精品解析：山东滨州市部分学校2027届高三上学期开学全域学情综合诊断数学试题

2027届高三开学全域学情综合诊断数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，解得，因此. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出，再由复数的模长公式即可得出答案. 【详解】由，得. 所以＝. 故选：C. 3. 已知向量,则实数（ ） A. -1 B. 0 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】向量, 所以,解得. 4. 已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数列的单调性、等比数列的通项公式即可求解. 【详解】取，显然数列不是递增数列，即“”不是“是递增数列”的充分条件； 若是递增数列，则，即，由知，即“”是“是递增数列”的必要条件. 综上，“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为, 将已知渐近线整理为斜截式,为,因此,即; 所以双曲线的离心率. 6. 一名教师和四名同学站成一排照相，已知学生甲与老师相邻，则学生乙与老师不相邻的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过捆绑法分别计算甲与老师相邻的总排列数、同时满足甲与老师相邻且乙与老师不相邻的排列数，二者比值即为所求概率. 【详解】设事件为“学生甲与老师相邻”，事件为“学生乙与老师不相邻”，所求概率为. 将甲与老师视为1个复合元素，内部排列数为，该复合元素与剩余3名学生共4个元素的全排列数为， 故. 再计算事件的排列数：先求甲与老师相邻且乙也与老师相邻的排列数， 此时老师位于甲、乙中间，将三人视为1个复合元素，内部排列共2种（甲-老师-乙、乙-老师-甲）， 该复合元素与剩余2名学生共3个元素的全排列数为， 故乙与老师相邻的排列数为.因此. 故. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数的单调性求出的取值范围，再通过求导或者根据对勾函数性质求解即可. 【详解】∵，∴， 又∵是定义在上的增函数， ∴，解得. 令， 法一：在上恒成立，∴在上单调递增， 即. 法二：由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以. 8. 已知正三棱锥，且，以为球心，为半径的球面与底面三角形的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求正三棱锥的高，确定交线的形状与参数，计算交线的长. 【详解】 正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，设为点O，连接PO、AO， 底面边长，， 在中，，， 球心为，半径为， 球面与底面交线为圆，圆心为，半径为， ， 圆心到A、B、C的距离均为，所以A、B、C三点均在截面圆外， 取的中点，， 边与圆交两点，半弦角满足，， 靠一侧（三角形外）弧对应圆心角为， 三条边各一段弧在三角形外，所以总交线长为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线上存在点，使得 B. 直线被圆截得的弦长为4 C. 圆上的点到直线的最大距离为 D. 过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出圆C的圆心、半径，再计算圆心到直线l的距离，结合点到直线距离公式、弦长公式、直线交点求解等知识逐一判断选项. 【详解】圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线上不存在点，使得，故A错误； 因为，所以直线与圆相交，所以弦长为，故B正确； 因为圆上的点到直线的最大距离为，故C正确； 过圆心作直线的垂线，则垂线的斜率为，所以直线方程为，联立，可解得，所以垂足坐标为，故D正确. 10. 箱子中有大小、材质都相同的10个小球，其中有4个红球，现从中不放回地随机摸两次，每次摸出1个小球．设事件表示“第次摸球，摸到红球”，摸到红球个数记为，则下列结论正确的是（ ） A. 和互斥 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用互斥事件定义、条件概率计算、超几何分布的期望与方差，结合对应知识点逐一计算判断即可. 【详解】选项A，互斥事件的定义是两个事件不能同时发生，而“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”是可能发生的，即与可同时发生，因此二者不互斥，错误. 选项B，根据条件概率公式，其中两次都摸到红球的概率， 由抽签原理，不放回摸球时每次摸到红球的概率相等，即，代入得，正确. 选项C，红球个数服从超几何分布，参数（总球数）、（红球数）、（摸球次数），期望公式为，正确. 选项D，因为，，错误. 11. 已知函数和它的导函数的定义域均为，满足，且是奇函数，，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由奇函数的性质及恒等关系，令得对任意恒成立，结合已知判断A，令，研究函数的性质得到恒成立，进而依次判断B、C、D即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 在中，令，得， 即，得对任意恒成立， 因为，说明不恒为 0，所以必满足，得，A错误， 令，求导， 因为是奇函数（即），代入上式得， 因为恒成立，所以是一个常数函数， 因为，所以恒成立，即（为偶函数）， 在原方程中，令，则， 代入，及，得， 即，即恒成立， B：由上得，所以， 又，且函数连续，所以恒大于 0， 因此对所有成立，当然也成立，B正确， C：由，可知，即， 由于，所以， 因此恒成立，C正确， D：在原方程中，令，得， 把代入上式：， 作差， 因式分解得， 因为，所以且， 故恒成立， 即，所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个等差数列的前4项的和等于4，前8项的和等于72，则这个数列的公差等于___________． 【答案】 4 【解析】 【详解】设该等差数列的首项为，公差为，其前项和公式为. ∵ 前4项和，代入公式得，化简得. ∵ 前8项和，代入公式得，化简得. 作差，得，解得. 13. 已知函数在处取得最大值，则___________． 【答案】## 【解析】 【详解】， 因为正弦函数的最大值为1，取最大值时满足， 已知在处取得最大值，则，解得， 因为，当时满足条件，即． 14. 平面四边形的对角线的中点分别为， ，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先线性分解，根据已知条件计算. 【详解】，， ， 是的中点，所以，， 所以， ，，， ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某科技公司致力于具身机器人的研发工作，并设立了研发奖励基金．该公司近几年奖励基金设立情况如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 基金金额（亿元） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （1）计算与的相关系数（保留三位小数）； （2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2026年设立的研发奖励基金金额． 参考公式：．参考数值：． 【答案】（1）相关系数； （2）线性回归方程为，预测2026年研发奖励基金金额为2.18亿元． 【解析】 【小问1详解】 由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． 【小问2详解】 由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故该公司2026年设立的研发奖励基金金额为亿元． 16. 的内角的对边分别为，其面积为且． （1）求； （2）若且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出，利用三角形面积公式结合已知条件及三角形内角和公式求出； （2）由（1）知是等边三角形，结合求出，利用余弦定理构造方程求出． 【小问1详解】 由，且，得， 三角形面积公式：，则， 联立得， 由三角形内角和，则， 展开整理得，即， 由，得． 【小问2详解】 由，得，为等边三角形，故， 由，知D在边上，且， 在中，由余弦定理得， 即，解得，由得． 17. 如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【答案】（1）是等边三角形，是中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以， 因为，是等边三角形，所以，又，所以， 而，所以，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，计算出的长后由勾股定理的逆定理得，再由线面垂直判定定理得证平面，从而可证得线线垂直； （2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，再求出，由直线与平面所成角正弦值等于与夹角的余弦值的绝对值求得正弦值，然后结合函数性质得最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 设，则， 记直线与平面所成角为，则，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为． （i）求弦长的最小值； （ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由离心率得，再代入已知点坐标可求得椭圆方程； （2）（i）直线斜率存在时，设直线方程为，显然，设，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，然后代入弦长公式求得弦长，再求得原点到直线的距离，计算三角形面积得的关系，代入弦长（消元），再由不等式性质得弦长的范围，然后再求得直线斜率不存在时弦长，从而可得最小值； （ii）由题意得，代入（i）中韦达定理的结论得出的又一关系式，结合面积得出的关系可求得值. 【小问1详解】 由题意，所以，则椭圆方程为， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）直线斜率存在时，设直线方程为，显然，设， 由得， ，， ，， ， 原点到直线的距离为 所以，化简得，满足()， 所以， ，则，， 所以， 直线斜率不存在时，设直线方程为，显然， 由得，， ，， 所以， 综上，所以的最小值是； （ii）以线段为直径的圆经过坐标原点，则， 由（i）知，， ，化简得， 又由（i）知，即， 所以，解得. 19. （1）证明：当时，； （2）若，，求的最大值； （3）若对于任意的，且，都有，求的最大值． 【答案】（1）因为和都是奇函数，所以和都是偶函数， 因此只需证明时，即可， 令，求导得， 因为，所以，故， 所以在上单调递增， 因为，所以时，，即， 结合偶函数性质，对任意，都有，当且仅当时取等号； （2）1 （3）1 【解析】 【分析】（1）问题化为证明时，即可，构造函数并应用导数证明不等关系即可； （2）问题化为对任意，恒成立，利用导数研究右侧的性质求下确界，即可得； （3）首先证明时不等式成立，再应用反证法证明时不等式不恒成立，即可得. 【详解】（1）略 （2）由题意，对任意，恒成立， 令，则的最大值为在上的下确界， 对求导， 令，则， 由（1）知，当时，，所以， 因此在上单调递增，且，所以， 即在上恒成立，故单调递增， 由此的下确界为时 ， 要使不等式恒成立，必须有，所以的最大值为. （3）对于任意不相等的实数​， 由和差化积公式， 因为恒成立，所以， 由，得， 若要等号成立，需同时满足且， 当时，（），即， 此时， 由于​，所以，故， 由（1），当时，有， 所以， 因此恒成立，即满足条件， 假设，则不等式为， 令，（且趋近于），代入得， 当时，，不等式左侧趋近于，右侧趋近于， 此时， 因为，所以，则， 说明足够接近于时，远大于，即存在使得， 这与原不等式矛盾，因此不能大于， 综上所述，的最大值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三开学全域学情综合诊断数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知向量,则实数（ ） A. -1 B. 0 C. D. 3 4. 已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 一名教师和四名同学站成一排照相，已知学生甲与老师相邻，则学生乙与老师不相邻的概率为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 8. 已知正三棱锥，且，以为球心，为半径的球面与底面三角形的交线长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线上存在点，使得 B. 直线被圆截得的弦长为4 C. 圆上的点到直线的最大距离为 D. 过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 10. 箱子中有大小、材质都相同的10个小球，其中有4个红球，现从中不放回地随机摸两次，每次摸出1个小球．设事件表示“第次摸球，摸到红球”，摸到红球个数记为，则下列结论正确的是（ ） A. 和互斥 B. C. D. 11. 已知函数和它的导函数的定义域均为，满足，且是奇函数，，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个等差数列的前4项的和等于4，前8项的和等于72，则这个数列的公差等于___________． 13. 已知函数在处取得最大值，则___________． 14. 平面四边形的对角线的中点分别为， ，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某科技公司致力于具身机器人的研发工作，并设立了研发奖励基金．该公司近几年奖励基金设立情况如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 基金金额（亿元） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （1）计算与的相关系数（保留三位小数）； （2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2026年设立的研发奖励基金金额． 参考公式：．参考数值：． 16. 的内角的对边分别为，其面积为且． （1）求； （2）若且，求． 17. 如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦的最大值． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为． （i）求弦长的最小值； （ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求． 19. （1）证明：当时，； （2）若，，求的最大值； （3）若对于任意的，且，都有，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $