专题02 简单几何体（4知识&15题型&2易错）（期中知识清单）高二数学上学期沪教版

专题02 简单几何体（4知识&15题型&2易错） 【清单01】柱体 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 3.祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 4.柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 5.柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch （c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【清单02】锥体 1.棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形；棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 2.圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边；圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 3.锥体的体积 锥体的体积公式 V＝Sh (S为底面面积，h为高)； 4.锥体表面积与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 【清单03】多面体与旋转体 1、多面体定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 【清单04】球 1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2.球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 4.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 5.球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【题型一】柱体体积的有关计算 【例1-1】（24-25高二上·上海·期中）将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 . 【答案】 【详解】由题意知，形成的几何体为圆柱，且底面圆的半径，圆柱的高， 所以底面圆的面积， 所以圆柱的体积， 故答案为：. 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长为2，高为3，则它的体积为 【答案】12 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】由棱柱体积公式直接计算可得. 【详解】由题知，正四棱柱的底面面积为， 所以，正四棱柱的体积为. 故答案为：12 【例1-3】（24-25高二上·上海崇明·期中）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积、的关系是 . 【答案】相等 【详解】根据祖暅原理可得相等. 故答案为：相等. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 【答案】C 【详解】以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 因为，所以， 所以. 故选：. 【变式1-2】（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为 . 【答案】 【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 【答案】 【详解】由轴截面是边长为2的正方形可得，圆柱底半径为1，高为2， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 【变式1-4】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    【答案】 【详解】连接,分别取其中点，连接，如图，    则，且，可得几何体是三棱柱， 又，且，于是平面， 而平面，则，同理，又平面， 因此平面，即三棱柱是直三棱柱， 由正方体的棱长为1，得， 所以直三棱柱的体积为. 故答案为： 【题型二】锥体体积的有关计算 【例2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 【例2-2】（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ． 【答案】 【详解】由于E为棱的中点，且为等边三角形，故， 又，，且，平面， 平面，故是四面体的底面上的高， ，， ． 三棱锥的体积． 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 【变式2-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【答案】 【详解】因为， 点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点， 所以， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    【答案】1 【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，，    而分别为的中点，则， 由，得四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面，同理平面AMN， 又平面，因此平面平面，又平面AMN， 则平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 三棱锥的体积. 故答案为：1 【题型三】台体体积的有关计算 【例3】（24-25高二上·上海·期中）正四棱台的上、下地面分别是边长为1、2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的体积为 . 【答案】 【详解】 设棱台的高为，则， 故体积为， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台的上下底面面积分别为和，高为2，则它的体积为 ． 【答案】 【详解】圆台的体积为. 故答案为：. 【题型四】柱锥球体积综合 【例4-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 【答案】 【详解】令，棱柱的高为， 由题意，， 所以. 故答案为： 【例4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【答案】 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，    由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ． 【答案】 【详解】由题意可知木制工艺品的体积为：. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为 . 【答案】 【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示： 其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 因为四边形和为矩形，则， 可得， 同理可得：，， 所以， 可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又因为，和区域内的几何体的体积之和； 区域内的直三棱柱体积， 所以的体积为. 故答案为： 【题型五】柱体表面积的有关计算 【例5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 . 【答案】 【详解】因为底面积为，故底面半径为3，而高为4， 故侧面积为， 故答案为： 【例5-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是 . 【答案】 【详解】依题意，圆柱的底面圆周长为4，则半径， 所以该圆柱的表面积. 故答案为： 【例5-3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【答案】36 【详解】由正棱柱的侧面积公式可得， 故答案为：36 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的轴截面面积为8，则它的侧面积为 . 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，母线为， 由于圆柱的轴截面面积为8，所以， 所以它的侧面积为. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二上·上海静安·期中）已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为 . 【答案】 【详解】由于圆柱的轴截面是正方形，面积为，即正方形的边长是， 则圆柱的母线长是，底面直径是， 于是圆柱的底面积是，侧面积是， 于是表面积是. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【答案】 【详解】过点作，连， 因为，，， 所以，则，即， 由是平面内两条相交直线， 所以平面，又， 所以平面，又平面， 所以， 所以该斜三棱柱的侧面积为. 故答案为：.    【题型六】圆锥表面积的有关计算 【例6】（24-25高二上·上海·期中）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【详解】圆锥的侧面积. 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为 . 【答案】 【详解】圆锥侧面展开图是半圆，底面半径为1，圆锥底面周长是，则母线长为. 则圆锥侧面积为. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为 . 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，轴截面顶角为， 圆锥的底面积与侧面积之比为，，即， ，，， . 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 【答案】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 【题型七】柱锥球表面积与体积综合计算 【例7】（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为 ． 【答案】 【详解】设圆锥母线长为，侧面积较小的圆锥半径为，侧面积较大的圆锥半径为，它们的高分别为、， 它们的侧面积之比为，则，得． 两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆， ，得． 再由勾股定理，得， 同理可得，， 两个圆锥的高之比为：， 故体积之比为 故答案为：． 【变式7-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【答案】 【详解】如图是圆柱的轴截面， 其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线， 设圆柱底面半径为，高为， 则，，， 因此， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 圆柱侧面积为，最大值为， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之和为． 故答案为：. 【题型八】圆锥中截面的有关计算 【例8】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 有题意知，，解得， 所以. 故答案为：. 【变式8】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 【题型九】球的截面的性质及计算 【例9】（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图：设的中心为，球的半径为，连接，则点在上， 连接. 因为三棱锥为正三棱锥，且，， 所以，， 在中，，即， 解得， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 故选：A 【变式9-1】（24-25高二上·上海·期中）若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 【答案】3 【详解】设小圆的半径为，则，解得， 又球的半径为5，故线段. 故答案为：3 【变式9-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 【题型十】柱锥台最值问题 【例10-1】（24-25高二上·上海·期中）圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为 . 【答案】 【详解】沿这条母线展开圆柱侧面是一矩形，矩形的长是圆柱的底面周长为，矩形的宽为圆柱的母线长5， 矩形的对角线长为，即为所求最短距离． 故答案为： 【例10-2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是 . 【答案】 【详解】以为顶点，构造棱长为的正方体，如下图所示： 由对称性可知，， 又因为是上的动点，是下底面上的动点，所以是直角三角形， 又因为是中点，，所以， 当取得最小值时，此时四点共线， 则， 故答案为：. 【例10-3】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则沿着侧面从点到点的距离最小值是 . 【答案】. 【详解】考虑圆锥的侧面展开图， 由题意可知圆锥的母线长为4，底面直径为，则半径， 所以底面圆的周长为， 所以圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，即半径为4的半圆， 如图所示：    在直角三角形中，，所以， 所以沿着侧面从点到点的距离最小值为. 故答案为：. 【例10-4】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 【例10-5】（24-25高二上·上海·期中）已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为和，高为，将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中（不考虑外包装的厚度），则外包装盒的表面积的最小值为 .    【答案】 【详解】水平放入长方体的盒子中有三种放法， 第一种，两个圆台一个正放，一个倒置放入，其俯视图如图所示，    此种放置时，要使表面积最小， 可求得正方形的对角线长为， 可得正方形的边长为， 表面积为， 第二种，两个圆台一个正放，一个倒置放入，其俯视图如图所示，    此种放置时，要使表面积最小， 可得长方体的底面长方形的一边长为，另一边为，长方体的高为， 表面积为， 第三种两个两个圆台重叠方放入，则长方体表面积最小时的长方体的底面是的正方形，高为， 可得表面积为， 比较可得，表面积最小为. 故答案为：. 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    【变式10-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 【答案】15 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 因为圆柱体的底面周长为，即，且, 所以最短路程为：. 故答案为：. 【变式10-3】（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】 作，垂足为，连接， 根据直棱柱性质可得，平面，平面，则， 显然，当在上，两个等号同时成立， 于是使得取到最小值的点落在线段上. 如图所示直三棱柱，将底面沿着翻折，使其和平面共面，如下图， 过作，垂足为，交于，则此位置的点为所求， 根据题干数据，，， 由，故，于是，， 设，则，由，解得， 故，故； 故答案为： 【变式10-4】（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 【题型十一】多面体与球体内切外接问题 【例11-1】（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： 【例11-2】（24-25高二上·上海·期中）一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，则母线长为，外接球的半径为， 由题有，则，解得， 所以圆柱的底面面积为， 故答案为：. 【例11-3】（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 【答案】19 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 【变式11-2】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则 .      【答案】 【详解】设储物盒所在球的半径为，如图，    小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得：， ∴， 故答案为： 【变式11-3】（24-25高二上·上海·期中）设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 【答案】2 【详解】设, 因为两两垂直，扩展为长方体， 所以该长方体的体对角线为球的直径， 所以， ， 因为 所以， 当且仅当时取得等号， 故答案为：2. 【变式11-4】（24-25高二上·上海·期中）空间中有五个球两两外切，它们的半径分别为，则 . 【答案】 【详解】假设半径为1的两球球心分别为，半径为2的两球心分别为， 连接四个球心如下图所示，则有， 取的中点，易知， 则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以， 因为平面，所以平面， 则可知平面平分线段，平面平分线段， 又平面平面，可知第五个球心G为于上， 可满足， 设，则，解之得. 故答案为： 【题型十二】棱柱为背景的解答题 【例12-1】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；    （2）由题设，剩下的多面体的体积. 【例12-2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【详解】（1） 因为，故或其补角为异面直线与所成角的余弦值， 因为平面平面，所以， 而，，故， 故异面直线所成的角为. （2）. 【例12-3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【详解】（1）正三棱柱的侧面积为：，底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. （2）如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 【变式12-1】（24-25高二上·上海静安·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，交于点，则为的中点， 又因为为的中点，连接，则， 平面，平面， 平面； （2）由（1）知，， 所以为异面直线与所成角或其补角， 在中，，， 由余弦定理，得， 故异面直线与所成角为； （3）因为正方形，所以，且，， 又在正四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以. 【变式12-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【详解】（1）在三棱柱中，连接， 由，O为的中点，得， 又平面，且平面，则，， 由，平面，得平面， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，， 即四边形为平行四边形，则， 所以平面. （2）在三棱柱中，， 由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为. （3）连接， 由（1）可知：，且平面，平面，则平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则，， 四边形为平行四边形，，且平面，平面， 于是平面，且，平面，所以平面平面， 且平面平面，则点P的轨迹为线段，即， 由，，为的中点，得， ，且为矩形，则， 在中，，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 【变式12-3】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 【变式12-4】（24-25高二上·上海·期中）长方体中，底面为边长为2的正方形，，点在棱上，且． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)过线段作一个与底面成角大小的截面，求截面的面积． 【详解】（1）由题意知长方体中，底面为边长为2的正方形， 点在棱上，故M到平面的距离为2， 则； （2）连接，长方体中，平面， 故即为直线与平面所成角； 由于， ，故, 在中，， 故. （3）过线段作一个与底面成角的截面， 当时，截面即为底面四边形，面积为4； 设交于O，因为，故在中，， 故； 当时，不妨设截面与交于点N，连接， 则，而，故为截面与底面所成二面角的平面角， 即，故，则截面面积为； 当时，则截面为如图所示四边形，为等腰梯形， 设EF中点为P，连接，则，则， PO为梯形的高，， 由题意可知为等腰直角三角形，故， 故截面面积为. 【变式12-5】（24-25高二上·上海·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【题型十三】圆柱为背景的解答题 【例13】（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱体积为：； （2）设点到平面的距离为， 在等腰中，由，则， 为直径，， 在中，， 则， 由底面，底面,所以， 又，平面，所以平面， 平面， 故， ， ， 由等体积法，得， 解得：． 即点到平面的距离为． 【变式13-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【详解】（1）根据题意可知这种“笼具”的体积等于外层圆柱体积减去内层圆锥体积； 由圆柱的底面周长为可知，底面圆半径为cm，又高为cm， 所以圆柱体积为 由圆锥的母线长为30cm可知圆锥的高cm， 因此圆锥体积为； 所以这种“笼具”的体积为 （2）易知制作1个“笼具”所使用的纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和； 圆柱侧面积为，圆柱上底面面积； 圆锥侧面积为； 因此制作100个“笼具”需要的网材料面积为， 根据材料的造价为每平方米8元，可知共需元. 【变式13-2】（24-25高二上·上海静安·期中）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足 ， 因，设, 代入 ，得，即，解得（舍负根）， 因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为， 将b、h代入，可得 ， 综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为； （2）假设截面面积均为正常数S，则，，，因， ，又因为，所以，即， 综上， ，故矩形截面的梁的截面形状最好． 【变式13-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 【详解】（1）根据题意，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为， 所以圆柱的表面积为 （2）由题意可知，底面，底面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面 （3） 将绕着旋转到，使其与共面， 且在的反向延长线上，当，，三点共线时， 的最小值为， 因为，，，， ，所以，，，所以在三角形中， 由余弦定理可得， 所以的最小值为. 【题型十四】圆锥为背景的解答题 【例14】（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 【变式14】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径、的长为2且，高，点为线段的中点. (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成的角的大小： (3)求直线与平面所成角的大小. 【详解】（1）圆锥的底面圆半径为2，， 故母线长， ． （2）底面，底面，， 又，即，，平面， 平面， 取中点，连接，则，且． 为异面直线与所成的角． 由平面，，可得平面，平面，得． 在中，求得， 在中，可得． 所以异面直线与所成的角的大小为 （3）底面，底面，， 又是中点，故， 平面， 平面， 故即为直线与平面所成角， 由于，， 故， 因此. 【题型十五】组合图形为背景的解答题 【例15】（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. （2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 【变式15-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 【变式15-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息､避雨､乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体的表面积； (2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，判断该亭子是否满足建筑要求. 【详解】（1）由已知圆锥的母线长为， 所以所求表面积为； （2）取中点，连接，因为是中点，所以， 是圆柱的一条母线，则， 所以是异面直线与所成的角或其补角， 作交于，则是中点，且平面， 平面，所以， 由已知，则， ，，，， ∴， ∴， ， ，，且为锐角， ∴．该亭子不满足建筑要求． 【题型一】对简单几何体的结构特征理解不到位致错 1．（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 2．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 3．（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高二上·上海·期中）以下四个命题中，所有真命题的序号为 .①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 【答案】②④ 【详解】①以直角三角形的一条直角边为轴，将三角形旋转一周所得几何体为圆锥，而其它三角形所得为组合体，故①错误； ②底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱，故侧棱垂直于底面，故②正确； ③正棱锥的各侧棱与底面所成角相等，而不是所有棱锥各侧棱和底面所成的角相等，故③错误； ④圆锥轴截面有两条边对应圆锥的母线，第三条边为底面直径，故一定为等腰三角形，故④正确. 所以真命题有②④. 故答案为：②④. 5．（23-24高二上·上海静安·期中）以下命题中，所有真命题的序号为 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边； ③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形； 【答案】②④ 【详解】对于①，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，①错误； 对于②，直线垂直于三角形两边，因为三角形两边必相交，则此直线垂直于三角形所在的平面，由线面垂直的性质可得直线必垂直第三边，②正确； 对于③，如图所示，满足有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形，    但此多面体不是棱柱，③错误； 对于④，用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面为三角形，且有两条边为圆锥的母线， 由于圆锥母线相等，故所得截面都是全等的等腰三角形，④正确. 故答案为：②④ 6．（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 【题型二】求几何体的表面积时考虑不全致误 7．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌 千克.（结果精确到0.01）      【答案】 【详解】把六棱柱的底面分为六个全等的等边三角形， 每个等边三角形的面积为， 六棱柱的底面积为， 六棱柱的侧面积为， 六棱柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积和六棱柱的部分底面积重合 零件的表面积 电镀10000个零件需锌（千克）． 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海·期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2，则该几何体的表面积 ． 【答案】 【详解】 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 则， ， 设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为， 有，即， 令的中点为，连接，则， 且，，， 于是，解得， 则圆锥的母线长， 圆锥的底面圆面积，侧面积， 三棱柱的表面积为， 所以该几何体的表面积为： . 故答案为： 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单几何体（4知识&15题型&2易错） 【清单01】柱体 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 3.祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 4.柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 5.柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch （c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【清单02】锥体 1.棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形；棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 2.圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边；圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 3.锥体的体积 锥体的体积公式 V＝Sh (S为底面面积，h为高)； 4.锥体表面积与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 【清单03】多面体与旋转体 1、多面体定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 【清单04】球 1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2.球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 4.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 5.球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【题型一】柱体体积的有关计算 【例1-1】（24-25高二上·上海·期中）将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 . 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长为2，高为3，则它的体积为 【例1-3】（24-25高二上·上海崇明·期中）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积、的关系是 . 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 【变式1-2】（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为 . 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 【变式1-4】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    【题型二】锥体体积的有关计算 【例2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【变式2-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    【题型三】台体体积的有关计算 【例3】（24-25高二上·上海·期中）正四棱台的上、下地面分别是边长为1、2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的体积为 . 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台的上下底面面积分别为和，高为2，则它的体积为 ． 【题型四】柱锥球体积综合 【例4-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 【例4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为 . 【题型五】柱体表面积的有关计算 【例5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 . 【例5-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是 . 【例5-3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的轴截面面积为8，则它的侧面积为 . 【变式5-2】（24-25高二上·上海静安·期中）已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为 . 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【题型六】圆锥表面积的有关计算 【例6】（24-25高二上·上海·期中）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为 . 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为 . 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 【题型七】柱锥球表面积与体积综合计算 【例7】（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为 ． 【变式7-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【题型八】圆锥中截面的有关计算 【例8】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 【变式8】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【题型九】球的截面的性质及计算 【例9】（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·上海·期中）若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 【变式9-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【题型十】柱锥台最值问题 【例10-1】（24-25高二上·上海·期中）圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为 . 【例10-2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是 . 【例10-3】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则沿着侧面从点到点的距离最小值是 . 【例10-4】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【例10-5】（24-25高二上·上海·期中）已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为和，高为，将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中（不考虑外包装的厚度），则外包装盒的表面积的最小值为 .    【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【变式10-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 【变式10-3】（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . 【变式10-4】（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【题型十一】多面体与球体内切外接问题 【例11-1】（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【例11-2】（24-25高二上·上海·期中）一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ． 【例11-3】（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【变式11-2】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则 .      【变式11-3】（24-25高二上·上海·期中）设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 【变式11-4】（24-25高二上·上海·期中）空间中有五个球两两外切，它们的半径分别为，则 . 【题型十二】棱柱为背景的解答题 【例12-1】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【例12-2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【例12-3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【变式12-1】（24-25高二上·上海静安·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求三棱锥的体积. 【变式12-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【变式12-3】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【变式12-4】（24-25高二上·上海·期中）长方体中，底面为边长为2的正方形，，点在棱上，且． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)过线段作一个与底面成角大小的截面，求截面的面积． 【变式12-5】（24-25高二上·上海·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【题型十三】圆柱为背景的解答题 【例13】（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 【变式13-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【变式13-2】（24-25高二上·上海静安·期中）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【变式13-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 【题型十四】圆锥为背景的解答题 【例14】（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【变式14】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径、的长为2且，高，点为线段的中点. (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成的角的大小： (3)求直线与平面所成角的大小. 【题型十五】组合图形为背景的解答题 【例15】（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【变式15-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【变式15-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息､避雨､乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体的表面积； (2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，判断该亭子是否满足建筑要求. 【题型一】对简单几何体的结构特征理解不到位致错 1．（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 3．（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 4．（24-25高二上·上海·期中）以下四个命题中，所有真命题的序号为 .①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 5．（23-24高二上·上海静安·期中）以下命题中，所有真命题的序号为 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边； ③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形； 6．（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    【题型二】求几何体的表面积时考虑不全致误 7．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌 千克.（结果精确到0.01）      8．（23-24高二上·上海·期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2，则该几何体的表面积 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $