第10章 空间直线与平面概念清单速记表（知识清单）数学沪教版必修第三册

该高中数学知识清单系统梳理了“空间直线与平面”单元内容，涵盖平面基本性质、线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系及异面直线距离五大知识范畴，搭建从基础概念到位置关系判定再到距离计算的递进式学习支架。 清单采用“概念-定义-相关概念”三级呈现方式构建知识体系，如公理1-3及推论系统梳理平面性质，培养学生的数学思维与空间观念。特别设计“符号表述”和“判定/性质定理对比”，如线面平行判定与性质定理并列呈现，帮助学生精准理解逻辑关系，教师可直接用于复习课知识梳理，学生自主学习时能快速定位重难点，提升学习效率。

第10章 空间直线与平面清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 10.1 平面及其基本性质 空间图形（立体图形） 在三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形，立体几何研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质。 立体几何、三维空间 平面 平面是与点、直线一样从实际生活中抽象出来的数学概念，它没有厚薄并且可以无限延展。 抽象概念、无限延展 平面的表示 平面通常用一个小写希腊字母表示，如平面 、、，有时也可以用一个或多个大写英文字母表示，如平面 、平面 。 希腊字母、大写字母 平面的画法 习惯上用一个平行四边形表示平面：当平面水平放置时，通常把这个平行四边形的锐角画成 45° 左右，且横边长约为邻边长的 2 倍；被平面遮挡的部分要画成虚线。 平行四边形、虚线 点、直线与平面位置关系的集合表示 把空间的直线和平面都看成由点组成的集合：一般用大写字母 、、 等表示点，小写字母 、、 等表示直线，小写希腊字母 、、 等表示平面；点 在直线 上记作 ，点 不在直线 上记作 ，点 在平面 上记作 。 集合语言、符号表示 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。符号表述：若点 ，点 ，则直线 。 公理、直线在平面内 直线与平面相交 如果直线 与平面 只有一个公共点 ，就称直线 与平面 相交于点 ，或称 是直线 与平面 的交点，记作 。 公共点、交点 直线与平面平行 如果直线 与平面 没有公共点，就称直线 与平面 平行，记作 或 。 没有公共点、平行 公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面。这里“确定一个平面”意指“（经过这三个点）有且只有一个平面”或“存在唯一的平面”。 确定平面、存在唯一 公理2的三个推论 推论1：一条直线和这条直线外的一点确定一个平面；推论2：两条相交直线确定一个平面；推论3：两条平行直线确定一个平面。 推论、确定平面 公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表述：若平面 及 有一个公共点 ，则它们有唯一的公共直线 ，且 。 公共直线、交线 两个平面的位置关系 根据公理3，两个平面 和 间的位置关系只有两种：相交于一条公共直线 ，记作 ；或者没有公共点（平行），记作 或 。 相交、平行 斜二测画法 画空间图形的直观图通常采用斜二测画法：在已知图形中取互相垂直的 轴与 轴，画直观图时使 ；已知图形中平行于 轴的线段在直观图中保持平行且长度不变，平行于 轴的线段保持平行且长度取原来的一半。 直观图、立体感 10.2 直线与直线的位置关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：若 ，且 ，则 。公理4表明直线的平行关系在空间同样具有传递性。 平行公理、传递性 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 等角、方向相同 等角定理推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补。 互补、相等 等角定理推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 相交直线、锐角 异面直线 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线，即不存在一个平面，使得这两条直线都在这个平面上。 不共面、位置关系 空间两条直线的位置关系 空间的两条直线有三种不同的位置关系：相交、平行、异面。其中相交与平行的两条直线共面，异面直线不共面且没有公共点。 相交、平行、异面 异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线。判断两条直线是否异面，一般用反证法。 判定定理、反证法 四面体 给定不共面的 4 点，作过其中 3 个点的平面，所有 4 个这样的平面围成的几何体称为四面体；预先给定的 4 个点称为四面体的顶点，2 个顶点的连线称为四面体的棱，3 个顶点所确定的三角形称为四面体的面。 顶点、棱、面 两条异面直线所成的角 两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角，其取值范围是 ，在弧度制下为 。 平移、取值范围 异面直线互相垂直 如果两条异面直线 、 所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直，记作 ；并且若 ，，则 。 垂直、所成角 10.3 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有三种：直线在平面上，有无数个公共点；直线和平面相交，只有一个公共点；直线和平面平行，没有公共点。 三种位置关系、公共点 直线与平面平行的判定定理 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。 线面平行、判定定理 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行。 线面平行、性质定理 直线与平面垂直的定义 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直；直线 与平面 垂直记作 ，此时直线 叫做平面 的垂线（或法线）， 与 的交点叫做垂足。 垂线、法线、垂足 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直。 线面垂直、判定定理 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 线面垂直、性质定理 线面垂直的两个推论 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直；推论2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直。 存在唯一、垂直 点到平面的距离 过平面 外任意给定的一点 有且只有一条直线与 垂直，把点 与垂足 之间的距离叫做点 到平面 的距离。 距离、垂线段 直线到平面的距离 如果一条直线 平行于一个平面 ，那么直线 上任意两点到平面 的距离都相等，把直线 上任意一点到平面 的距离叫做直线 到平面 的距离。 线面距离 斜线与斜足 直线与平面相交但不垂直的位置关系称为斜交，此时的直线称为平面 的斜线，斜线与平面 的交点称为斜足。 斜交、斜线、斜足 斜线在平面上的投影 过斜线 上异于斜足的一点 作平面 的垂线，垂足为 ，连接 （ 为斜足），直线 叫做斜线 在平面 上的投影（也称射影）；平面的一条斜线在平面上的投影与点 的选择无关，是唯一确定的。 投影、射影 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。约定：如果一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是 0° 的角。 线面角、约定 线面角的最小性 斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成的角中最小的角。 最小角、线面角 三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直。 三垂线、充要条件、投影 10.4 平面与平面的位置关系 两个平面的位置关系 两个平面的位置关系只有两种情况：平行或相交。 平行、相交 两个平面平行的判定定理 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 面面平行、判定定理 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 面面平行、性质定理、交线 两个平行平面间的距离 如果平面 ，那么平面 上的任意一点到平面 的距离都相等，把其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离叫做这两个平行平面之间的距离。 面面距离 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；棱为 ，两个面为 、 的二面角记作二面角 。 半平面、棱、面 二面角的平面角 在二面角的棱 上任取一点 ，过 分别在两个面内作棱 的垂线 与 ，射线 与 构成的角 的大小与点 的取法无关，称其为这个二面角的平面角，二面角的大小等于它的平面角的大小。 平面角、垂线 二面角的取值范围 当二面角的两个半平面重合或者构成一个平面时，其平面角等于 0° 或 180°，所以二面角的取值范围是 ；大小等于直角的二面角叫做直二面角。 直二面角、取值范围 平面与平面垂直的定义 当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，就说这两个平面互相垂直；平面 与平面 垂直记作 。 面面垂直、直二面角 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。 面面垂直、判定定理 平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直。 面面垂直、性质定理 10.5 异面直线间的距离 异面直线的公垂线 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的直线与这两条直线都垂直并且相交，这样的直线称为这两条异面直线的公垂线。 存在唯一、垂直相交 两条异面直线的距离 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离。 公垂线段、距离 公垂线段的最短性 两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线上两点的所有线段中的最短线段。 最短线段 异面直线距离的转化方法 求两条异面直线的距离时，可以先过其中一条直线作一个平面平行于另一条直线，把线线间的距离转化为线面间的距离，也可以转化为两个平行平面之间的距离。 转化、线面距离、面面距离 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $