专题01 勾股定理应用：求最短路径（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，通过圆柱、长方体、阶梯、将军饮马四大载体，系统训练最短路径问题，强化空间观念与转化思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆柱中的最短路径|8题|侧面展开求爬行距离，含单圈/多圈/组合体|化曲为平，展开圆柱侧面构直角三角形| |长方体中的最短路径|10题|多面展开路径比较，含挖切/组合长方体|分类展开不同面，比较勾股定理结果| |阶梯中的最短路径|5题|台阶表面展开为长方形，求对角线长|累加台阶长宽高构平面矩形| |将军饮马与最短路径|8题|利用对称点转化折线为直线，含跨河/立体|对称化折为直，结合勾股定理求最值|

专题01 勾股定理应用：求最短路径 题型一 圆柱中的最短路径问题 题型二 长方体中的最短路径问题 题型三 阶梯中的最短路径问题 题型四 将军饮马与最短路径问题 题型一 圆柱中的最短路径问题 1．如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 2．如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 3．如图1，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是．将圆柱沿将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是_________（取3）；经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．当蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等，则_________．（取3） 【答案】 15 【详解】解：由题意得最短路径“路线二”为线段的长，底面圆的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为15；． 4．如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为________． 【答案】米 【分析】 【详解】解：将圆柱体侧面展开如图： 此时米，米， 有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点， 米， 在中，米， 则彩带长至少为米． 故答案为：米． 5．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走__________的路程． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图所示，取的中点M， ∴， ∵长方形地毯，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为， ∴，，， ∴半圆的弧长为， 将中间半圆展开，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程， 故答案为： ． 6．如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为_____． 【答案】/ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 7．我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长__________________． 【答案】29 【分析】 【详解】解：如图在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴这根藤条有29尺． 故答案为：29． 8．如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 题型二 长方体中的最短路径问题 9．如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．    但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_______． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∵点N是的中点， ∴， 如图1中，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图2中，，， ∴， ∴一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为， 故答案为：． 11．在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得： ，， 由勾股定理得：， ， 蚂蚁需要爬行的最短路径的长为， 故选． 12．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 13．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为，若一只蚂蚁想从盒底的点 处沿盒子的表面爬行一周到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 【答案】 【详解】解：把长方体的侧面展开如图所示： 由图可得，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为， 故答案为：． 14．如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为______．    【答案】10 【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径， 由题意知，，，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理最短路径的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 15．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 16．阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长，宽，高． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？      小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形， 在中，． (1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； (2)帮助小明完成探究2． 【答案】(1)小明的做法不正确，正确的做法见解答过程 (2)这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为 【分析】 【详解】（1） 解：小明的做法不正确，正确的做法如下： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：    ，， 在中， ， ∵小明的结果为，且， ∴装饰条的最小长度为20cm； （2） 解：如图：   ， ， 又， 在中， ， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，能熟练画出图形 是解题关键． 17．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 题型三 阶梯中的最短路径问题 18．一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 19．如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，， ， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 20．如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为______m． 【答案】 【详解】解：该楼梯的水平长度为， 将楼梯台阶表面展开，如图： 则，， ∴在中，， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故答案为： 21．如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 【答案】275 【分析】 【详解】解：如图所示， 每级台阶的宽度和高度分别是和， 台阶平面展开图为长方形，长，宽， 蚂蚁从A点沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故答案为：275． 22．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 题型四 将军饮马与最短路径问题 23．已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时取得最小值，点即为所求点， 点， 点关于轴的对称点的坐标为， ，， ， 的最小值为. 24．白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（   ） A． B．4 C．5 D．― 【答案】A 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时AP＋PB最小； ∵PA＝P， ∴AP＋PB＝P＋PB＝B， 过点B作BE⊥AC于点E， ∵AC⊥CD， ∴BECD， 又∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴CE＝BD＝2， 同理可得：EB＝CD＝3， ∵AC＝C＝3， ∴E＝2＋3＝5， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离处处相等，轴对称最短路径问题以及勾股定理，准确找到点P的位置是解此题的关键． 25．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为和，且C、D相距，则铺水管的最短长度是（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】解：作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离． 过A作于G，过E作于F， ∵， ∴，，， ，， 在中，， ∴铺水管的最短长度是， 故选：D． 26．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 27．如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴， ∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得， ∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为． 故答案为： 28．学校将要举办趣味运动会，规则如下：如图，在线上摆满沙包，学生从点出发，跑到线上任意一点拿到沙包，再将沙包运送到线上任意一点即为完成一次比赛．已知，长度足够，两条线夹角，小明发现该比赛存在一条最短路径，请计算，若小明沿最短路径完成比赛，他至少需要跑________． 【答案】 【详解】解：作关于的对称点，作，连接，则即为最短距离，最短距离等于， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ． 29．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【答案】13公里 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 30．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 【答案】水厂位置O即为所求 铺设水管的总费用为15000元 【详解】解：如图，作点A关于的对称点， 连接交于O， ∴， ∴点O即为水厂的位置． 过点作交的延长线于点E，过点A作于点F， 则，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∴（元）． 故铺设水管的总费用为15000元． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理应用：求最短路径 题型一 圆柱中的最短路径问题 1．【答案】B 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 2．【答案】C 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 3．【答案】 15 【详解】解：由题意得最短路径“路线二”为线段的长，底面圆的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为15；． 4．【答案】米 【分析】 【详解】解：将圆柱体侧面展开如图： 此时米，米， 有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点， 米， 在中，米， 则彩带长至少为米． 故答案为：米． 5．【答案】 【分析】 【详解】解：如图所示，取的中点M， ∴， ∵长方形地毯，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为， ∴，，， ∴半圆的弧长为， 将中间半圆展开，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程， 故答案为： ． 6．【答案】/ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 7．【答案】29 【分析】 【详解】解：如图在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴这根藤条有29尺． 故答案为：29． 8．【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 题型二 长方体中的最短路径问题 9．【答案】C 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．    但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 10．【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∵点N是的中点， ∴， 如图1中，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图2中，，， ∴， ∴一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为， 故答案为：． 11．【答案】C 【分析】 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得： ，， 由勾股定理得：， ， 蚂蚁需要爬行的最短路径的长为， 故选． 12．【答案】D 【分析】 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 13．【答案】 【详解】解：把长方体的侧面展开如图所示： 由图可得，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为， 故答案为：． 14．【答案】10 【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径， 由题意知，，，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理最短路径的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 15．【答案】 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 16．【答案】(1)小明的做法不正确，正确的做法见解答过程 (2)这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为 【分析】 【详解】（1） 解：小明的做法不正确，正确的做法如下： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：    ，， 在中， ， ∵小明的结果为，且， ∴装饰条的最小长度为20cm； （2） 解：如图：   ， ， 又， 在中， ， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，能熟练画出图形 是解题关键． 17．【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 题型三 阶梯中的最短路径问题 18．【答案】D 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 19．【答案】C 【分析】 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，， ， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 20．【答案】 【详解】解：该楼梯的水平长度为， 将楼梯台阶表面展开，如图： 则，， ∴在中，， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故答案为： 21．【答案】275 【分析】 【详解】解：如图所示， 每级台阶的宽度和高度分别是和， 台阶平面展开图为长方形，长，宽， 蚂蚁从A点沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故答案为：275． 22．【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 题型四 将军饮马与最短路径问题 23．【答案】 【详解】解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时取得最小值，点即为所求点， 点， 点关于轴的对称点的坐标为， ，， ， 的最小值为. 24．【答案】A 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时AP＋PB最小； ∵PA＝P， ∴AP＋PB＝P＋PB＝B， 过点B作BE⊥AC于点E， ∵AC⊥CD， ∴BECD， 又∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴CE＝BD＝2， 同理可得：EB＝CD＝3， ∵AC＝C＝3， ∴E＝2＋3＝5， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离处处相等，轴对称最短路径问题以及勾股定理，准确找到点P的位置是解此题的关键． 25．【答案】D 【详解】解：作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离． 过A作于G，过E作于F， ∵， ∴，，， ，， 在中，， ∴铺水管的最短长度是， 故选：D． 26．【答案】 20 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 27．【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴， ∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得， ∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为． 故答案为： 28．【答案】 【详解】解：作关于的对称点，作，连接，则即为最短距离，最短距离等于， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ． 29．【答案】13公里 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 30．【答案】水厂位置O即为所求 铺设水管的总费用为15000元 【详解】解：如图，作点A关于的对称点， 连接交于O， ∴， ∴点O即为水厂的位置． 过点作交的延长线于点E，过点A作于点F， 则，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∴（元）． 故铺设水管的总费用为15000元． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理应用：求最短路径 题型一 圆柱中的最短路径问题 题型二 长方体中的最短路径问题 题型三 阶梯中的最短路径问题 题型四 将军饮马与最短路径问题 题型一 圆柱中的最短路径问题 1．如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 2．如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图1，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是．将圆柱沿将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是_________（取3）；经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．当蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等，则_________．（取3） 4．如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为________． 5．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走__________的路程． 6．如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为_____． 7．我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长__________________． 8．如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 题型二 长方体中的最短路径问题 9．如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_______． 11．在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 12．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 13．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为，若一只蚂蚁想从盒底的点 处沿盒子的表面爬行一周到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 14．如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为______．    15．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 16．阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长，宽，高． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？      小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形， 在中，． (1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； (2)帮助小明完成探究2． 17．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 题型三 阶梯中的最短路径问题 18．一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 19．如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 20．如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为______m． 21．如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 22．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 题型四 将军饮马与最短路径问题 23．已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 24．白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（   ） A． B．4 C．5 D．― 25．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为和，且C、D相距，则铺水管的最短长度是（   ） A．5 B． C．7 D． 26．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 27．如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 28．学校将要举办趣味运动会，规则如下：如图，在线上摆满沙包，学生从点出发，跑到线上任意一点拿到沙包，再将沙包运送到线上任意一点即为完成一次比赛．已知，长度足够，两条线夹角，小明发现该比赛存在一条最短路径，请计算，若小明沿最短路径完成比赛，他至少需要跑________． 29．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 30．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $