北京市第十二中学2025-2026学年高三上学期开学统一练习数学试题

2025-2026学年度第一学期高三开学统一练习 高三数学 参考答案 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C A C B C A D 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12．45 13．1； （答案不唯一） 14． 15．②④ 三、解答题，共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（I）因为在中， 由正弦定理 ……………2分 ……………3分 因为，所以 ………5分 （Ⅱ）若选择条件①： 法1：由正弦定理得 此时，不存在，不符合要求，选条件①得0分 法2：将,，余弦定理得：，，方程无实数解，不存在，不符合要求，选条件①得0分 ………………0分 若选择条件②： 因为在中，. 所以由正弦定理得 ………………………6分 所以 ………………………7分 ………………………8分 ………………………9分 又由正弦定理得 …………………11分 所以三角形的面积为 …………………12分 ……………………13分 若选择条件③： 将,代入余弦定理 ………………7分 ……………………8分 解得：（舍去负根） ……………………9分 进而得 ………………………10分 所以三角形的面积为 ………………………11分 ………………………13分 17.()取中点，连接，，则为的中位线 ， 又 …………………2分 四边形为平行四边形 …………………3分 …………………4分 又， …………………6分 ()法一: 延长，交于，连接 是等边三角形，为的中点 ……………………7分 又 的中位线, 又为的中点 的中位线 …………………………9分 ， ………………………10分 ………………………11分 因此，二面角的平面角为 …………12分 因此，平面与平面夹角的余弦值为. ……………14分 法二：，, ……………………7分 ……………………8分 又等边三角形，为的中点 ……………………9分 所以，以为原点，如图建立空间直角坐标系 因为， 所以，， ， 设为平面的一个法向量 则 即 令，解得 ………………………11分 设为平面的一个法向量 易得 …………………12分 设平面与平面夹角为， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. ……………14分 18.（Ⅰ）设从A地区抽取的用户中抽取的10名参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有m名，则，所以m=6． ……………4分 （Ⅱ）从A、B两地区各随机抽取1名用户，评分不低于80分的的概率分别为0.2和0.1, 低于80分的概率分别为0.8和0.9. 至少有1名用户评分不低于80分概率为1-0.80.9=0.28. 随机变量X的取值为0，1，2 ……………11分 （Ⅲ） ……………14分 19.（Ⅰ）由题意得，， 故离心率，短轴长 …………5分 （Ⅱ）法1：设点，，因为点在椭圆上，所以； …………6分 因为，所以， 得， …………7分 ，， ， …………10分 因为点到直线的距离为1， 所以，即， …………11分 整理得， 因为，所以， 结合，得到，. …………14分 法2：设点，，因为点在椭圆上，所以； …………6分 因为，所以，可得； …………7分 若直线斜率不存在，即，，； …………8分 若直线斜率存在，即， 设直线方程为：， …………9分 即， 点到直线的距离为： ， …………10分 整理得， 展开得， 所以， 消掉和，得到， …………13分 所以. …………14分 20. （I）当时，，， …………1分 ， …………2分 故所求的切线的方程为 …………3分 即 …………4分 （II）由得： ， …………5分 记， 则 …………6分 因为，所以 所以在上单调递增， …………7分 所以， …………8分 所以. …………9分 （III）由（II）知，所以 当时，因为，所以，所以在上单调递增， 所以即在上至多1个零点，所以至多1个极值点，不合题意； …………10分 当时，由得， 变化时，变化如下表： + 0 ↗ 极大值 ↘ 由上表知，在处取得极大值，为， 当时，即至多1个零点，所以至多1个极值点，不合题意； …………11分 当，即时， 因为，，且在上单调递增， 所以即在内恰存在1个零点，记为. …………12分 由（II）知，又，且在上单调递减， 所以在内恰存在1个零点，记为 …………13分 变化时，变化如下表： 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由上表知，有两个极值点， ……………14分 综上，的取值范围是. ……………15分 21.（Ⅰ）数列的一个4项递增数列为2，4，6，8； 一个4项递减数列7，5，3，1（答案不唯一）. …………………4分 （Ⅱ）证明：设为数列的t项递减子列，其末项最大值为, 此时. 因为数列的s项递减子列末项的最大值为， 且是的s项递减子列， 所以， 所以. ……………………9分 （Ⅲ）证明：当时，取 此时的递增子列项数，递增子列项数，矛盾. 故. 下证成立. 对于，设为以为首项的项数最大的递增子列的项数， 若，则满足条件. 若， 则由抽屉原理，存在i（, 使得存在至少t+1个k，. 不妨设， 下面证明. 对任意，假设， 则存在一个以为首项的i项递增子列， 将添在前面，得到一个以为首项的i+1项递增子列， 与矛盾. 故，即. 综上. ………………15分 高三数学答案 第2页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年度第一学期高三开学统一练习 高三数学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 第I卷（选择题 共40分） 1． 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） 2．若，则 （A） （B） （C） （D） 3．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为 （A） （B） （C） （D） 4．设，则下列选项中不正确的是 （A） （B） （C） （D） 5．已知两个单位向量的夹角为，若，则 （A） （B） （C） （D） 6．将函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则 （A） （B） （C） （D） 7．已知函数（），，则的最小值为 （A） （B） （C） （D） 8．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位:）与时间（单位:）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，） （A） （B） （C） （D） 9．已知定义在R上的函数，集合，，那么“”是“在上单调递减”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 10．已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，.设为的前项和（），则下列结论中正确的是 （A）存在唯一的公比，使得 （B）存在，使得恒成立 （C）若，当时，恒成立 （D）当时，恒成立 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 2． 填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 抛物线的准线方程是          . 12. ，则          . 13. 若对任意的实数，（）恒成立，则满足条件的一组A， 的值为          ，          . 14. 如图，在直三棱柱中，，， .点在线段上，点到直线的距离的最小值 为          . 15. 已知函数的定义域为R，给出下列四个结论： ①使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ②使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ③存在在R上单调递减的函数，使得恒成立； ④存在函数和实数使得恒成立，且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号是________． 三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题13分） 在中，，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17.（本小题14分） 如图，在几何体中，，，，，，. （Ⅰ）若为的中点，求证：； （Ⅱ）若为等边三角形，求平面与平面 夹角的余弦值. 18.（本小题14分） 某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取400名用户，从地区随机抽取100名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下： 地区 地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 用频率估计概率. （Ⅰ）对地区所抽取的400名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的人数； （Ⅱ）从，两个地区各随机抽取1名用户，设X为这两人中评分不低于80分的人数，求至少有1名用户评分不低于80分的概率以及X的数学期望； （Ⅲ）若地区用户对该公司产品的评分的平均值为，地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 19.（本小题14分） 已知椭圆. （Ⅰ）求的离心率和短轴长； （Ⅱ）设为原点，直线，动点在椭圆上，过点作的垂线交直线于点，点到直线的距离为1，求的值. 20.（本小题15分） 已知函数的导数为. （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）若函数有两个极值点，求的取值范围. 21.（本小题15分） 已知数列，若（），则称数列为的m项递增子列；若（），则称数列为的m项递减子列.规定：数列任意一项都是它的1项递增子列或1项递减子列. （Ⅰ）写出数列2，7，4，5，6，3，8，1的一个4项递增子列和一个4项递减子列； （Ⅱ）已知数列的s项递减子列末项的最大值为，数列的t项递减子列末项的最大值为.若s<t，求证：>； （Ⅲ）给定正整数s,t，若各项互不相同的有穷数列存在s+1项递增子列或t+1项递减子列，求数列项数的最小值. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 9 高三数学 第1页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$