专题01 勾股定理的探究十大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以十大题型为框架，系统整合勾股定理从基础计算到综合证明的方法体系，通过典例-变式结构实现知识逻辑递进与解题能力迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十大题型|每题型含1典例+3变式|涵盖公式应用、等面积法、构造直角三角形等核心方法，提炼步骤规范与技巧|从概念（边长计算、证明）到应用（面积、周长、平方关系）再到综合（与无理数、几何证明结合），形成完整逻辑链|

专题01 勾股定理的探究十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理求直角三角形的边长 题型02 勾股定理的证明方法 题型03 利用图形面积之间的关系求图形的面积 题型04 构造直角三角形求线段的长 题型05 利用勾股定理求图形的周长 题型06 利用勾股定理求图形的面积 题型07 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型08 利用勾股定理证明线段平方关系 题型09 勾股定理与无理数 题型10 利用勾股定理进行证明 ▌题型01 利用勾股定理求直角三角形的边长 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案； （2）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案； （3）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． ▌题型02 勾股定理的证明方法 【典例2】【答案】C 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】3 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． ▌题型03 利用图形面积之间的关系求图形的面积 【典例3】【答案】A 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】25 ▌题型04 构造直角三角形求线段的长 【典例4】 【答案】AB，BC＝1， 【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可． 【详解】解：作AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠C＝30°， ∴ADAC＝1， 在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD， ∵∠B＝45°， ∴∠DAB＝∠B＝45°， ∴BD＝AD＝1，则BC＝1， ∴AB， 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D． 【变式1-3】【答案】C． ▌题型05 利用勾股定理求图形的周长 【典例5】【答案】C． 【变式1-1】【答案】B． 【变式1-2】【答案】44或54 【变式1-3】 【答案】24． 【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=3，AC=AE， ∵DE⊥AB，DE=3，BD=5， 根据勾股定理得，BE=4， ∴AC2+82=（AE+4）2， 解得AE=6， 则AC=6， ∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． ▌题型06 利用勾股定理求图形的面积 【典例6】【答案】D． 【变式1-1】 【答案】8． 【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，由勾股定理求出CD的长，利用三角形面积公式可求出答案． 【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∵AC＝8， ∴ADAC＝4， ∴CD4， ∴S△ABCAB•CD4×48． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB，CD的长是解题的关键． 【变式1-2】 【答案】． 【分析】延长DA和CB交于O，求出∠O＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB和OD，根据勾股定理求出OA和OC，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：延长DA和CB交于O， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠O＝30°， ∵AB＝4，DC＝5， ∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10， 由勾股定理得：OA4，OC5， ∴四边形ABCD的面积是:S△OCD﹣S△OABOC×CDOA×AB554×4． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式1-3】 【答案】36． 【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE＝DC＝6，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积． 【详解】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示． ∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8， ∴BD6， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC＝6， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD， AB•DEBC•CD， 4×68×6， ＝36． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键． ▌题型07 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例7】【答案】C 【变式1-1】【答案】2 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】73 ▌题型08 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例8】 【答案】（1）3；（2）答：+=． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． (1) 先求出AB=10，由由翻折的性质可得DE⊥AB，DE=DC，在Rt△BED中，，即可求解； (2)过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP，先证明△AMH≌△BPH，得到AM=BP，MH=PH，进一步即可得到AM²+BN²=MN2 【详解】解：（1）解：如图所示： ∵将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上， ∴CD=DE，AC=AE，∠AED=∠C=90°， ∵AC = 6，BC = 8， ∴AB=10， 设CD=DE=x，则BD=8-x，BE=10-6=4， 在Rt△BED中，，解得：x=3． 故答案为：3； （2）+=，理由如下： 过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接PN， ∴∠A=∠PBH 在△AMH和△BPH中 ∠A=∠PBH， AH=BH， ∠AHM=∠BHP ∴△AMH≌△BPH ∴AM=BP，MH=PH 又∵NH⊥MP ∴MN=NP ∵BP∥AC，∠C=90° ∴∠NBP=90° ∴ ∴+= 【变式1-1】 【答案】（1）见详解；（2），理由见详解 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE＝CE，利用勾股定理列式表示出DE2、CE2，然后相减即可得解； （2）根据（1）的求解思路列式整理即可． 【详解】（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 在Rt△ADE中，AD2−AE2＝DE2， 在Rt△ACE中，AC2−AE2＝CE2， 两式相减得，AD2−AC2＝DE2−CE2＝（DE−CE）（DE＋CE）＝（DE−BE）CD＝BD•CD， 即AD2−AB2＝BD•CD； （2）结论为：AB2−AD2＝BD•CD． 证明如下：与（1）同理可得，AD2−AE2＝DE2，AC2−AE2＝CE2， ∵点D在CB上， ∴AB＞AD，即：AC＞AD， ∴AC2−AD2＝CE2−DE2＝（CE−DE）（CE＋DE）＝（BE−DE）（CE＋DE）＝BD•CD， ∴AC2−AD2＝BD•CD， 即AB2−AD2＝BD•CD． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【变式1-2】     【答案】(1) 证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； (2)26 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据勾股定理将转化为即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴ ． ▌题型09 勾股定理与无理数 【典例9】【答案】D 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】(1) 解：在中，由勾股定理得， ∴， 即点表示数； (2) 解：如图， 在中，，，， ∴， 即点表示． 【分析】（）由勾股定理得，然后代入求解即可； （）在中，，，，由勾股定理即可求解； 本题考查了勾股定理与无理数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型10 利用勾股定理进行证明 【典例10】 【答案】(1)猜想：，理由如下， ， ，． 由旋转性质得，． ， ， 即． 在和中， ， ． (2)4 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）以为边作等边，连接，证明，得到，推出为直角三角形，勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，以为边作等边，连接， 是等边三角形， ，． 为等边三角形， ，． ， 即． 在和中， ， ， ，， ， 为直角三角形，其中，， ， ． 【变式1-1】 【答案】(1)， (2) ； 证明：如图，    过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【详解】（1）解：如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； （2）略 【变式1-2】 【答案】(1) (2)证明：如图，在AP上截取，令与交于点E， 、， ， 、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 为等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ； (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出的长； （2）在AP上截取，令与交于点E，根据直角三角形的性质求出，进而证明，求出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，从而得出结论； （3）延长、交于点，过点F作于点M，易证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，利用角平分线的性质定理得到，设，进而得到、的长，证明和求出点P是的中点，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，再次利用勾股定理求出和的值，结合完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）； （2）略； （3）解：延长、交于点，过点F作于点M， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 平分、、， ， ， 设，则， ， 由（2）知， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点P是的中点， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1-3】            【答案】(1)证明：根据旋转可知：，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴； (2)解：；理由如下： 过点A作于点M，于点N，如图2所示： 根据旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； (3)的值为定值； 【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可； （2）过点作于点，于点，先证明，根据角平分线的判定得出平分，即可证明结论； （3）过点作于点，求出，说明为等腰直角三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的值为定值；；理由如下： 过点A作于点G，如图3所示： 根据旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（2）可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理的探究十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理求直角三角形的边长 题型02 勾股定理的证明方法 题型03 利用图形面积之间的关系求图形的面积 题型04 构造直角三角形求线段的长 题型05 利用勾股定理求图形的周长 题型06 利用勾股定理求图形的面积 题型07 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型08 利用勾股定理证明线段平方关系 题型09 勾股定理与无理数 题型10 利用勾股定理进行证明 ▌题型01 利用勾股定理求直角三角形的边长 1. 核心公式：在中，两直角边，斜边，满足 ； 2. 变形公式：，，； 3. 前提条件：必须先判定三角形为直角三角形，分清直角边、斜边（斜边最长）； 4. 常用勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25 等，可快速口算； 5. 注意：边长为正数，开方只取算术平方根；含参数需分类讨论斜边。 【典例1】一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 【变式1-1】如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B落在纸带的另一边沿上，测得，则直角三角板的斜边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过C作于H，先根据含30度角的直角三角形的性质求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过C作于H，则， 由题意，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-2】在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 【变式1-3】在中，． (1)若，，求c． (2)若，，求b． (3)若，，求a． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案； （2）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案； （3）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． ▌题型02 勾股定理的证明方法 1. 证明核心思路：等面积法，用两种不同方式表示同一个图形面积，建立等式化简得； 2. 经典模型必备： · 赵爽弦图：大正方形面积 = 4 个全等直角三角形 + 小正方形； · 总统证法（伽菲尔德）：梯形面积 = 2 个直角三角形 + 1 个等腰直角三角形； · 欧几里得面积证法：直角边上正方形面积和 = 斜边上正方形面积； 3. 步骤规范：标注图形边长→写出两种面积表达式→列等式→展开化简推导勾股公式。 【典例2】如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 【变式1-1】中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，能证明勾股定理的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握通过面积法证明勾股定理是解题的关键． 通过面积法，将每幅图的图形面积用两种不同方式表示，建立面积等式，验证是否能推导出，以此判断每幅图能否证明勾股定理． 【详解】解：逐个分析四幅图： 图①：大正方形边长为，面积为；同时该面积也等于边长为的小正方形面积加个直角三角形的面积，即，展开化简得，能证明勾股定理，符合题意； 图②：大正方形面积可表示为，同时大正方形边长为，面积为，即，化简后得，能证明勾股定理，符合题意； 图③：边长为的正方形面积为，同时该面积等于边长为的小正方形面积加个直角三角形的面积，即，展开化简得，能证明勾股定理，符合题意； 图④：图形仅将大正方形拆分为矩形，未关联与斜边c的关系，无法推导，不能证明勾股定理，不符合题意； 故答案为：． 【变式1-3】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1) 证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． ▌题型03 利用图形面积之间的关系求图形的面积 1. 直角三角形三边向外作正方形：两直角边正方形面积之和 = 斜边正方形面积（）； 2. 拓展结论：三边向外作等腰直角三角形、半圆、等边三角形，依然满足 “两小面积和 = 大面积”； 3. 解题技巧：已知两个图形面积，直接加减求第三个，无需先求边长； 4. 不规则阴影面积：分割 / 补形转化为三边关联图形，套用面积和差关系。 【典例3】如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，则图中阴影部分的面积和是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理算出大正方形面积，再利用勾股定理得到两个小正方形的面积和，相加得阴影部分的面积． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， ，，、为直角三角形， ，， ， ，，， ． 【变式1-2】如图是来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．分别以直角三角形的边，，为直径画半圆，，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直角三角形的性质得出，由勾股定理得，然后通过阴影部分的面积为，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴阴影部分的面积为 ． 【变式1-3】如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． ▌题型04 构造直角三角形求线段的长 1. 常见构造场景：无直角的斜三角形、网格线段、折叠、航海 / 梯子 / 旗杆实际应用题； 2. 构造方法： · 作高：过顶点向对边作垂线，拆分出两个直角三角形； · 网格：横纵作垂线，以线段为斜边构造格点直角三角形； · 延长线段：补齐图形得到直角； 3. 等量传递：设未知数，用勾股表示多条线段，列方程求解； 4. 实际问题：抽象几何模型，标注垂直关系再计算。 【典例4】已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长． 【答案】AB，BC＝1， 【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可． 【详解】解：作AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠C＝30°， ∴ADAC＝1， 在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD， ∵∠B＝45°， ∴∠DAB＝∠B＝45°， ∴BD＝AD＝1，则BC＝1， ∴AB， 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键． 【变式1-1】如图，在中，，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，连接，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据度求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图，    根据作图可得， ， ， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理可得：， ， ． 【变式1-2】如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长． 【详解】解：连接AD， ∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点， ∴AD⊥BC，BDBC＝5， ∴AD12， 又∵DE⊥AB， ∴BD•ADAB•ED， ∴ED， 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 【变式1-3】△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 【答案】C． 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD． 【详解】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25， 则BD＝5， 在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得 CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81， 则CD＝9， 故BC＝BD+DC＝9+5＝14； （2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25， 则BD＝5， 在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得 CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81， 则CD＝9， 故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答． ▌题型05 利用勾股定理求图形的周长 1. 核心逻辑：周长 = 各边长度相加，未知边长依靠勾股定理求出； 2. 直角三角形周长：已知两边，先用勾股求第三边，三边求和； 3. 组合图形（多边形、折叠图形）： · 折叠问题：折叠前后对应边相等，转化等量线段； · 不规则多边形：分割为直角三角形，逐条求出所有边长； 4. 易错点：区分斜边与直角边，避免漏边、重复计算边长。 【典例5】如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　） A．12.5 B．13 C．14 D．15 【答案】C． 【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝7， ∴π×（）2π×（）2AC×BCπ×（）2＝7， ∴AC×BC＝14， ∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝62+2×14＝64， ∴AC+BC＝8（负值舍去）， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 【变式1-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（　　） A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm 【答案】B． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解． 【详解】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴CD＝DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE＝6， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 由勾股定理得，BC8， ∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键． 【变式1-2】在中，为边上的高，且的周长为______． 【答案】44或54 【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理列式求出、，再分在内部和外部两种情况求出，然后根据三角形的周长的定义解答即可． 【详解】解：，，边上的高， ，， 如图1，在内部时，， 此时，的周长， 如图2，在外部时，， 此时，的周长， 综上所述，的周长为44或54． 故答案为：44或54． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出的长，作出图形更形象直观． 【变式1-3】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长． 【答案】24． 【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=3，AC=AE， ∵DE⊥AB，DE=3，BD=5， 根据勾股定理得，BE=4， ∴AC2+82=（AE+4）2， 解得AE=6， 则AC=6， ∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． ▌题型06 利用勾股定理求图形的面积 1. 直角三角形面积基础公式：（为直角边）； 2. 已知斜边和一条直角边：先用勾股求出另一条直角边，再算面积； 3. 斜三角形面积：作高构造直角三角形，求出高后代入； 4. 组合图形：总面积 = 多个直角三角形面积和 / 差； 5. 方程法：设直角边为，结合周长、面积条件列二元方程求解。 【典例6】如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．13 B．15 C．18 D．19 【答案】D． 【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝5， ∴S正＝5×5＝25， ∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19． 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积． 【变式1-1】如图2，在△ABC中，AC＝8，AB＝4，∠BAC＝120°，求△ABC的面积． 【答案】8． 【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，由勾股定理求出CD的长，利用三角形面积公式可求出答案． 【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∵AC＝8， ∴ADAC＝4， ∴CD4， ∴S△ABCAB•CD4×48． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB，CD的长是解题的关键． 【变式1-2】如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求该四边形的面积． 【答案】． 【分析】延长DA和CB交于O，求出∠O＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB和OD，根据勾股定理求出OA和OC，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：延长DA和CB交于O， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠O＝30°， ∵AB＝4，DC＝5， ∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10， 由勾股定理得：OA4，OC5， ∴四边形ABCD的面积是:S△OCD﹣S△OABOC×CDOA×AB554×4． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式1-3】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BD＝10，BC＝8，求四边形ABCD的面积． 【答案】36． 【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE＝DC＝6，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积． 【详解】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示． ∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8， ∴BD6， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC＝6， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD， AB•DEBC•CD， 4×68×6， ＝36． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键． ▌题型07 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1. 基础平方关系：直角三角形中、； 2. 中线模型（重要）：直角三角形斜边中线等于斜边一半；任意三角形中线平方公式（阿波罗尼斯定理）：； 3. 动点类平方和：过动点作垂线，拆分线段用勾股展开平方再合并； 4. 化简技巧：无需算出线段长度，整体代入平方关系式直接求值。 【典例7】如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 【变式1-1】中，斜边，则的值是______． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 【变式1-2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． ▌题型08 利用勾股定理证明线段平方关系 1. 通用步骤： ① 过关键点作垂线，构造直角三角形； ② 对目标线段分别使用勾股定理，写出平方等式； ③ 利用公共边、等线段等量代换； ④ 消去中间项，推导出要证明的平方等式； 2. 常见结论模型： · 等腰三角形底边平方、高线平方关系； · 折叠、垂直平分线、正方形内线段平方等式； 3. 关键：出现线段平方，优先作高造直角，不直接硬算长度。 【典例8】有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm． ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD =_________cm． ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）3；（2）答：+=． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． (1) 先求出AB=10，由由翻折的性质可得DE⊥AB，DE=DC，在Rt△BED中，，即可求解； (2)过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP，先证明△AMH≌△BPH，得到AM=BP，MH=PH，进一步即可得到AM²+BN²=MN2 【详解】解：（1）解：如图所示： ∵将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上， ∴CD=DE，AC=AE，∠AED=∠C=90°， ∵AC = 6，BC = 8， ∴AB=10， 设CD=DE=x，则BD=8-x，BE=10-6=4， 在Rt△BED中，，解得：x=3． 故答案为：3； （2）+=，理由如下： 过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接PN， ∴∠A=∠PBH 在△AMH和△BPH中 ∠A=∠PBH， AH=BH， ∠AHM=∠BHP ∴△AMH≌△BPH ∴AM=BP，MH=PH 又∵NH⊥MP ∴MN=NP ∵BP∥AC，∠C=90° ∴∠NBP=90° ∴ ∴+= 【变式1-1】已知如图，在中，，D在CB的延长线上． 求证：（1）； （2）若D在CB上，结论如何，试证明你的结论． 【答案】（1）见详解；（2），理由见详解 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE＝CE，利用勾股定理列式表示出DE2、CE2，然后相减即可得解； （2）根据（1）的求解思路列式整理即可． 【详解】（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 在Rt△ADE中，AD2−AE2＝DE2， 在Rt△ACE中，AC2−AE2＝CE2， 两式相减得，AD2−AC2＝DE2−CE2＝（DE−CE）（DE＋CE）＝（DE−BE）CD＝BD•CD， 即AD2−AB2＝BD•CD； （2）结论为：AB2−AD2＝BD•CD． 证明如下：与（1）同理可得，AD2−AE2＝DE2，AC2−AE2＝CE2， ∵点D在CB上， ∴AB＞AD，即：AC＞AD， ∴AC2−AD2＝CE2−DE2＝（CE−DE）（CE＋DE）＝（BE−DE）（CE＋DE）＝BD•CD， ∴AC2−AD2＝BD•CD， 即AB2−AD2＝BD•CD． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【变式1-2】我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； (2)26 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据勾股定理将转化为即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴ ． ▌题型09 勾股定理与无理数 1. 原理：直角边为整数时，斜边常为二次根式（无理数），可用勾股在数轴上表示无理数； 2. 数轴画无理数步骤： · 以原点为直角顶点，横轴取整数直角边，纵轴取整数直角边； · 斜边长度即为，圆规截取斜边长度到数轴； 3. 网格中无理线段：横向、纵向格数为直角边，斜线段长； 4. 大小比较：比较带根号线段，只需比较被开方数（平方后比较）。 【典例9】如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；根据勾股定理可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴点A表示的数是； 故选D． 【变式1-1】如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点M表示的实数是． 故选：C． 【变式1-2】边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由于正方形的边长为1，可知为等腰直角三角形，可利用勾股定理求出的长，即可得到B点表示的数． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴在等腰直角中， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据四边形为正方形判断出为直角三角形是解题的关键． 【变式1-3】甲同学用如图所示的方法作出点表示数，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上找出表示的点，并说明理由． 【答案】(1) 解：在中，由勾股定理得， ∴， 即点表示数； (2) 解：如图， 在中，，，， ∴， 即点表示． 【分析】（）由勾股定理得，然后代入求解即可； （）在中，，，，由勾股定理即可求解； 本题考查了勾股定理与无理数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型10 利用勾股定理进行证明 1. 综合题融合考点：全等、等腰三角形、折叠、平行四边形、中线、垂直； 2. 证明万能思路：遇平方→作高造，多次运用勾股建立等式； 3. 等量转换工具： · 折叠：对应边相等； · 等腰：两腰相等； · 全等：对应边相等； 4. 题型分类： · 证明线段相等：平方相等且线段为正； · 证明平方和 / 差等式； 5. 判定直角三角形（逆定理：若，则三角形为直角三角形）； 【典例10】【初步探究】 (1)如图1，在中，，在外作线段（点B、A、D不在同一条直线上），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【实践应用】 (2)某校数学兴趣小组开展了几何图形探究与设计实践活动，组员们利用四边形和等边三角形的组合性质，设计了一个几何探究图形如图2，在四边形中，是对角线，是等边三角形，小组在测量和研究中发现，，对角线，为了完整确定这个探究图形的所有边长，兴趣小组需要求出的长，请你运用几何知识帮他们完成探究计算． 【答案】(1)猜想：，理由如下， ， ，． 由旋转性质得，． ， ， 即． 在和中， ， ． (2)4 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）以为边作等边，连接，证明，得到，推出为直角三角形，勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，以为边作等边，连接， 是等边三角形， ，． 为等边三角形， ，． ， 即． 在和中， ， ， ，， ， 为直角三角形，其中，， ， ． 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏南京·期末）在中，，且． (1)当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ．    其中，①是______；②是______． (2)如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．    【答案】(1)， (2) ； 证明：如图，    过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【详解】（1）解：如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； （2）略 【变式1-2】如图，在等腰中，，又，连接． (1)若，求的长； (2)如图1，求证： ； (3)如图2，若平分交于F点，则________． 【答案】(1) (2)证明：如图，在AP上截取，令与交于点E， 、， ， 、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 为等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ； (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出的长； （2）在AP上截取，令与交于点E，根据直角三角形的性质求出，进而证明，求出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，从而得出结论； （3）延长、交于点，过点F作于点M，易证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，利用角平分线的性质定理得到，设，进而得到、的长，证明和求出点P是的中点，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，再次利用勾股定理求出和的值，结合完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）； （2）略； （3）解：延长、交于点，过点F作于点M， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 平分、、， ， ， 设，则， ， 由（2）知， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点P是的中点， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1-3】【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明：根据旋转可知：，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴； (2)解：；理由如下： 过点A作于点M，于点N，如图2所示： 根据旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； (3)的值为定值； 【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可； （2）过点作于点，于点，先证明，根据角平分线的判定得出平分，即可证明结论； （3）过点作于点，求出，说明为等腰直角三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的值为定值；；理由如下： 过点A作于点G，如图3所示： 根据旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（2）可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理的探究十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理求直角三角形的边长 题型02 勾股定理的证明方法 题型03 利用图形面积之间的关系求图形的面积 题型04 构造直角三角形求线段的长 题型05 利用勾股定理求图形的周长 题型06 利用勾股定理求图形的面积 题型07 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型08 利用勾股定理证明线段平方关系 题型09 勾股定理与无理数 题型10 利用勾股定理进行证明 ▌题型01 利用勾股定理求直角三角形的边长 1. 核心公式：在中，两直角边，斜边，满足 ； 2. 变形公式：，，； 3. 前提条件：必须先判定三角形为直角三角形，分清直角边、斜边（斜边最长）； 4. 常用勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25 等，可快速口算； 5. 注意：边长为正数，开方只取算术平方根；含参数需分类讨论斜边。 【典例1】一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【变式1-1】如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B落在纸带的另一边沿上，测得，则直角三角板的斜边的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，． (1)若，，求c． (2)若，，求b． (3)若，，求a． ▌题型02 勾股定理的证明方法 1. 证明核心思路：等面积法，用两种不同方式表示同一个图形面积，建立等式化简得； 2. 经典模型必备： · 赵爽弦图：大正方形面积 = 4 个全等直角三角形 + 小正方形； · 总统证法（伽菲尔德）：梯形面积 = 2 个直角三角形 + 1 个等腰直角三角形； · 欧几里得面积证法：直角边上正方形面积和 = 斜边上正方形面积； 3. 步骤规范：标注图形边长→写出两种面积表达式→列等式→展开化简推导勾股公式。 【典例2】如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【变式1-1】中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，能证明勾股定理的有__________个． 【变式1-3】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． ▌题型03 利用图形面积之间的关系求图形的面积 1. 直角三角形三边向外作正方形：两直角边正方形面积之和 = 斜边正方形面积（）； 2. 拓展结论：三边向外作等腰直角三角形、半圆、等边三角形，依然满足 “两小面积和 = 大面积”； 3. 解题技巧：已知两个图形面积，直接加减求第三个，无需先求边长； 4. 不规则阴影面积：分割 / 补形转化为三边关联图形，套用面积和差关系。 【典例3】如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【变式1-1】如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，则图中阴影部分的面积和是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图是来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．分别以直角三角形的边，，为直径画半圆，，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． ▌题型04 构造直角三角形求线段的长 1. 常见构造场景：无直角的斜三角形、网格线段、折叠、航海 / 梯子 / 旗杆实际应用题； 2. 构造方法： · 作高：过顶点向对边作垂线，拆分出两个直角三角形； · 网格：横纵作垂线，以线段为斜边构造格点直角三角形； · 延长线段：补齐图形得到直角； 3. 等量传递：设未知数，用勾股表示多条线段，列方程求解； 4. 实际问题：抽象几何模型，标注垂直关系再计算。 【典例4】已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长． 【变式1-1】如图，在中，，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，连接，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 ▌题型05 利用勾股定理求图形的周长 1. 核心逻辑：周长 = 各边长度相加，未知边长依靠勾股定理求出； 2. 直角三角形周长：已知两边，先用勾股求第三边，三边求和； 3. 组合图形（多边形、折叠图形）： · 折叠问题：折叠前后对应边相等，转化等量线段； · 不规则多边形：分割为直角三角形，逐条求出所有边长； 4. 易错点：区分斜边与直角边，避免漏边、重复计算边长。 【典例5】如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　） A．12.5 B．13 C．14 D．15 【变式1-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（　　） A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm 【变式1-2】在中，为边上的高，且的周长为______． 【变式1-3】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长． ▌题型06 利用勾股定理求图形的面积 1. 直角三角形面积基础公式：（为直角边）； 2. 已知斜边和一条直角边：先用勾股求出另一条直角边，再算面积； 3. 斜三角形面积：作高构造直角三角形，求出高后代入； 4. 组合图形：总面积 = 多个直角三角形面积和 / 差； 5. 方程法：设直角边为，结合周长、面积条件列二元方程求解。 【典例6】如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．13 B．15 C．18 D．19 【变式1-1】如图2，在△ABC中，AC＝8，AB＝4，∠BAC＝120°，求△ABC的面积． 【变式1-2】如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求该四边形的面积． 【变式1-3】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BD＝10，BC＝8，求四边形ABCD的面积． ▌题型07 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1. 基础平方关系：直角三角形中、； 2. 中线模型（重要）：直角三角形斜边中线等于斜边一半；任意三角形中线平方公式（阿波罗尼斯定理）：； 3. 动点类平方和：过动点作垂线，拆分线段用勾股展开平方再合并； 4. 化简技巧：无需算出线段长度，整体代入平方关系式直接求值。 【典例7】如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【变式1-1】中，斜边，则的值是______． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【变式1-2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． ▌题型08 利用勾股定理证明线段平方关系 1. 通用步骤： ① 过关键点作垂线，构造直角三角形； ② 对目标线段分别使用勾股定理，写出平方等式； ③ 利用公共边、等线段等量代换； ④ 消去中间项，推导出要证明的平方等式； 2. 常见结论模型： · 等腰三角形底边平方、高线平方关系； · 折叠、垂直平分线、正方形内线段平方等式； 3. 关键：出现线段平方，优先作高造直角，不直接硬算长度。 【典例8】有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm． ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD =_________cm． ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【变式1-1】已知如图，在中，，D在CB的延长线上． 求证：（1）； （2）若D在CB上，结论如何，试证明你的结论． 【变式1-2】我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． ▌题型09 勾股定理与无理数 1. 原理：直角边为整数时，斜边常为二次根式（无理数），可用勾股在数轴上表示无理数； 2. 数轴画无理数步骤： · 以原点为直角顶点，横轴取整数直角边，纵轴取整数直角边； · 斜边长度即为，圆规截取斜边长度到数轴； 3. 网格中无理线段：横向、纵向格数为直角边，斜线段长； 4. 大小比较：比较带根号线段，只需比较被开方数（平方后比较）。 【典例9】如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【变式1-1】如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【变式1-2】边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 【变式1-3】甲同学用如图所示的方法作出点表示数，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上找出表示的点，并说明理由． ▌题型10 利用勾股定理进行证明 1. 综合题融合考点：全等、等腰三角形、折叠、平行四边形、中线、垂直； 2. 证明万能思路：遇平方→作高造，多次运用勾股建立等式； 3. 等量转换工具： · 折叠：对应边相等； · 等腰：两腰相等； · 全等：对应边相等； 4. 题型分类： · 证明线段相等：平方相等且线段为正； · 证明平方和 / 差等式； 5. 判定直角三角形（逆定理：若，则三角形为直角三角形）； 【典例10】【初步探究】 (1)如图1，在中，，在外作线段（点B、A、D不在同一条直线上），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【实践应用】 (2)某校数学兴趣小组开展了几何图形探究与设计实践活动，组员们利用四边形和等边三角形的组合性质，设计了一个几何探究图形如图2，在四边形中，是对角线，是等边三角形，小组在测量和研究中发现，，对角线，为了完整确定这个探究图形的所有边长，兴趣小组需要求出的长，请你运用几何知识帮他们完成探究计算． 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏南京·期末）在中，，且． (1)当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ．    其中，①是______；②是______． (2)如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．    【变式1-2】如图，在等腰中，，又，连接． (1)若，求的长； (2)如图1，求证： ； (3)如图2，若平分交于F点，则________． 【变式1-3】【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $