26.3 第2课时 求一元二次方程的近似解 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用二次函数图象求一元二次方程近似解”，通过回顾上节课二次函数与方程的关系，以“如何用图象直接求根”的问题导入，搭建从函数与方程联系到近似解求解的学习支架。 其亮点在于以“画图-定位-试值-定根”四步流程为核心，结合夹值法实例（如估算x²-2x-2=0的根时取平均数缩小区间），渗透几何直观与推理意识，同时关联一元二次不等式解集。学生能提升数形结合能力，教师可借助分层练习和步骤化指导优化教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.3 第2课时 求一元二次方程的近似解 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/19 求一元二次方程的近似解专项练习 （人教版数学九年级上册 26.3 第2课时） 一、基础知识点梳理 本节课核心掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似解的方法。对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其根就是对应二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。当方程无法快速求出精确解时，可通过图象观察交点的大致取值范围，结合数值逼近法（夹值法），通过计算区间内自变量对应的函数值，不断缩小取值范围，从而求出方程的近似实数根。核心规律：若两个不同x值对应的函数值一正一负，且抛物线连续，则这两个数之间必存在方程的一个实数根。 二、专项练习题 （一）填空题（每空2分，共20分） 1. 利用二次函数求一元二次方程x²-2x-2=0的近似解，可先构造函数________。 2. 若x=2时，y=x²-3x-1=-3；x=3时，y=-1，则方程x²-3x-1=0在整数________和________之间有一个根。 3. 抛物线y=x²-4x+1与x轴交点横坐标，即为方程________的近似解。 4. 用夹值法估算方程x²+x-3=0的根，当x=1时y=-1，x=1.2时y=0.24，则方程的一个正根在________和________之间。 5. 一元二次方程-x²+2x+1=0的近似解，可通过函数________的图象与x轴交点求得。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 已知函数y=x²-5x+3的部分函数值：x=0时y=3，x=1时y=-1，x=2时y=-3，x=3时y=-3，x=4时y=-1，x=5时y=3，则方程x²-5x+3=0的正根范围是（） A. 0～1和4～5 B. 1～2和3～4 C. 0～1和3～4 D. 2～3和4～5 2. 利用二次函数图象求方程近似解的核心依据是（） A. 函数的增减性 B. 函数图象连续性，异号区间存在零点 C. 顶点坐标 D. 对称轴性质 3. 已知x=1.5时，y=x²-2x-1=-1.75；x=1.8时，y=-1.16；x=2时，y=-1；x=2.2时，y=0.24，则方程x²-2x-1=0的一个根在（） A. 1.5～1.8 B. 1.8～2 C. 2～2.2 D. 2.2～2.4 4. 下列关于一元二次方程近似解的说法正确的是（） A. 只能求出整数根 B. 可通过不断缩小区间提高精确度 C. 所有方程都只能求近似解 D. 近似解误差无法缩小 5. 方程2x²-4x-1=0的近似解对应抛物线（）与x轴交点横坐标 A. y=2x²-4x-1 B. y=2x²+4x-1 C. y=2x²-4x+1 D. y=2x²+4x+1 （三）解答题（共60分） 1.（20分）利用二次函数图象估算方程x²-3x+1=0的实数根范围（精确到0.1）。 2.（20分）已知二次函数y=-x²+4x-2，（1）说明如何利用该函数求方程-x²+4x-2=0的近似解；（2）通过夹值法确定方程两根的取值范围。 3.（20分）用数值逼近法求方程x²-2x-4=0的正近似根（精确到0.1）。 三、参考答案及解析 （一）填空题 1. y=x²-2x-2 解析：方程的根对应对应二次函数零点。 2. 2、3 解析：x=2、x=3时函数值异号，区间内存在零点。 3. x²-4x+1=0 解析：抛物线与x轴交点横坐标对应方程根。 4. 1、1.2 解析：区间两端函数值一正一负，存在方程根。 5. y=-x²+2x+1 解析：构造函数令y=0即为原方程。 （二）选择题 1.A 2.B 3.C 4.B 5.A （三）解答题 1. 解：构造y=x²-3x+1，计算得x=0时y=1，x=0.4时y=-0.16，一根在0～0.4；x=2.6时y=-0.16，x=3时y=1，一根在2.6～3，精确到0.1近似根为0.4和2.6。 2. 解：（1）画出函数图象，图象与x轴交点横坐标即为方程近似解；（2）x=0时y=-2，x=1时y=1，一根在0～1；x=3时y=1，x=4时y=-2，一根在3～4。 3. 解：构造y=x²-2x-4，x=3时y=-1，x=3.2时y=0.24，根在3～3.2；细化计算x=3.1时y=-0.59，故正近似根为3.2。 （字数：1012） 情境导入 1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集； （重点） 2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点） 学习目标 问题：上节课我们学习了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0) 和二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢? 情境导入 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 例1 解：画出函数y=x2-2x-2的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 所以方程的实数根为 y=x2-2x-2 探究新知 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数的图象，可以发现：点(2,-2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0，点(3,1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0. 因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴.也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根. y=x2-2x-2 探究新知 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. y=x2-2x-2 探究新知 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6 875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于∣2.6875-2.75∣=0.0 625<0.1，我们可以将2.6 875作为根的近似值. y=x2-2x-2 探究新知 y=x2-2x-2 思考：你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)？ 观察函数 y=x2-2x-2 的图象，可以发现： 点(-1,1)在轴的上方，即当自变量为-1时的函数值大于0，点(0,-2)在x轴的下方，即当自变量为0时的函数值小于0. 因为抛物线 y=x2-2x-2 是一条连续不断的曲线， 所以抛物线在 -1<x<0 这一段经过轴. 也就是说，方程x2-2x-2=0在-1和0之间有根. 探究新知 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取-1和0的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为-0.75<0，与自变量为-1时的函数值异号，所以根在-1与-0.5之间. y=x2-2x-2 再取-1与-0.5的平均数-0.75，计算自变量为-0.75时的函数值为0.0 625>0，与自变量为-0.5时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.5之间. 再取-0.75与-0.5的平均数-0.625，计算自变量为 -0.625时的函数值为-0.359 375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.625之间. 此时区间两端点之差为∣-0.625-(-0.75)∣=0.125>0.1 不满足精度要求，再取一次平均数. 探究新知 取-0.75与-0.625的平均数-0.6 875，计算自变量为-0.6 875时的函数值为-0.15234375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.6 875之间. 此时区间两端点之差为∣-0.6 875-(-0.75)∣=0.0 625<0.1. 因此，我们可以将-0.75或-0.6 875作为根的近似值. 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程. y=x2-2x-2 探究新知 确定一元二次方程的近似根的步骤 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 探究新知 确定一元二次方程的近似根的步骤 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 探究新知 1. 返回 [邯郸校级期中]如图，以点(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解x的范围是(　　) A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 C 举一反三 13 返回 2. 下表是小江对方程x2－9.25x＋10＝0的一个解x进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的x的范围是__________． 1<x<1.5 x 0 0.5 1 1.5 2 x2－9.25x＋10 10 5.625 1.75 －1.625 －4.5 举一反三 跟踪训练 利用二次函数的图象求方程 2x2-3x-1=0 的近似根（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数y=2x2-3x-1的图象，如图所示. 由图可知，函数y=2x2-3x-1的图象与x轴的两个公共点的横坐标分别在-1和0，1和2之间. 取-1和0的平均数-0.5，当x= -0.5 时,y=1,当x=0时,y=-1, 所以方程的一个根在-0.5和0之间. 取-0.5和0的平均数-0.25，当x=-0.25 时,y= -0.125, 所以方程的这个根在-0.5和-0.25之间. 取-0.5和-0.25的平均数-0.375，当x=-0.375 时,y=0.406 25, 探究新知 跟踪训练 所以方程的这个根在-0.375和-0.25之间， 由此方法可得到原方程的一个近似实数根为-0.3. 用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8. 所以方程 2x2-3x-1=0 的近似实数根是x1≈-0.3，x2≈1.8. 根据根与系数的关系求方程的另一个近似实数根 利用二次函数的图象求方程 2x2-3x-1=0 的近似根（结果保留小数点后一位）. 探究新知 除了可以根据二次函数与一元二次方程的联系来估计一元二次方程的近似根，我们还能根据二次函数的图象求解一元二次不等式的解集. 探究新知 问题 如图是函数 y=x2-x-2 的图象，根据图象回答问题： (1) 方程 x2-x-2=0 的根是多少？ (2) x 取什么值时，函数值大于 0？ (3) x 取什么值时，函数值小于 0？ y=x2-x-2 (1)x1=2，x2=-1. (2)当x<-1或x>2时，函数值大于0. (3)当-1<x<2时，函数值小于0. 探究新知 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 探究新知 已知二次函数  () 的部分图象如图所示，当  时， 的取值范围是 （ ） A.  B.  C.  或  D.  例2 解析: 由图可知抛物线 𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 的对称轴为直线 𝑥=−1，且经过点 (−3，0)， ∴ 抛物线与 𝑥 轴的另一个交点为 (1,0). ∵ 抛物线在 𝑥 轴的上方部分的 𝑦>0, ∴ 当 𝑦>0 时，𝑥 的取值范围是 −3<𝑥<1. B 1 探究新知 判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0，a，b，c 为常数)一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1.根据下列表格的对应值: 当堂检测 2.小颖用计算器探索方程 ax2 + bx + c = 0 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x = -3.4，则方程的另一个近似根(精确到 0.1 )为(　　) A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 D 当堂检测 3.用图象法求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6.即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 当堂检测 4.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？ x y O 2 4 8 解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4. 当堂检测 返回 3. 根据表格写出一元二次方程x2＋x－1＝0的小于0的近似解x≈______．(精确到小数点后一位) －1.6 x －1.7 －1.65 －1.6 －1.55 －1.5 x2＋x－1 0.19 0.07 －0.04 －0.15 －0.25 举一反三 返回 4. 利用函数图象求一元二次方程 x2－2x－2＝0的近似解(精确到0.1)． 解：方程 x2－2x－2＝0的根是抛物线y＝ x2－2x－2与x轴 交点的横坐标． 作出二次函数y＝ x2－2x－2的图象，如图所示． 由图象可知，方程有两个实数根，一个在－1和0之间， 另一个在4和5之间． 先求－1和0之间的根， 举一反三 返回 当x＝－0.8时，y＝－0.08； 当x＝－0.9时，y＝0.205， 因此，x＝－0.8是方程的一个近似根， 同理，x＝4.8是方程的另一个近似根． 所以方程 x2－2x－2＝0的两个近似根是x1＝－0.8，x2＝4.8. 举一反三 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的一个交点为(－2，0)，且对称轴为直线x＝2，则ax2＋bx＋c＋1＝0的根(x1<x2)的范围是(　　) A．－2<x1<x2<2 B．－2<x1<x2<4 C．x1<－2<x2<6 D．－2<x1<x2<6 返回 5. D 举一反三 对于抛物线y＝x2－4x－6. (1)将抛物线的解析式化为顶点式； 返回 6. 解：y＝x2－4x－6＝(x2－4x＋4)－4－6＝(x－2)2－10. 举一反三 (2)补全下列表格，在如图所示的坐标系中利用五点法画出此抛物线； 返回 x …   0 2   6 … y …           … 解：补全表格如下： x … －2 0 2 4 6 … y … 6 －6 －10 －6 6 … 抛物线如图所示． 举一反三 (3)结合图象，当－2<x<3时，y的取值范围为__________； (4)结合图象及所学习的知识，估算x2－4x－6＝0的两个近似根为__________________(精确到0.1，误差不超过0.2)． 返回 －10≤y<6 x1＝－1.2，x2＝5.2 举一反三 估计一元二次方程的近似根 二次函数与一元二次方程 求解一元二次不等式的解集 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集 1.画图；2.定位；3.试值；4.定根 课堂小结 谢谢观看 THANKS $