第11章 简单几何体概念清单速记表（知识清单）数学沪教版必修第三册

该高中数学知识清单系统梳理了“简单几何体”单元内容，涵盖柱体、锥体、多面体与旋转体、球四大知识范畴，为学生搭建了从“概念定义”到“性质特征”再到“体积表面积计算”的递进式学习架构。 清单采用“章节分类+相关概念关联”的方式呈现知识体系，如柱体章节明确区分棱柱与圆柱的定义及性质，培养学生的空间观念。特别标注“祖暅原理推导体积公式”“圆柱圆锥侧面展开图”等重难点，用“正多面体仅五种”等结论帮助记忆，不同层次学生可高效掌握，教师能据此设计针对性教学，提升课堂实效。

第11章 简单几何体清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 11.1 柱体 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体；构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为多面体的顶点。 面、棱、顶点 棱柱 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形，同时不在这两个面上的棱都相互平行，这样的多面体叫做棱柱；那一对互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧棱，两个底面之间的距离称为棱柱的高。 底面、侧面、侧棱、高 直棱柱、斜棱柱与正棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，否则称为斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。 直棱柱、斜棱柱、正棱柱 圆柱 将矩形 绕其一条边 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱： 所在直线叫做圆柱的轴，线段 和 分别旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面， 叫做圆柱的母线，两个底面间的距离（即 的长度）叫做圆柱的高。 轴、底面、侧面、母线、高 柱体 棱柱和圆柱统称为柱体。圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行。 柱体、母线 圆柱截面的性质 过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面都是全等的矩形；任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面都是与底面全等的圆。 轴截面、截面 祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”，即两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则这两个几何体的体积相等。 祖暅、截面积、体积 柱体的体积 柱体的体积等于底面积与高的乘积：棱柱的体积为 ，圆柱的体积为 ，其中 为底面积， 为高， 为圆柱的底面半径。 体积、底面积、高 柱体的表面积 柱体的表面由底面和侧面组成，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积；所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积。 表面积、侧面积 直棱柱的表面积 直棱柱的每个侧面都是矩形，其侧面积等于底面多边形的周长 乘以高 ，表面积为 ，其中 为底面积；也可用平面展开图的方法求得。 侧面积、平面展开图 圆柱的表面积 把圆柱的侧面沿一条母线剪开并展开在一个平面上，得到一个矩形，一边等于母线长 （即高），另一边等于底面圆的周长 ，因此圆柱的表面积为 ，其中 为底面半径。 侧面展开图、侧面积 11.2 锥体 棱锥 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥：这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面，不在底面上的棱称为棱锥的侧棱，所有侧棱的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 底面、侧面、侧棱、顶点、高 正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥；按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 正棱锥、底面边数 圆锥 将直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥：该直线叫做圆锥的轴，直角顶点叫做圆锥的顶点，另一条直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边叫做圆锥的母线，顶点到底面间的距离叫做圆锥的高。 轴、顶点、底面、侧面、母线、高 锥体 棱锥与圆锥统称为锥体。圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点。 锥体、母线 台体（圆台与棱台） 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体；大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台，圆台可看成直角梯形绕其垂直于底面的腰旋转一周所形成的几何体；棱锥被平行于底面的平面所截，截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台，由正棱锥截得的棱台称为正棱台。 台体、圆台、棱台、正棱台 锥体的体积 任一棱锥的体积都是与它同底等高的柱体体积的三分之一：棱锥的体积为 ，圆锥的体积为 ，其中 为底面积， 为高， 为底面半径。 体积、三分之一 台体的体积 设台体上、下底面积分别为 和 ，上、下底面的距离为 ，则台体的体积为 ；圆台的体积为 ，其中 、 分别为上、下底面的半径。 台体、体积 锥体的表面积 锥体的表面积等于侧面积与底面积之和。 表面积、侧面积 正棱锥的斜高与侧面积 正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高 ；如果底面多边形的周长为 ，底面面积为 ，那么正棱锥的侧面积为 ，表面积为 。 斜高、侧面积、表面积 圆锥的侧面展开图与表面积 把圆锥的侧面沿一条母线剪开并展开在一个平面内，得到的平面展开图是一个以圆锥母线 为半径的扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长 ，扇形的中心角 （弧度）；因此圆锥的侧面积为 ，表面积为 ，其中 为底面半径。 扇形、中心角、侧面积、表面积 11.3 多面体与旋转体 多面体的面数命名 多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；一般地，一个 棱锥有一个底面和 个侧面，是 面体， 棱柱或 棱台有两个底面和 个侧面，是 面体。 几面体、面数 多面体至少有四个面 一个多面体至少有四个面，面数最少的多面体是四面体（即三棱锥）；平面上的多边形都可以由三角形拼合而成，空间中的多面体都可以由四面体拼合而成。 四面体、三棱锥 正多面体 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，且每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体；正多面体只有五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。 正多面体、五种 旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体，这条直线叫做该旋转体的轴。 旋转、轴 旋转面 一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面。 旋转面、旋转轴 圆柱面与圆锥面 一条直线 绕同一平面内的另一条直线 旋转一周所形成的曲面：当 与 平行时，得到的是圆柱面；当 与 相交（但不垂直）时，得到的是圆锥面。直线 称为圆柱面或圆锥面的母线，母线与转轴的交点称为圆锥面的顶点。 圆柱面、圆锥面、母线、顶点 多面体的欧拉定理 简单多面体的顶点数 、面数 与棱数 之间有关系 。 欧拉定理、拓扑学 11.4 球 球与球面 将圆心为 的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球 ；半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面，点 叫做球心，把原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径。 球面、球心、半径、直径 球的对称性 与圆柱和圆锥只有一条轴不同，球具有丰富的对称性：所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径。 对称性、旋转轴 球的截面 用一个平面去截球，截面是一个圆：设球心 到截面的距离为 （即 ），球的半径为 ，则截面圆的半径 。 截面圆、勾股定理 大圆与小圆 若截球的平面经过球心，此时的截面称为球的大圆；为了区分，也把球的非大圆截面称为小圆。 大圆、小圆 地球的经线与纬线 把地球看作一个球体：用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆的圆周称为纬线，过南北两极点轴的大圆的半圆周称为经线；地球上某点的纬度是该点和地心连线与赤道平面所成的角，经度是它所在经线半圆与 0° 经线半圆所成二面角的度数。 纬线、经线、纬度、经度 球的体积 半径为 的球的体积为 ；推导时可由祖暅原理得到半球的体积等于底面半径为 、高为 的圆柱体积减去一个同底等高的圆锥体积。 体积、祖暅原理、半球 球的表面积 以 为半径的球面面积是 ；球面是由半圆弧绕其直径旋转一周而成的曲面，不能像圆柱面、圆锥面那样展开为平面图形。 表面积、球面 球与圆柱的表面积关系 当圆柱的底面直径与高都等于球的直径时，球的表面积等于圆柱的侧面积，且球的表面积等于圆柱表面积的 。 圆柱、侧面积、表面积 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $