内接三角形、四边形面积最值规律. （六）高考深度拓展拔高知识 1. 椭圆二级结论拓展：中点弦结论、点差法核心规律.快速解决椭圆弦中点斜率问题. 2. 离心率秒杀模型：利用焦点三角形顶角、边长比例、对称关系快速求离心率. 3. 隐形几何约束：题目无显性条件时.挖掘椭圆有界性、三角形三边关系等隐形条件. 4. 椭圆对称性综合：利用对称性质求解周长最值、路径最短等几何综合问题. 5. 离心率恒成立问题：结合参数范围、不等式恒成立求解离心率精准区间. （七）本节高频失分点汇总 1. 长短轴顶点混淆.坐标轴判断失误导致坐标书写错误. 2. 记错平方关系.与双曲线公式混淆. 3. 求解离心率范围忽略固有范围. 4. 焦点三角形面积公式、焦半径公式记忆混淆.乱用结论. 5. 动点最值问题只会代数运算.不会利用椭圆几何性质秒杀. 6. 含参椭圆不结合几何约束.导致离心率、参数范围求解不完整. 题型01 由椭圆方程研究其几何性质 【典例】已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．长轴长为2 C．离心率 D．最大值为 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程及其性质判断各项的正误. 【详解】由椭圆标准方程为，则， 所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为. 故选：D 【变式】（多选）已知椭圆C：，则下列说法正确的是 （    ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．椭圆C的短轴长为6 D．椭圆C的一个焦点为 【答案】AC 【分析】根据方程可知，，，且焦点在y轴上，进而逐项判断即可. 【详解】由椭圆方程可得，，，且焦点在y轴上， 则椭圆C的长轴长为，故A正确； 椭圆C的离心率为，故B错误； 椭圆C的短轴长为，故C正确； 椭圆C的焦点为或，故D错误； 故选：AC. 题型02 由椭圆几何性质求标准方程 【典例】已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，，进而结合求解即可得答案. 【详解】解：因为焦距为，即，所以， 又因为， 所以， 所以椭圆的标准方程为：． 故选：D 【变式】与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为， 设所求椭圆的长半轴长为，则， 故所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 题型03 椭圆的离心率问题 角度1：求离心率的值 【典例】设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知易得四边形是矩形，设，，进而可得，利用，求解即可． 【详解】过原点的直线交椭圆于，两点，被平分， 又被平分，四边形是平行四边形， 又，四边形是矩形， ， 由对称性可得，设，， ，， ， ． 故选：B． 【变式】，为椭圆上的两点，，为其左右焦点，且满足，当时，椭圆的离心率为_________． 【答案】 【分析】设（），则，由椭圆的定义可得，然后在和中分别利用余弦定理可得两个式子，两式相结合可求得，从而可求出离心率 【详解】解：设（），则，， 所以由椭圆的定义可得， 在中由余弦定理得，， 即， 化简得， 在中，由余弦定理得，, 即 ， 化简得，因为，所以， 所以，得， 所以， 故答案为： 角度2：求离心率的取值范围 【典例】已知椭圆的左､右焦点分别为､，离心率为.若椭圆上存在点，使得，该离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】假设椭圆上存在点，使得，结合椭圆的定义解得，再由求解. 【详解】假设椭圆上存在点，使得， 由椭圆的定义得：， 解得， 因为， 所以， 两边同除以a得， 解得 ， 因为 ， 所以， 所以该离心率的取值范围是 故选：B 【变式】已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的任意一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由，得，根据表示椭圆上的点到原点的距离的平方，可得选项． 【详解】由已知得，设，则，因为，所以，，即，因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，所以，所以，即，所以， 故选：B. 题型04椭圆有关的位置关系问题 角度1：点与椭圆的位置关系 【典例1】若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【答案】C 【分析】将点坐标代入圆的方程左侧，判断所得结果与右侧大小，即可得位置关系. 【详解】因为， 当且仅当时取等号，所以点在圆内或圆上． 故选：C 【典例2】已知点在椭圆上，则(　　) A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断点，，是否在椭圆上 【答案】C 【详解】根据椭圆对称性知点，，皆在椭圆上,所以选C. 【变式1】设椭圆的右焦点为，且，方程的两个实根为，，则点（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上情形都有可能 【答案】C 【分析】由可求得，利用一元二次方程根与系数关系可求得，进而得到点在圆内. 【详解】     在中，     在圆内 故选： 【变式2】若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据点与椭圆的位置关系即可求解. 【详解】解：，所以 故选：B. 角度2：直线与椭圆的位置关系 【典例】已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】先判断直线恒过点，再判断该点在椭圆内部，从而可得结果. 【详解】直线：化为， 可得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部. 所以直线与椭圆相交， 故选：B. 【变式】已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围． 【详解】直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解， ∴； 解得，即m的取值范围为. 故选：A 角度3：直线与椭圆相切应用 【典例】已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______． 【答案】/ 【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标． 【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0， 设切线的方程为：，，由于过点可得：，① 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， 则，可得②， 由①②可得：，， 所以切线方程为：； 可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得， 即切点， 所以直线的方程为：，切点的坐标． 故答案为： 【变式】若方程有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则可得表示的是双曲线在时的部分曲线，即可将方程有实数解转化为曲线与直线有交点，作出曲线，数形结合，结合直线和双曲线的位置关系，即可求得答案, 【详解】设，则， 即表示的是双曲线在时的部分曲线，如图， 则方程有实数解，可转化为曲线与直线有交点； 当将直线平移至过点或由此将直线向上平移时， 曲线与直线有交点， 直线过点时，， 直线向上平移时有，故此时； 当将直线平移和曲线右侧部分相切或由此将直线向下平移时， 曲线与直线有交点， 当直线和曲线右侧部分相切时， 联立，得， 令， 结合图象可知此时， 将直线由相切位置向下平移时，和曲线右侧部分相交， 故， 综合可得， 故选：C 角度3：直线与椭圆相交弦长问题 【典例】经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果. 【详解】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 【变式】过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可. 【详解】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为， 代入椭圆方程得，可得，此时通径长， 所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条. 故选：B 角度4：直线与椭圆相交形成三角形面积问题 【典例1】已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义和完全平方公式的应用，结合余弦定理和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 如图，设，则， 所以，得； 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 故答案为： 【典例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据椭圆定义可求长半轴长，再求出短半轴长后可求椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程后求出交点的横坐标，从而可求弦长，再求出左焦点到直线的距离后可求面积. 【详解】（1）由题意可知，记. 则， 所以，故，所以椭圆的方程为. （2）由题设可得直线的斜率为，故其方程为， 由得，所以，， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积. 【变式1】椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】利用焦点三角形的几何性质求解即可. 【详解】 的面积为 所以 故选：A. 【变式2】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. (1)求的标准方程； (2)已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据椭圆的概念，以及椭圆离心率的概念，求出椭圆的参数，写出标准方程； （2）联立椭圆方程和直线方程，求出弦长，根据点到直线距离公式，求出三角形高，进而求出三角形面积. 【详解】（1）椭圆一个焦点为，则，椭圆的离心率为，所以，即， 所以，所以椭圆的标准方程. （2） 如图所示，左顶点， 则点到直线的距离为. 联立方程组得，消去得， 根据弦长公式得， 所以. 题型05椭圆的中点弦与点差法 【典例】如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答. 【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点， 由得：，又， 于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即， 所以这条弦所在的直线方程是. 故选：B 【变式】如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则，利用点差法可得答案. 【详解】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则 因为，两式相减可得，，即 由中点公式可得，所以，即， 所以AB所在直线方程为，即． 故选：B． 题型06 椭圆的综合问题 【典例】已知椭圆与直线：交于不同的两点，原点到该直线的距离为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在实数使直线交椭圆于两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由点到直线的距离公式，即可求得，再由离心率公式和的关系，即可求得，进而得到椭圆方程； （2）假设存在实数，使直线交椭圆于两点，以为直径的圆过点，联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及，即，又，化简整理，解出k，注意检验判别式是否大于，即可判断． 【详解】（1）因为原点到直线的距离为， 所以 ，解得， 因为椭圆的离心率为， 所以，解得 所以椭圆方程是； （2）将代入得， 由，得， 设，则 因为以为直径的圆过 所以，所以， 所以， 又， 得 所以， 所以， 又，， 所以， ， 整理得， 所以，满足， 所以存在 满足题意． 【变式】已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点满足题意. 【分析】（1） ，结合，即可求解； （2）设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，求得，设在x轴上存在定点，对于任意的都有，由求解. 【详解】（1）由题意得， 又，. 椭圆的方程为. （2）设直线的方程为：， 令得，即， 联立，得， 所以， 则，， 若在x轴上存在定点，对于任意的都有， 则，即， 解得， 所以存在定点. 【巩固训练】 1．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用标准方程得，然后计算出离心率. 【详解】由题意椭圆的标准方程为，所以，， 所以，则. 2．已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 【答案】 【详解】根据题意，，即， 又，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 3．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 4．（多选）已知椭圆，则下列说法正确的有（   ） A．的长轴长为10 B．的焦点坐标为 C．的离心率为 D．上的点到焦点的最小距离为4 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的几何性质判断A、B、C，椭圆上的点到焦点的最小距离为. 【详解】椭圆，则，，，的长轴长为，故A正确； 的焦点坐标为，故B正确； 的离心率为，故C正确； 上的点到焦点的最小距离为，故D错误. 故选：ABC 5．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C．当时，的面积为 D．当为椭圆短轴端点时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】求出、、的值，结合离心率公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；利用余弦定理以及椭圆的定义可判断D选项；结合D选项可判断C选项. 【详解】在椭圆中，，，， 对于A选项，椭圆的离心率为，A对； 对于B选项，的周长为，B对； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当为椭圆短轴端点时，取得最大值，D对； 对于C选项，由D选项分析可知的最大值为，不可能为，C错. 6．已知椭圆（）的离心率为，则______． 【答案】4 【详解】显然，故，解得. 7．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的范围是______． 【答案】 【分析】设，由可得，则可得，解出即可得. 【详解】由题知，解得，所以， 设，则，， 又，得到，整理得到， 由于使得成立的点恰好是个， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又，所以，得到. 8．已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解. 【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得 ，因为线段AB的中点为，所以，， 所以，由，得，又因为，解得，， 所以椭圆C的方程为． 故选：A． 9．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先联立直线与椭圆得到线段中点的坐标，再根据即可得到的值. 【详解】设，，由题知： ，. 设线段中点为，则. 将代入得到. 因为，故. 故选：B 10．已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若，求直线EF的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直线的倾斜角得斜率，结合点到直线距离公式列方程组解得得椭圆方程； （2）设EF：x=my﹣1（m＞0），设，，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理定理得，由向量的坐标表示得，两者结合可求得，得直线方程． 【详解】解：（1）由题意，直线方程是，即， 所以，解得，， 所以椭圆方程是： （2）设EF：x=my﹣1（m＞0）代入，得（m2+3）y2﹣2my﹣2=0， 设，，由，得y1=﹣2y2． 则，， 得，∴或（舍去）， 直线EF的方程为：即． 【强化训练】 1．如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【答案】B 【详解】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则， 故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 2．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（     ） A．24 B．48 C．12 D．96 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义与直角三角形的勾股定理，求出两条焦半径的乘积，进而计算焦点三角形的面积. 【详解】对于椭圆，得，， 因此，，故, 设，,根据椭圆的定义，得，所以, 由，为直角三角形，根据勾股定理得, 即 ，解得, 因此的面积. 3．已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 4．2025年春晚节目（借伞）中，精美的西湖绸伞成为舞台亮点.2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为24cm的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为32光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的通径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断伞柄底端为圆形伞面的投影椭圆的中心，求出椭圆的短半轴长和长半轴长，代入通径公式计算即得. 【详解】因为伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），且光线与圆形平面垂直， 所以伞面在地面的投影椭圆的短半轴长为，因为伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 根据相似的性质，可知伞柄底端为椭圆的中心，且. 所以椭圆的通径. 5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，易得为锐角，且；由正弦定理可得，进而求得；结合余弦函数性质得到；利用几何关系及二倍角公式求得，代入求得；结合可求得，即可求解. 【详解】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角， 中，由正弦定理，知，所以， 易知，所以，且， 又， 所以，解得或（舍去）. 又，故，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 6．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 7．（多选）（多选题）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 【答案】ABD 【分析】A选项，利用焦点三角形边长关系可得的周长；B选项，当直线垂直于轴时，可以将横坐标代入椭圆方程，得到纵坐标，从而得到；C选项，利用，，可得，，分别在和中，计算，可得，从而得到离心率；D选项假设存在满足条件的点，可求得即可. 【详解】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 8．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 【答案】/ 【分析】先根据题意得到所需各点的坐标，再结合即可得到与的关系，进而结合椭圆基本参数的关系即可求其离心率． 【详解】设椭圆的半焦距为，则， 依题意可得，，， 将代入椭圆，得， 又在第一象限，则， 四边形的面积为 ， 化简整理得，所以的离心率为． 9．已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且，则面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】分类讨论、所在直线与两坐标轴是否重合，求出原点到直线的距离为定值；再联立方程求出，再表示出三角形面积即可. 【详解】①当、所在直线与两坐标轴重合时，原点O到直线l的距离为； ②当直线、的斜率存在且都不为零时，设直线的方程为， 则直线OB的方程为， 联立，可得，所以， 同理可得， 所以原点到直线的距离为， 综上所述，原点到直线的距离为定值． ①当、所在直线与两坐标轴重合时，； ②当直线、的斜率存在且都不为零时，则， 令，则 ， 因为，所以，则，所以， 所以，所以，所以． 10．已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在最大值，最大值为 【分析】（1）根据题设条件可得值，再利用关系可求得值，进而可得到椭圆的方程； （2）设，两点的坐标并代入椭圆方程，利用点差法，结合中点坐标公式、斜率公式即可求解； （3）设点，根据点到直线的距离公式求出；取，的法向量，，利用向量的数量积公式求出，进而可以得到的值；然后根据三角形的面积公式写出的面积，最后结合的取值范围判断面积的最大值. 【详解】（1）依题意，因为长轴长为4，即，解得； 设焦距为，因为焦距为，即，解得； 所以； 所以的方程为． （2）设，，线段的中点为，则，； 因为，两点在上，所以，， 两式作差得，即， 又，所以，即； 由（1）可知点为的右顶点，所以点或点与点重合，可得； 故线段中点的轨迹方程为． （3）设，则，点到，的距离分别为，，所以， 分别取，的法向量，， 则 ，所以， 所以的面积， 由，得，， 所以，，当或1时，取得最大值， 所以的面积存在最大值，最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $