圆锥曲线重难点一：直线和椭圆的位置关系（9个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【圆锥曲线重难点一：直线和椭圆的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线与椭圆的位置关系判断方法： 联立消去（或）得到一个关于（或）的一元二次方程： 位置关系 解的个数 的取值 相交 ______解 ______0 相切 ______解 ______0 相离 ______解 ______0 2．弦长公式：当直线与椭圆的两交点为，时，______或______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线和椭圆的位置关系判断】 【练方法】 公式结论 1.设椭圆标准方程 直线方程 联立两式消元得到一元二次方程 判别式 2.直线与椭圆相交存在两个不同公共点 3.直线与椭圆相切仅有一个公共点 4.直线与椭圆相离无公共点 方法技巧 1.固定解题步骤联立方程→整理一元二次式→计算判别式→对比0的大小判定位置关系 2.直线斜率不存在时直接将横坐标代入椭圆方程依据解的个数判断相交相切相离 3.无需画图纯代数判别法适配所有直线形式 （2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ）经典例题1例题 A．， B．， C．， D．， （25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ）小试牛刀1 A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【题型2：由直线和椭圆的位置关系求参数】 【练方法】 公式结论 1.相交等价条件 2.相切等价条件 3.相离等价条件 4.联立后的一元二次式系数均含参代入判别式构造参数不等式或等式求解范围 方法技巧 1.先联立消元写出带参数的一元二次方程写出判别式表达式 2.根据题干相交/相切/相离对应不等号或等号解出参数解集 3.额外检验二次项系数不为0的隐藏约束条件 （25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C．或 D．或 （25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为.小试牛刀1 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. （25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为．小试牛刀2 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． （24-25高二上·河南南阳·阶段检测）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：求椭圆的弦长】 【练方法】 公式结论 1.通用弦长公式 为直线斜率为联立方程两根 2.直线斜率不存在时 3.由韦达定理整体代入弦长公式 方法技巧 1.联立方程后优先记录韦达两根和与两根积不必求解单个根的数值 2.斜率存在统一使用含的弦长公式斜率不存在直接代入横坐标求纵坐标差值 3.计算根式部分优先化简再开方运算 （25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________．小试牛刀2 （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为__________.小试牛刀3 【题型4：由椭圆弦长求参数】 【练方法】 公式结论 1.弦长 为联立方程判别式为一元二次方程二次项系数 2.将已知弦长数值代入公式得到关于参数的方程解方程得到参数取值 方法技巧 1.联立椭圆与直线方程写出与韦达式全部用参数表示 2.套入弦长公式建立等式化简求解参数 3.求出参数后必须带回检验剔除造成无交点的无效解 （26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________．经典例题1例题 （2026·山西晋城·三模）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______．小试牛刀1 （23-24高三下·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，，则的周长是________．小试牛刀2 （24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为___________.小试牛刀3 【题型5：求椭圆的通径】 【练方法】 公式结论 1.焦点在轴椭圆 通径长 通径所在直线 2.焦点在轴椭圆 通径长 通径所在直线 3.通径是过焦点且垂直于长轴的弦为过焦点所有弦里最短弦 方法技巧 1.直接记忆固定公式无需每次联立计算弦长 2.区分焦点坐标轴只改变通径所在直线方程长度计算公式保持一致 3.涉及焦点弦最值问题可直接使用通径最短的结论快速解题 （2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________．经典例题1例题 （25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知过椭圆，的焦点的最短弦长为2，则________．小试牛刀1 （25-26高二上·江苏苏州·期中）设为坐标原点，已知为椭圆的左､右焦点.过点作x轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则离心率为__________.小试牛刀2 （24-25高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为_____.小试牛刀3 【题型6：椭圆的中点弦（点差法）】 【练方法】 公式结论 1.设椭圆上两点中点 两式作差整理得 为弦所在直线斜率为中点与原点连线斜率 2.中点坐标关系 方法技巧 1.已知中点求直线斜率/直线方程优先使用点差法计算量远小于联立判别式法 2.求出直线方程后必须联立椭圆检验排除不存在的中点弦 3.已知直线斜率反向求解中点轨迹方程同样依靠点差推导关系式 （25-26高二上·江苏无锡·期末）过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________.经典例题1例题 （25-26高三上·云南昆明·阶段检测）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为________．小试牛刀1 （24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则___________．小试牛刀2 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为______．小试牛刀3 【题型7：中点弦结论的“隐藏”应用】 【练方法】 公式结论 1.中点弦核心恒式 2.椭圆内定点平分弦定点即为中点直接套用恒式求直线斜率 3.平行弦中点轨迹全部落在过原点的定直线上 方法技巧 1.题干出现平分弦弦中点一组平行弦中点轨迹优先调用中点弦二级结论 2.不用每次重复作差推导直接带入斜率与中点坐标计算 3.轨迹类问题结合中点坐标范围限定轨迹的有效线段区间 （2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________.经典例题1例题 （2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________．小试牛刀1 （2026高三·全国·专题练习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______.小试牛刀2 （25-26高二上·江西·期末）已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________．小试牛刀3 【题型8：求椭圆中的三角形四边形面积】 【练方法】 公式结论 1.以弦AB为底边点为顶点的三角形面积 为点到直线$AB$的距离 2.过原点的弦与椭圆交点构成四边形面积 3.焦点三角形面积为两焦点与椭圆上点的夹角 方法技巧 1.通用计算流程先求弦长→再求定点到直线距离→代入面积基础公式计算 2.四边形可拆分为两个三角形分别计算面积再求和 3.焦点构成的三角形优先使用焦点三角形面积秒杀公式 （25-26高二下·四川乐山·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2．经典例题1例题 (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． （25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知曲线上的动点与点，的距离的和等于.小试牛刀1 (1)求曲线的标准方程； (2)直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于点，其中为坐标原点，若的面积为，求实数的值. （25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为.小试牛刀2 (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. （25-26高二下·上海·期中）已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________.小试牛刀3 【题型9：椭圆中三角形四边形面积最值】 【练方法】 公式结论 1. 消去斜率简化面积表达式 2.面积表达式化简为单变量函数后结合函数单调性或均值不等式求取最值 方法技巧 1.联立椭圆直线将面积整理为只含斜率或截距的一元函数 2.利用二次函数最值导数均值不等式三种方式求解最值 3.求取最值后对应算出此时直线参数同步验证保证弦真实存在 （2026高三下·全国·专题练习）过椭圆的焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A、C和B、D，求四边形ABCD面积的最小值．经典例题1例题 （25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为．小试牛刀1 (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． （25-26高二下·四川德阳·期末）已知圆，圆()．小试牛刀2 (1)证明圆与有公共点； (2)求两圆公共点的轨迹C的方程； (3)设O为坐标原点，过点的直线与轨迹C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交轨迹C于点E，求四边形ADBE的面积取得最大值时直线AB的方程． （2026高三·全国·专题练习）已知椭圆，经过其左顶点作斜率为的直线与椭圆交于点，直线交椭圆于点，是坐标原点．求面积的最大值．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）过椭圆焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则弦长可能为（    ） A．2 B． C． D． 6．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 三、解答题 7．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 8．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 9．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比. 10．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 11．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 12．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于M，N两点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值． 13．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 14．（25-26高三上·广西河池·期末）已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 15．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值（为坐标原点） 16．（25-26高二下·四川自贡·期末）已知椭圆：的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 17．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 18．（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【圆锥曲线重难点一：直线和椭圆的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线与椭圆的位置关系判断方法： 联立消去（或）得到一个关于（或）的一元二次方程： 位置关系 解的个数 的取值 相交 ______解 ______0 相切 ______解 ______0 相离 ______解 ______0 2．弦长公式：当直线与椭圆的两交点为，时，______或______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线和椭圆的位置关系判断】 【练方法】 公式结论 1.设椭圆标准方程 直线方程 联立两式消元得到一元二次方程 判别式 2.直线与椭圆相交存在两个不同公共点 3.直线与椭圆相切仅有一个公共点 4.直线与椭圆相离无公共点 方法技巧 1.固定解题步骤联立方程→整理一元二次式→计算判别式→对比0的大小判定位置关系 2.直线斜率不存在时直接将横坐标代入椭圆方程依据解的个数判断相交相切相离 3.无需画图纯代数判别法适配所有直线形式 （2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ）经典例题1例题 A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件联立曲线和直线方程，结合判别式判断根的个数，即可确定. 【详解】A选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； B选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； C选项，，时，联立与得 ，，故有两个不相等的实根， 即与有两个公共点，C错误； D选项，，时，联立与得 ，，故有两个相等的实根， 即与只有一个公共点，D正确. （25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ）小试牛刀1 A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 【题型2：由直线和椭圆的位置关系求参数】 【练方法】 公式结论 1.相交等价条件 2.相切等价条件 3.相离等价条件 4.联立后的一元二次式系数均含参代入判别式构造参数不等式或等式求解范围 方法技巧 1.先联立消元写出带参数的一元二次方程写出判别式表达式 2.根据题干相交/相切/相离对应不等号或等号解出参数解集 3.额外检验二次项系数不为0的隐藏约束条件 （25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先找出椭圆的上顶点和右焦点，求直线的斜率与直线的方程形式，分析椭圆上点到直线的距离条件，联立直线与椭圆方程，利用判别式求参数，进而确定直线的方程； 【详解】椭圆：，， 所以椭圆的上顶点为，右焦点为， 直线的斜率为, 因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同， 设直线的方程为，即 因为上有且仅有三个点到的距离为，说明椭圆与直线的距离为的平行线中， 一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况） 设与平行且距离为的直线为，根据两平行线距离公式： ，化简得，即， 联立，消元整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，解得， 当时，结合，有，解得（取号）， 此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号） 此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意； 故或满足题意； 故选：D.    （25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为.小试牛刀1 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. （25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为．小试牛刀2 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． （24-25高二上·河南南阳·阶段检测）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解，或者利用三角换元，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解. 【详解】解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当 时，， 故选:C. 【题型3：求椭圆的弦长】 【练方法】 公式结论 1.通用弦长公式 为直线斜率为联立方程两根 2.直线斜率不存在时 3.由韦达定理整体代入弦长公式 方法技巧 1.联立方程后优先记录韦达两根和与两根积不必求解单个根的数值 2.斜率存在统一使用含的弦长公式斜率不存在直接代入横坐标求纵坐标差值 3.计算根式部分优先化简再开方运算 （25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. （2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. （26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为__________.小试牛刀3 【答案】 【详解】椭圆化为标准方程得，该椭圆的左焦点是， 又因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为， 由，消去并整理，得， 设，则， 由弦长公式，得. 【题型4：由椭圆弦长求参数】 【练方法】 公式结论 1.弦长 为联立方程判别式为一元二次方程二次项系数 2.将已知弦长数值代入公式得到关于参数的方程解方程得到参数取值 方法技巧 1.联立椭圆与直线方程写出与韦达式全部用参数表示 2.套入弦长公式建立等式化简求解参数 3.求出参数后必须带回检验剔除造成无交点的无效解 （26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据题意，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的纵坐标，结合弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的斜率. 【详解】由题意可得，若直线与轴重合，则，不符合题意， 设直线的方程为，设点，其中， 联立可得，解得， 由弦长公式可得， 整理可得，即，解得， 故直线的斜率为. （2026·山西晋城·三模）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______．小试牛刀1 【答案】4 【详解】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． （23-24高三下·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，，则的周长是________．小试牛刀2 【答案】8 【分析】根据已知得到为等边三角形，为的垂直平分线，进而有的周长等于，结合椭圆的定义求三角形的周长，再联立直线与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求椭圆参数，即可得周长. 【详解】因为，即，则， 即，， 则，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，，则的周长等于， 其中，则的周长为， 又因为直线的斜率为， 则直线的斜率为，可得直线为， 联立方程，消去y得， 且，可得， 设，则， 故，解得，故， 则的周长为. 故答案为：8. （24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为___________.小试牛刀3 【答案】或 【分析】首先由题意求椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，代入弦长公式，即可求解. 【详解】由题意得，.∴.∴椭圆方程为. 当直线l的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 联立，得， 恒成立. 设，.∴，. ∴， 即， 解得，∴. ∴直线l的方程为或. 故答案为：或. 【题型5：求椭圆的通径】 【练方法】 公式结论 1.焦点在轴椭圆 通径长 通径所在直线 2.焦点在轴椭圆 通径长 通径所在直线 3.通径是过焦点且垂直于长轴的弦为过焦点所有弦里最短弦 方法技巧 1.直接记忆固定公式无需每次联立计算弦长 2.区分焦点坐标轴只改变通径所在直线方程长度计算公式保持一致 3.涉及焦点弦最值问题可直接使用通径最短的结论快速解题 （2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】由题意得，结合已知通径长及得，进而有，根据离心率公式即可得. 【详解】由题意， 在中，令，可得，所以， 因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，则， 其中，所以，则， 所以，则. （25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知过椭圆，的焦点的最短弦长为2，则________．小试牛刀1 【答案】 【分析】过椭圆焦点的最短弦即为通径，计算即得解. 【详解】过椭圆焦点的最短弦即为通径，椭圆的通径长为，由题可知，解得. 故答案为：. （25-26高二上·江苏苏州·期中）设为坐标原点，已知为椭圆的左､右焦点.过点作x轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则离心率为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】以为等腰直角三角形列方程组可得之间的关系式，进而求得椭圆的离心率. 【详解】椭圆的左､右焦点为，不妨设点P， 由为等腰直角三角形知，，即， 可化为，故或（舍）. 故答案为： （24-25高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为_____.小试牛刀3 【答案】3 【分析】过焦点的弦长最短的是通径，通径为． 【详解】由已知，，通径长为， 则 的最小值． 故答案为：3. 【题型6：椭圆的中点弦（点差法）】 【练方法】 公式结论 1.设椭圆上两点中点 两式作差整理得 为弦所在直线斜率为中点与原点连线斜率 2.中点坐标关系 方法技巧 1.已知中点求直线斜率/直线方程优先使用点差法计算量远小于联立判别式法 2.求出直线方程后必须联立椭圆检验排除不存在的中点弦 3.已知直线斜率反向求解中点轨迹方程同样依靠点差推导关系式 （25-26高二上·江苏无锡·期末）过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________.经典例题1例题 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，则，， 则， 又，故，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. （25-26高三上·云南昆明·阶段检测）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用点差法解决中点弦问题，即可求得结果. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设，则， 因为点在椭圆上，所以， 两式相减得，，即， 整理得，即， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 故答案为：. （24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则___________．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为，整理得， 联立，得，则， 所以， 故答案为：. （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为______．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】利用点差法求解直线的斜率. 【详解】设，， 因为线段的中点坐标为，所以，， 将点，代入椭圆方程可得：， 两式相减得，即， 也即，所以. 设直线的斜率为，则. 故答案为：. 【题型7：中点弦结论的“隐藏”应用】 【练方法】 公式结论 1.中点弦核心恒式 2.椭圆内定点平分弦定点即为中点直接套用恒式求直线斜率 3.平行弦中点轨迹全部落在过原点的定直线上 方法技巧 1.题干出现平分弦弦中点一组平行弦中点轨迹优先调用中点弦二级结论 2.不用每次重复作差推导直接带入斜率与中点坐标计算 3.轨迹类问题结合中点坐标范围限定轨迹的有效线段区间 （2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】首先根据向量关系得到两点的坐标和，利用点差法求直线的斜率表达式，然后利用中点在椭圆内推导参数关系，进而得到斜率的取值范围. 【详解】 设点，， 点，， ，， ， 的中点为， ，相减得， ， 的中点在椭圆内，所以， 化简得，则，令， 因为，函数单调递增， 所以，. （2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】借助点差法及三角形重心性质计算即可得. 【详解】由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. （2026高三·全国·专题练习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】设弦的中点E的坐标为，由题可得，，列式求出，进而求得答案. 【详解】设弦的中点E的坐标为，连接，. 因为，且为的中点，有， 又由椭圆中点弦的结论可得， 于是，，解得，. 于是直线l的方程为. 由于，所以E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件. 所以直线l的方程为. 故答案为：. （25-26高二上·江西·期末）已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由点差法以及离心率可得，同理，，则可求. 【详解】设，则， ，， 由于点A、B在椭圆上，则， 两式相减得， 同时乘以得， 即， 由于，则， 则，即， 同理，， 由于， 则， 故答案为：. 【题型8：求椭圆中的三角形四边形面积】 【练方法】 公式结论 1.以弦AB为底边点为顶点的三角形面积 为点到直线$AB$的距离 2.过原点的弦与椭圆交点构成四边形面积 3.焦点三角形面积为两焦点与椭圆上点的夹角 方法技巧 1.通用计算流程先求弦长→再求定点到直线距离→代入面积基础公式计算 2.四边形可拆分为两个三角形分别计算面积再求和 3.焦点构成的三角形优先使用焦点三角形面积秒杀公式 （25-26高二下·四川乐山·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2．经典例题1例题 (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦距可得，即可得，从而求得椭圆C的方程； （2）求直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式求得，以及点到直线的距离，即可得面积. 【详解】（1）因为椭圆：（）的离心率为，焦距为2， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为：． （2）由题意可知：，直线的斜率，且直线与椭圆必相交，    则直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 设，，则，， 可得， 且点到直线：的距离为． 所以的面积为． （25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知曲线上的动点与点，的距离的和等于.小试牛刀1 (1)求曲线的标准方程； (2)直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于点，其中为坐标原点，若的面积为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，即可求解； （2）联立方程组，根据直线与曲线相切，求得，再由根与系数的关系，求得，得到，求得的方程为，得到的坐标，根据的面积为，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为曲线上的动点与点，点的距离的和等于， 可得，且， 由椭圆的定义，可得，所以，则， 所以曲线的标准方程为. （2）解：联立方程组，整理得 因为直线与曲线有唯一公共点，即直线与曲线相切， 所以，即，整理得， 设，可得， 即，所以直线的方程为，可得， 令，可得；令，可得， 所以的面积为， 整理得，即，解得或， 所以或，即实数的值为或. （25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为.小试牛刀2 (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知及离心率求椭圆参数，即可得； （2）由（1）及已知，设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，结合中点坐标求参数m，再由面积公式求面积. 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此 ， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. （25-26高二下·上海·期中）已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________.小试牛刀3 【答案】或 【分析】以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程 【详解】，则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 【题型9：椭圆中三角形四边形面积最值】 【练方法】 公式结论 1. 消去斜率简化面积表达式 2.面积表达式化简为单变量函数后结合函数单调性或均值不等式求取最值 方法技巧 1.联立椭圆直线将面积整理为只含斜率或截距的一元函数 2.利用二次函数最值导数均值不等式三种方式求解最值 3.求取最值后对应算出此时直线参数同步验证保证弦真实存在 （2026高三下·全国·专题练习）过椭圆的焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A、C和B、D，求四边形ABCD面积的最小值．经典例题1例题 【答案】 【分析】当中的一条直线与轴重合或垂直时，直接求出四边形的面积，当的斜率都存在时，设直线的方程为，则直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求出，进而求出四边形面积的表达式，利用二次函数的性质求解. 【详解】由题可知， 当中的一条直线与轴重合或垂直时，； 当的斜率都存在时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 联立，消去并化简得， 所以， 所以， 同理， 所以 ， 所以当时，取得最大值， 此时四边形ABCD面积取得最小值. （25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为．小试牛刀1 (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在最大值，最大值为 【分析】（1）根据题设条件可得值，再利用关系可求得值，进而可得到椭圆的方程； （2）设，两点的坐标并代入椭圆方程，利用点差法，结合中点坐标公式、斜率公式即可求解； （3）设点，根据点到直线的距离公式求出；取，的法向量，，利用向量的数量积公式求出，进而可以得到的值；然后根据三角形的面积公式写出的面积，最后结合的取值范围判断面积的最大值. 【详解】（1）依题意，因为长轴长为4，即，解得； 设焦距为，因为焦距为，即，解得； 所以； 所以的方程为． （2）设，，线段的中点为，则，； 因为，两点在上，所以，， 两式作差得，即， 又，所以，即； 由（1）可知点为的右顶点，所以点或点与点重合，可得； 故线段中点的轨迹方程为． （3）设，则，点到，的距离分别为，，所以， 分别取，的法向量，， 则 ，所以， 所以的面积， 由，得，， 所以，，当或1时，取得最大值， 所以的面积存在最大值，最大值为． （25-26高二下·四川德阳·期末）已知圆，圆()．小试牛刀2 (1)证明圆与有公共点； (2)求两圆公共点的轨迹C的方程； (3)设O为坐标原点，过点的直线与轨迹C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交轨迹C于点E，求四边形ADBE的面积取得最大值时直线AB的方程． 【答案】(1)圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 两圆圆心距，且 ，， 由，得，即 ，满足两圆有公共点的条件，得证； (2) (3) 【分析】（1）通过判断两圆圆心距和半径和与差之间的大小关系即可判断两圆位置关系； （2）由椭圆定义可得两圆公共点的轨迹C是以为焦点的椭圆，即可得到轨迹方程； （3）分割四边形ADBE的面积为3个三角形面积，通过韦达定理表示三角形面积，再通过换元转化成分式求最值，即可得到四边形ADBE的面积取得最大值时直线AB的方程. 【详解】（1）略 （2）设两圆公共点为，由在两圆上得： ，， 故， 根据椭圆定义，的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，，， 因此轨迹的方程为： ； （3）设直线的方程为，，， 由椭圆中心对称性得，由得， 将代入椭圆方程整理得： ， 由韦达定理：​，， 则： ，三角形面积为 四边形的面积由平行四边形和三角形组成，平行四边形面积等于2倍的三角形面积， 三角形面积等于三角形面积， 所以四边形ADBE的面积得， 令，则，代入得： ， 函数在时单调递增， 故（即）时，最小，最大， 此时直线的方程为： （2026高三·全国·专题练习）已知椭圆，经过其左顶点作斜率为的直线与椭圆交于点，直线交椭圆于点，是坐标原点．求面积的最大值．小试牛刀3 【答案】4 【分析】联立直线与椭圆方程求出交点坐标，将目标三角形的面积转化为关于直线斜率的函数，最后利用基本不等式求出该面积的最大值. 【详解】依题意，椭圆的左顶点，所以直线的方程为． 联立得，解得（舍去）或． 即点的纵坐标是． 因为是的中点，因此与等底同高，面积相等， 所以的面积． 因为，所以， 由于，当且仅当，即时取等， 所以，即面积的最大值等于4． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线方程与椭圆方程联立结合韦达定理即可求解. 【详解】设，联立得， 所以，所以线段的中点的横坐标为， 代入得，所以线段的中点为. 故选：B 2．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 3．已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合点差法得，设直线，进而求得的坐标，再根据斜率关系得，最后根据求得即可得直线的方程. 【详解】令的中点为， 因为，所以，即点也是的中点，    设，则， 两式相减，可得，即 整理得， 因点是的中点，则 所以，即（*）， 依题意，可设直线， 令得，令得，即， 所以，则，代入（*）可得，解得或（舍去）， 由，解得或（舍去）， 所以直线，即． 故选：C 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点， 设，则有，， 两式相减得，则有， 由，，， 所以，得，即， 所以，则椭圆的离心率. 二、多选题 5．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）过椭圆焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则弦长可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得A、B点坐标，即可得的最小值（通径）和最大值（长轴），分析即可得答案. 【详解】由椭圆的对称性可知，当过焦点的直线垂直于长轴时，弦长最短， 由题意，则， 不妨设焦点为，代入椭圆方程可得， 不妨令，则， 当过焦点的直线与长轴重合时，弦长最长，且等于长轴长，此时， 所以. 故选：ABC 6．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】BCD 【详解】联立可得. 依题意得，，解得. 所以可取、、. 三、解答题 7．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 8．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由方程结合离心率定义即可得解. （2）先求出直线方程，接着联立椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式和点到直线距离依次求出和点A到直线的距离即可由面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆：，所以， 所以椭圆的离心率为； （2）由题直线的斜率为， 所以直线的方程为，代入椭圆方程得， 设，则， 所以 又点A到直线的距离为 所以的面积为 9．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得、、即可得解； （2）设，，，表示出直线、、的方程，联立直线与直线的方程，求出，最后根据计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得， 椭圆的方程为； （2）设，，， 可得，即，则， 直线的方程为：， ，，直线的方程：， 直线的方程：， 直线与直线的方程联立可得 ， 整理得， 即，即， 所以，所以， 又， 所以与的面积之比为. 10．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【详解】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 11．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆上的点和离心率，列方程求解即可. （2）联立直线与椭圆的方程，利用方程有唯一解的条件，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，  则， 得椭圆方程为. （2）根据题意，联立，消去得， ， 得， 即. 12．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于M，N两点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】根据椭圆的定义求的值即可； （i）联立椭圆和直线，根据有两个交点，计算即可； （ii）将代入（i）中联立的式子，根据弦长公式即可. 【详解】（1）由椭圆的定义可知，即， 又椭圆过点，故 椭圆的方程为. （2）联立 得． 设. （i）易知， 解得 （ii）将代入（i）中联立后的式子得， ， 解得， ． 13．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，即可求出，从而求解离心率； （2）联立直线和椭圆的方程，利用一元二次方程的判别式求解的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率. （2）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. 14．（25-26高三上·广西河池·期末）已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆右顶点以及经过点的坐标解方程即可求得椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式直接计算即可得出结果. 【详解】（1）由题意知， 代入点，即，解得， 可得椭圆的方程为； （2）联立与， 化简得， 可得， 由可得， 即解得， 所以， 可得， 即弦的长为. 15．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值（为坐标原点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件建立方程，，求出，即可求解； （2）根据条件设直线的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式求出，求出到直线的距离，进而可得，再求出其最大值，即可求解. 【详解】（1）由题知，整理得到①， 又点在椭圆上，则②，由①②解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）易知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，得到， 所以， 又到直线的距离为， 所以， 令，则， 令，令，则， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则， 所以面积的最大值为. 16．（25-26高二下·四川自贡·期末）已知椭圆：的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合椭圆顶点坐标、离心率及求解参数得标准方程. (2)先求线段长度，再通过椭圆参数方程将点到直线距离转化为三角函数最值问题，进而得到面积取值范围. 【详解】（1）由题意，椭圆短轴上顶点为，故，即. 已知离心率，即，结合椭圆参数关系， 代入得： ， 解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）对直线，令得，即，令得，即， 故. 设椭圆上点的参数坐标为 ， 由点到直线距离公式，到直线的距离为： ， 因，故，取绝对值得，因此. 的面积，代入的范围得. 17．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． (3) 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 （3）由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 18．（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）方法一：由椭圆的定义以及即可求解； 方法二：将点代入椭圆方程以及求解即可. （2）（i）设，，求解线段的中点，利用点差法求解即可. （ii）方法一：直线与椭圆方程联立，通过参数方程求解点到直线的距离，求解即可. 方法二：直线与椭圆方程联立，再由直线平行，点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离，求解即可. 【详解】（1）方法一： 由题意知，，即，设椭圆的左、右焦点分别为， 则．因为，所以， 解得，又因为，所以.所以椭圆的方程为. 方法二： 由题意知，，即，因为点在椭圆上，所以，又因为，所以， 所以，即，化简得或（舍去），所以，所以，所以椭圆的方程为. （2）（i）设，， 因为线段的中点为，所以， ，因为，两点在椭圆上，所以 所以，所以，所以， 所以直线的方程为. （ii）方法一： 直线的方程为，联立 化简得，. 所以 . 设，则点到直线的距离 其中，当时，取最大值，此时， 所以面积的最大值为. 方法二： 直线的方程为， 设与直线平行，且与椭圆相切的直线的方程为， 联立化简得，，解得， 当时，直线与直线的距离更大，此时，切点就是椭圆上到直线距离最大的点， 点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离， 联立化简得，则， 所以， ， 所以面积的最大值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $