26.3.1 二次函数与一元二次方程-课件 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的核心联系，涵盖交点与根的对应关系、判别式的应用及函数值正负区间判断。通过“探究新知”中三个二次函数图象与x轴交点的实例，引导学生发现方程根的情况，承接二次函数图象与性质，为后续学习搭建支架。 其亮点是以数形结合为主线，通过小球飞行高度等实例培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。分层练习与清晰小结帮助学生夯实思维，教师可高效开展教学，提升学生分析解决问题的能力。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.3.1二次函数与一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 26.3.1 二次函数与一元二次方程专项练习 本次专项练习适配人教版九年级上册26.3.1教学内容，承接二次函数图象与性质的基础知识点，聚焦二次函数与一元二次方程的数形结合核心关系。本节是二次函数模块的重难点衔接内容，也是中考高频考点，主要考查抛物线与x轴交点、根的判别式的对应关系、利用函数图象求解方程根及函数值正负区间判断。通过分层基础、提升、综合题型训练，可扎实掌握本节核心知识与解题方法，夯实数形结合解题思维。 一、核心知识梳理 1. 函数与方程的内在联系：对于任意二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当函数值y=0时，解析式可转化为一元二次方程ax²+bx+c=0。抛物线图象与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根，实现了几何图象与代数方程的相互转化。 2. 判别式与交点、根的对应关系：根的判别式Δ=b²−4ac是判断核心依据。当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个不重合的交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，抛物线顶点落在x轴上，仅有一个交点，对应方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，对应方程无实数根。 3. 函数值正负分布规律：结合抛物线开口方向与交点，可快速判断y的取值范围。开口向上（a＞0）时，两根外侧y＞0，两根之间y＜0；开口向下（a＜0）时，两根外侧y＜0，两根之间y＞0，该规律可直接用于求解简单二次不等式。 二、基础专项练习题 选择题 1. 抛物线y=x²−3x+2对应的一元二次方程根的情况是（ ） A. 两个不相等实数根 B. 两个相等实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 2. 抛物线y=2x²+4x+2与x轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 填空题 3. 若抛物线y=x²+2x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是________。 4. 二次函数y=x²−5x+6与x轴交点的横坐标为________。 基础解答题 5. 判断二次函数y=-x²+2x−1的图象与x轴的交点个数，并求解对应一元二次方程的实数根。 三、能力提升练习题 1. 已知二次函数y=ax²−2x+1的图象与x轴有两个不同交点，求实数a的取值范围。 2. 已知抛物线y=x²−4x+3，直接写出y＞0和y＜0时自变量x的取值范围。 四、综合拓展练习题 已知二次函数y=-x²+3x+4，完成下列问题：（1）判断对应一元二次方程-x²+3x+4=0的根的情况并求出方程的根；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）结合图象写出y＜0时x的取值范围。 五、参考答案与详细解析 选择题解析 1. 答案：A。解析：计算判别式Δ=(-3)²−4×1×2=1＞0，因此方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点。 2. 答案：B。解析：Δ=4²−4×2×2=0，抛物线与x轴仅有一个交点，对应方程有两个相等的实数根。 填空题解析 3. 答案：m＞1。解析：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0，代入得4−4m＜0，解得m＞1。 4. 答案：2、3。解析：令y=0，因式分解得(x−2)(x−3)=0，解得x₁=2，x₂=3，即为交点横坐标。 基础解答题解析 5. 解析：由解析式得a=-1，b=2，c=-1，Δ=4−4=0，抛物线与x轴有且只有一个交点。对应方程整理为(x−1)²=0，实数根为x₁=x₂=1。 能力提升题解析 1. 解析：函数为二次函数则a≠0，图象与x轴有两个交点需Δ＞0。由Δ=4−4a＞0得a＜1，综上a的取值范围为a＜1且a≠0。 2. 解析：令y=0，解得x₁=1，x₂=3，抛物线开口向上。因此x 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 学习目标 通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. （重点） 学习目标 思考：如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2； (2) y=x2−8x+16； (3) y=x2−x+1. 由此，你能说方程 x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0 根的情况吗？ y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 探究新知 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线 y=x2+x−2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，1. 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程 x2+x−2=0 有两个不相等的实数根 −2，1. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 探究新知 通过图中的函数图象可以看出： (2) 抛物线y=x²−8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4. 当 x=4 时，函数值是 0. 由此可知，方程x2−8x+16=0 有两个相等的实数根 4. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 探究新知 通过图中的函数图象可以看出： (3) 抛物线 y=x2−x+1 与 x 轴没有公共点. 由此可知，方程 x2−x+1=0 没有实数根. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 探究新知 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： (1) 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 探究新知 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 解析：方法一 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3,0), ∴x=3是一元二次方程 的一个根， ∴，解得m=3, ∴ 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 例1 探究新知 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 例1 解析：方法二 ∵二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴是直线x= 且与x轴的一个交点为(3，0)， ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 方法三 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0), ∴x=3是一元二次方程 的一个根. 设方程的另一个根为x₁，则 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). (-1，0) 探究新知 求抛物线与 x 轴的交点的坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题； (2) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解； (3) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解. 探究新知 知识点1 抛物线和 轴的公共点坐标与对应的一元二次方程的根之 间的关系 1.一元二次方程 的根是_________________，所以抛物 线与 轴的公共点坐标是_______________. ， ， 返回 举一反三 11 2.如图，抛物线的对称轴是直线.关于 的方程 的一个根为 ，则另一个根为________. 返回 举一反三 12 3.已知二次函数 的图象如图 所示，利用图象解答下列各题： （1）方程 的根是_________ _______； , （2）方程 的根是______________； （3）方程 的根是_______________； , , 举一反三 13 （4）方程 的根是____________； （5）方程 的根的情况是什么？ 解：此方程无实数根. 返回 举一反三 14 (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________. 跟踪训练 解析：由题意得，方程  的根的判别式=22-4×(-1)×m=4+4m. (1) 若该抛物线与  轴没有公共点，则  ，解得  . (2) 若该抛物线与  轴有公共点，则  ，解得  .     探究新知 (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________. 跟踪训练 解析：(3)该抛物线与  轴的两个公共点为， 是方程的两根， . 又，， 该抛物线与轴的公共点的坐标为(，0)，(，0).     (，0)，(，0) 探究新知 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多长时间？ 例2 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t-5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t-5t2的根的问题. 探究新知 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多长时间？ 例2 解：当  时，由函数关系 ， 列得方程 即 解方程，得 这说明，当自变量  时，二次函数  的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m. 探究新知 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多长时间？ 解：(1)小球的飞行高度能达到15 m. 当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . 解方程，得 . ∴当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15 m. 跟踪训练 探究新知 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (2)小球的飞行高度能否达到20.5 m?如果能，需要多长时间？ 跟踪训练 解：(2)当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . ∵ , ∴方程无实数根， ∴小球的飞行高度不能达到20.5 m. 探究新知 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ 跟踪训练 解：(3)小球飞出和落地时的高度都为0 m， 当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . 解方程，得 . ∴小球从飞出到落地需要4s. 探究新知 知识点2 抛物线和 轴的公共点个数与对应的一元二次方程根的判 别式之间的关系 4.二次函数 的图象如图所示，则对应 的一元二次方程 的根的情况是( ) B A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 返回 举一反三 22 5.抛物线与 轴的交点个数是( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 返回 举一反三 23 6.若二次函数的图象与轴有交点，则 的取值范围是 ( ) B A. B.且 C. D.且 返回 举一反三 24 7. 若抛物线是常数与 轴没有交点， 则 的值可以是_________________. 1（答案不唯一） 返回 举一反三 25 知识点3 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 8.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度 单位：与飞行时间单位：的关系式为 . （1）炮弹的飞行高度能否达到 ?如果能，需要多长时间？ 解：能.令，整理，得 ，解得 ， 当炮弹飞行或 时，它的飞行高度达到 . 举一反三 26 （2）炮弹的飞行高度能否达到 ?如果能，需要多长时间？ 解：不能.令，整理，得 ， ， 方程无解， 炮弹的飞 行高度不能达到 . （3）从炮弹飞出到落地，需要多长时间？ 解：令，整理，得，解得 ， . 从炮弹飞出到落地，需要 . 返回 举一反三 27 知识点4 二次函数与不等式 9.已知二次函数 的图象如 图所示，当时， 的取值范围是( ) A A. B. C. D.或 返回 举一反三 28 10.如图，抛物线经过点 ，对 称轴为直线.当时， 的取值范围是( ) D A. B. C. D.或 返回 举一反三 29 （第11题） 11.如图，一次函数 与二次函数 的图象相交于， 两点，则关于的不等式 的解 集为( ) A A. B. C. D.或 返回 举一反三 30 二次函数与 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点 b2-4ac<0 与x轴无公共点 课堂小结 谢谢观看 THANKS $