专题01 空间直线与平面、简单几何体（期末复习知识清单，知识+24题型+3易错+3方法）高二数学上学期沪教版必修第三册

专题01 空间直线与平面与简单几何体（20知识&24题型&3易错&3方法清单） 【清单01】水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 【清单02】异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 【清单04】直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 【清单04】直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 【清单05】直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： 【清单06】直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 【清单07】直线与平面垂直的性质定理 （1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）符合语言：， （3）图形语言： 【清单08】直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 【清单09】平面与平面平行的判定定理 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 【清单10】平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 【清单11】平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 【清单12】平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【清单13】二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 【清单14】棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 【清单15】圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 【清单16】棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 【清单17】圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 【清单19】柱体体积 【清单19】锥体体积 【清单20】球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【题型一】平面直观图 【例1】（24-25高一下·上海松江·期末）如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于 ． 【变式1-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为 . 【变式1-2】（22-23高二上·上海闵行·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【题型二】异面直线的判定 【例2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（24-25高一下·上海·期末）已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是 ． 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      【变式2-3】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【题型三】异面直线所成角 【例3】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为 . 【变式3-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为 ． 【变式3-3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型四】根据异面直线所成角求其他量 【例4】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 . 【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·月考）空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则 . 【变式4-3】（23-24高二下·上海·月考）四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长 . 【题型五】直线与平面平行 【例5】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【变式5-1】（23-24高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，已知为的中点. (1)求直三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； (3)求证：平面. 【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【变式5-3】（24-25高二上·安徽·开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 【题型六】直线与平面垂直 【例6】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【变式6-1】（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． (1)证明：平面； (2)求点D到平面PAC的距离． 【变式6-2】（25-26高二上·广西·月考）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)若，，，，求两条异面直线和所成的角. 【变式6-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 【题型七】求直线与平面所成角 【例7】（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【变式7-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【变式7-2】（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示） 【题型八】根据直线与平面所成角求其他量 【例8】（23-24高一下·上海·期末）如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为 ． 【变式8-1】（23-24高二上·上海长宁·期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ． 【变式8-2】（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【变式8-3】（22-23高二上·上海徐汇·期末）在正四棱柱中，对角线，且与底面ABCD所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的大小为 ． 【题型九】平面与平面平行 【例9】（24-25高二上·云南临沧·期中）已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是 填序号 【变式9-1】（25-26高二上·上海·月考）如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【变式9-2】（2025高二上·上海松江·专题练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，．    (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【变式9-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，且平面平面，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【题型十】平面与平面垂直 【例10】（24-25高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面． (1)求证：平面平面； (2)求二面角所成角的余弦值． 【变式10-1】（24-25高二上·广西南宁·月考）如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．    (1)求证：平面平面 (2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值． 【变式10-2】（22-23高二下·上海奉贤·期末）已知在直三棱柱中，是直角.      (1)求证：平面⊥平面； (2)设异面直线与所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为.比较和的大小，并说明理由. 【变式10-3】（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，侧面是正三角形，侧棱长，如图所示． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【题型十一】求二面角 【例11】（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在正四棱锥中，O为底面的中心，，，为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【变式11-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 . 【变式11-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的大小； 【变式11-3】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值. 【题型十二】根据二面角角求其他量 【例12】（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为 【变式12-1】（24-25高一下·上海·期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为 . 【变式12-2】（25-26高二上·上海·期中）点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是 ． 【变式12-3】（24-25高二下·上海·月考）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为 ． 【题型十三】平行，垂直关系综合（小题） 【例13】（23-24高三上·山东·月考）已知两个平面，，及两条直线，，则下列命题错误的是（　　） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，是异面直线，，，，，则 【变式13-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知直线及平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式13-2】（25-26高二上·上海·月考）已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式13-3】（25-26高二上·上海·期中）直线与平面相交，直线，直线，则“”是“、”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【题型十四】平行垂直关系综合（解答题） 【例14】（25-26高二上·上海静安·期中）如图，矩形所在的平面，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，当为多少度时，平面? 【变式14-1】（25-26高二上·上海·期中）在四棱锥中，平面平面， 底面为梯形, ，.    (1)求证：平面； (2)若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行. 【变式14-2】（25-26高二上·贵州·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【变式14-3】（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型十五】棱柱与圆柱结构特征 【例15】（22-23高一下·上海杨浦·期末）下面五个命题： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （3）四个角都是直角的四边形是矩形； （4）有两个侧面是矩形的三棱柱是直三棱柱； （5）有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式15-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式15-2】（25-26高二·上海·假期作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【变式15-3】（24-25高二上·上海·期中）给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 【题型十六】棱柱与圆柱中最短距离问题 【例16】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 【变式16-2】（25-26高二上·上海松江·月考）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【变式16-3】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【题型十七】柱体体积 【例17】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 【变式17-2】（2024·广东·模拟预测）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 【变式17-3】（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    【题型十八】棱柱圆柱表面积 【例18】（24-25高二上·上海·期末）若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【变式18-1】（23-24高二·上海·课堂例题）已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是 ． 【变式18-2】（24-25高二上·上海·单元测试）有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为20cm，则圆柱侧面积的最大值为 ． 【变式18-3】（25-26高二上·上海·期中）上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 【题型十九】棱锥与圆锥结构特征 【例19】（25-26高二上·安徽·月考）下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧棱长一定相等 B．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C．圆柱的母线长与高相等 D．底面是正三角形的棱锥是正棱锥 【变式19-1】（25-26高二上·上海·月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式19-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）有两个棱长均为1的正四棱锥，底面中心分别为、，另有一个棱长为1的正四面体，现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体．对于所有的拼接方式，线段的长度所组成的集合中，共有（　　）个元素 A．1 B．3 C．5 D．7 【变式19-3】（24-25高一下·河南·期末）关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【题型二十】锥体体积 【例20】（25-26高三上·上海松江·期末）在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为 ． 【变式20-1】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为 ． 【变式20-2】（24-25高二下·上海·期末）联结正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为 . 【变式20-3】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，正方体中，四分之一圆柱与四分之一圆柱公共部分是八分之一的“牟合方盖”．已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的体积为 ． 【题型二十一】锥体表面积 【例21】（24-25高二下·上海徐汇·期末）若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 ．（结果保留） 【变式21-1】（24-25高二下·上海·期末）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 . 【变式21-2】（24-25高二下·上海虹口·期末）已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ． 【变式21-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为 .    【题型二十二】多面体与旋转体中的有关计算 【例22】（2025高二上·上海松江·专题练习）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． (1)求几何体的表面积； (2)如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 【变式22-1】（25-26高二上·上海杨浦·期中）若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知是的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若，则该多面体的表面积为 ． 【变式22-2】（25-26高二上·上海·期中）（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 【变式22-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）． (1)应取多少厘米？ (2)制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗） 【题型二十三】球中的截面问题 【例23】（24-25高二下·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【变式23-1】（24-25高一上·上海·期末）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式23-2】（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 【变式23-3】（21-22高一下·上海宝山·期末）在正方体中，棱长为4，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【题型二十四】球的表面积与体积的有关计算 【例24】（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为 ． 【变式24-1】（24-25高二上·上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 【变式24-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【变式24-3】（24-25高三上·山西忻州·月考）将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为 . 【题型一】空间点、线、面位置关系不清致误 【例1】（2023·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【变式1-2】（21-22高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 【变式1-3】（2024·山东青岛·一模）已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型二】忽略线面平行的判定定理的条件 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.    【变式2-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【变式2-2】（2025高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【题型三】忽略线面垂直判定定理的条件 【例3】（25-26高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 【变式3-1】（25-26高二上·上海·月考）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【变式3-3】（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，，，. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角. 【题型一】异面直线所成的角的求解步骤 ①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. ②证明：证明作出的角就是要求的角 ③计算：求角度（常利用三角形的有关知识） ④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就 是所求异面直线所成的角. 【例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.    【变式1-1】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【变式1-2】（24-25高二上·上海·月考）如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【题型二】直线与平面所成角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 【例2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．    (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 【变式2-3】（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在直三棱柱中，，若，    (1)设的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【题型三】二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. 【例3】（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【变式3-1】（25-26高二上·上海·月考）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； (1)证明：直线平面PBC； (2)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．    (1)判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； (2)若四面体是鳖臑，且，求二面角的大小． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间直线与平面与简单几何体（20知识&24题型&3易错&3方法清单） 【清单01】水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 【清单02】异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 【清单04】直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 【清单04】直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 【清单05】直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： 【清单06】直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 【清单07】直线与平面垂直的性质定理 （1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）符合语言：， （3）图形语言： 【清单08】直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 【清单09】平面与平面平行的判定定理 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 【清单10】平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 【清单11】平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 【清单12】平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【清单13】二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 【清单14】棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 【清单15】圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 【清单16】棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 【清单17】圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 【清单19】柱体体积 【清单19】锥体体积 【清单20】球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【题型一】平面直观图 【例1】（24-25高一下·上海松江·期末）如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于 ． 【答案】 【分析】根据已知有是等腰直角三角形且，结合斜二测画法确定原图的相关边长，进而求面积. 【详解】由题设，易知是等腰直角三角形， ， 所以原图中，， 则原图面积为. 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为 . 【答案】 【分析】根据直观图和原图的面积关系可得结果. 【详解】由直观图和原图的面积关系式，可得， . 故答案为：24 【变式1-2】（22-23高二上·上海闵行·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】把直观图还原,可知是直角梯形，利用梯形面积公式可求答案. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形后，得到; 水平方向长度不变，则四边形是直角梯形，． 故答案为：6. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 【详解】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 【题型二】异面直线的判定 【例2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，利用异面直线的定义，依次分析4个命题是否正确，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析4个命题： 因为直线平面，所以、、、不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线时，假设直线取，中只有四条直线、、、与直线异面，故②正确； 若直线为底面对角线时，假设直线取，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线只过底面的一个顶点时，假设直线过点，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线不过底面的任何一个顶点时，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 综上所述，中不可能有2条直线与异面，故①错误； 对于③，当直线取点与线段的中点连线时，中除了、、和之外有8条棱均与直线异面，故③正确； 对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一下·上海·期末）已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是 ． 【答案】相交或异面 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 【变式2-3】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【答案】C 【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C正确. 【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误； 对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形，所以也为的中点， 因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确； 故选：C. 【题型三】异面直线所成角 【例3】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为 . 【答案】或 【分析】设为的中点，连接，结合题设分析易得，（或其补角）为直线与所成的角，（或其补角）为直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 【变式3-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 【答案】或 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，.易证四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成角.在中，根据余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，. ∵点为的中点，点为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角即为异面直线与所成角. 在中，，，， 由余弦定理可知：， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【题型四】根据异面直线所成角求其他量 【例4】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 . 【答案】或 【分析】取的中点，连接、，即可得到为异面直线与所成的角或其补角，即或，再利用余弦定理计算可得. 【详解】取的中点，连接、， 、分别为、的中点，且， 同理可得且， 为异面直线与所成的角或其补角，则或. 在中，，， 若，由余弦定理可得 ； 若，由余弦定理可得 ； 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意易知的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·月考）空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则 . 【答案】或. 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成角为或其补角，分、两种情况讨论，结合余弦定理可求得线段的长. 【详解】取线段的中点，连接、，    在四面体中，，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，由余弦定理可得 . 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式4-3】（23-24高二下·上海·月考）四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长 . 【答案】4 【分析】利用三角形的中位线定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理的推论即可求解. 【详解】取的中点，连、，如图所示 是的中点， 故为异面直线与所成角， 设，则, 因为，异面直线与所成的角的大小为， 所以由余弦定理,得,解得， 所以线段的长为4． 故答案为：. 【题型五】直线与平面平行 【例5】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，2 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.    【变式5-1】（23-24高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，已知为的中点. (1)求直三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； (3)求证：平面. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）计算出侧面积及上下底面积相加即可； （2）取的中点,连接，所以(或其补角）是异面直线与所成角，利用余弦定理求解即可； （3）连接,交于点,连接，，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）直三棱柱中， 因为， 所以, 则其表面积为 . （2）取的中点,连接,    由是平行四边形知, 所以(或其补角）是异面直线与所成角， 在中， , , , 则, 所以异面直线与所成角所成角的大小为. （3）连接,交于点, 连接，因为四边形为矩形，    所以为的中点， 又因为为的中点，所以, 又因为平面, 平面, 所以平面. 【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】构造辅助线，取的中点，通过证明，结合线面平行判定定理即可证得平面 【详解】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【变式5-3】（24-25高二上·安徽·开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 【题型六】直线与平面垂直 【例6】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，利用勾股定理有，即，最后由线面垂直的判定定理即可得证； （2）将四棱锥放到长方体中，即证，，即为异面直线与所成的角或其补角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又四边形是矩形，，所以，又， 所以，所以，又平面， 所以平面； （2）将四棱锥放到长方体中，如图： 取的中点为，连接，由， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，所以，又， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 又由，所以， 所以，所以， 所以, 由余弦定理有， 所以异面直线与所成的角为. 【变式6-1】（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． (1)证明：平面； (2)求点D到平面PAC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，证明是平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）应用等体积法计算得出点到平面距离. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以，， 因为分别是中点，得出，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； （2），， 平面，平面，则，， ，， 设点D到平面PAC的距离为，由，得， 即，得. 所以点D到平面PAC的距离为. 【变式6-2】（25-26高二上·广西·月考）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)若，，，，求两条异面直线和所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先应用线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出； （2）应用线线平行得出是异面直线和所成的角或其补角，再应用边长得出角即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以.        因为，， 所以.             又，平面， 所以平面； （2）取中点，连接和. 因为，，所以为等腰直角三角形. 由，可知，，. 故为等腰直角三角形. 于是有，则， 所以是异面直线和所成的角或其补角，     由勾股定理易知，所以，     即异面直线和所成的角为. 【变式6-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）先证明平明，从而得到为直线与平面所成角，再在中求解即可. 【详解】（1）由题意知，所以， 又因为，所以，所以； 又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又在平面内， 所以直线； （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平明，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，因为， 所以 所以直线与平面所成角的大小为. 【题型七】求直线与平面所成角 【例7】（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    【变式7-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连结交于，连接，推导出，利用线面平行判定定理证明平面； （2）根据，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求． 【详解】（1） 连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为1的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 底面，∴为直线与平面所成的角， ∵，∴， ∴直线与平面所成的角等于. 【变式7-2】（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，则为与平面所成的角，求出各边长，利用得到答案. 【详解】（1）点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； （2）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由得到，根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定、性质可证； （2）设相交于一点，连接，易知是直线与平面所成的角，进而求出角的大小. 【详解】（1）由题设，且， 故， 所以，故. 因为 底面，底面，所以， 因为，且面， 所以平面， 又平面， 则， （2）设相交于一点，连接，由（1）知：平面， 所以是直线与平面所成的角， ，则， 因为四棱锥的体积为，底面， 所以，所以， ,, 所以 ， 所以所求线面角的大小为. 【题型八】根据直线与平面所成角求其他量 【例8】（23-24高一下·上海·期末）如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】arccos 【分析】根据与平面所成角为计算出，然后把平移至，则为异面直线与所成的角，最后用余弦定理计算即可. 【详解】如图，连接， 因为平面，所以为与平面所成的角，即， 所以，因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，为异面直线与所成的角， 因为，， 所以，所以. 故答案为： 【变式8-1】（23-24高二上·上海长宁·期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，作出图形，求出正的高即可计算得解. 【详解】令正的中心为，连接，由平面，得是直线与底面所成的角， 即，而平面，则有，， 因此正边上的高， 所以正的边长为. 故答案为： 【变式8-2】（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行，结合中点即可求证， （2）根据线面角的几何法求解即为直线BE与平面PAD所成角，故，即可理由三角形的边角关系求解. 【详解】（1）过作交于，连接, 由于,所以, 因此平面即为平面， 由于为的中点，所以为中点，    （2）由于四边形为菱形，且，， 所以, 取中点，连接, 由于平面，平面，所以, 又平面, 所以平面, 故即为直线与平面所成角，故， 故，因此    【变式8-3】（22-23高二上·上海徐汇·期末）在正四棱柱中，对角线，且与底面ABCD所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据平面，可得即为与底面ABCD所成角的平面角，由此可求得，从而可求得正棱柱的棱长，再根据，可得即为异面直线与所成角的平面角，再解即可. 【详解】如图，在正四棱柱中， 因为平面， 所以即为与底面ABCD所成角的平面角， 则，解得， 所以，所以， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，， 所以， 所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 【题型九】平面与平面平行 【例9】（24-25高二上·云南临沧·期中）已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是 填序号 【答案】①② 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】①，，由平行公理得出，故①正确； ②，，由面面平行的性质得出，故②正确； ③，或，故③错误； ④，或，故④错误． 故答案为：． 【变式9-1】（25-26高二上·上海·月考）如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）由线段的比例关系先证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理得到平面和平面，然后由面面平行的判定定理可得； （2）由线面平行的性质定理得到，再由比例关系可得. 【详解】（1）    连接， 在中，因为， 所以，且， 又因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，因为，所以， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又犹豫，且平面， 所以平面平面ACP. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以，又因为，所以， 所以. 【变式9-2】（2025高二上·上海松江·专题练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，．    (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行、面面平行的判定定理可得答案； （2）利用等体积转化可得答案． 【详解】（1）连接，因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面； （2）因为，， ，可得是等边三角形， 所以， ， 设点A到平面的距离为， 由得，， 解得，所以点A到平面的距离为.    【变式9-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，且平面平面，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，即可根据线面平行求证面面平行， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而得线线垂直，即可根据线面垂直的判定求证平面，即可求解， （3）根据线面垂直可得为直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，，∵平面，平面，∴平面， 同理，平面，∵，平面， ∴平面平面； （2）证明：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴， ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， ∵平面，∴，∵，∴， 又∵，，平面,故平面， ∵平面，∴； （3）过点作交的延长线于点，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，平面,∴平面，因此为直线与平面所成的角， ∵，，∴，， ∴，所以直线与平面所成角的正弦值为 【题型十】平面与平面垂直 【例10】（24-25高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面． (1)求证：平面平面； (2)求二面角所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用勾股定理得出线线垂直，再应用线面垂直得出平面，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用二面角定义结合线面垂直得出二面角所成角的平面角为，再计算边长求解. 【详解】（1）由底面是直角梯形，， 结合勾股定理计算可得：， 在直角梯形中， 则，所以， 又因为平面平面，所以， 且，且平面， 所以平面平面， 所以平面平面． （2）∵平面平面，又∵， ∴为二面角的平面角． 在Rt中，， 【变式10-1】（24-25高二上·广西南宁·月考）如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．    (1)求证：平面平面 (2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）将问题转化为证明平面，利用已知，结合勾股定理即可得证； （2）利用（1）中结论判断线面角，结合直角三角形性质将所求转化为即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 由题知，，，所以，又 由余弦定理得， 所以，， 即，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为， 故直线EC与平面PAC所成角即为. 因为，所以， 所以，又因为E为PD的中点，所以， 所以，所以. 【变式10-2】（22-23高二下·上海奉贤·期末）已知在直三棱柱中，是直角.      (1)求证：平面⊥平面； (2)设异面直线与所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为.比较和的大小，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理分析证明； （2）根据异面直线夹角、线面夹角的定义分析求解. 【详解】（1）因为平面，平面，， 又因为，，平面， 可得平面，平面， 所以平面⊥平面. （2）因为，且，即为锐角， 所以异面直线与所成的角，且， 连接，由（1）可知：，， 且，平面，可得平面， 又因为，则平面， 所以直线A1C与平面BB1C1C所成的角，且， 又因为，则，即， 且在内单调递增，所以.     .     【变式10-3】（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，侧面是正三角形，侧棱长，如图所示． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的边角关系，可得线线垂直，进而可得线面垂直，由线面垂直即可得面面垂直， （2）根据面面垂直得性质可得线面垂直，即可由线面角的几何法结合三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点F，连接、、， 在直角梯形中，， 所以 又，, 又是边长为2的正三角形，所以，， 所以，则． 由题意知，，且，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）过D作交于H， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线与平面所成角， 设点D到平面的距离为d， 由于, 则， 连接，在中，因为，， 由余弦定理可得． 又为直角三角形，于是， 设直线与平面所成角为，则， 又，所以．   .   【题型十一】求二面角 【例11】（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在正四棱锥中，O为底面的中心，，，为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）连接，证得和，得到是二面角的平面角，再证得平面，得到，在等腰直角中，即可求解. 【详解】（1）证明：由四棱锥为正棱锥，且O为底面的中心，可得底面， 因为底面，所以， 又因为四边形为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）解：连接，因为平面，平面，所以， 又因为，所以是二面角的平面角， 由，可得，为的中点，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，为的中点，可得， 在等腰直角中，可得，所以二面角的大小为. 【变式11-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出二面角大小. 【详解】在堑堵中，平面，平面，则， 而，平面，因此平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 在中，，则. 故答案为： 【变式11-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）根据二面角的定义可得就是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于，故, 由于是正三角形，故, 平面， 故平面，平面, 故 （2）作于，作交于， 则就是二面角的平面角， 因为， ∵是的中点，则，，， 由余弦定理可求得， ∴二面角的余弦值为． 【变式11-3】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，又，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，确定为所求的平面角，解三角形即可. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面是正方形，所以，又因为平面平面， 且平面平面平面，所以平面， 又平面，所以. 由，平面， 所以平面； （2）如图，取的中点的中点， 连接， 因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，且平面平面平面，所以平面平面，故， 由题意可知平面， 故平面，又平面，故， 故为平面PCD与面所成二面角的平面角， 设，则. 综上所述：侧面PCD与底面所成二面角的正切值为. 【题型十二】根据二面角角求其他量 【例12】（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为 【答案】2 【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到的长度. 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 平面， 可得平面，所以平面 而平面，所以 在中，有勾股定理可得 故答案为：2 【变式12-1】（24-25高一下·上海·期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为 . 【答案】 【分析】画出简图，结合二面角的定义及三角函数关系即可求解. 【详解】 如图所示：二面角为，点，点在平面内的射影点为，过点在平面内作，垂足为点，连接. 因为，，所以， 因为，，，平面，平面，所以平面. 因为平面，，所以即为二面角的平面角，所以. 在中，. 所以这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 【变式12-2】（25-26高二上·上海·期中）点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是 ． 【答案】 【分析】过点作，，垂足分别为，，连接，可证明，可得是锐二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】如图，过点作，，垂足分别为，，连接， 因为，所以，而平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是锐二面角的平面角， 在直角三角形中，，则. 故答案为：. 【变式12-3】（24-25高二下·上海·月考）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，作图，通过异面直线所成角的性质，找到异面直线与所成角为，然后，利用余弦定理和中位线性质，分别求出和，进而得到所求角的正切值. 【详解】如图， 过作，为的中点，连接， 异面直线与所成角为，设， ，，， 又，，又，且， 平面，， 在正方形中，设边长，，，， ， . 故答案为： 【题型十三】平行，垂直关系综合（小题） 【例13】（23-24高三上·山东·月考）已知两个平面，，及两条直线，，则下列命题错误的是（　　） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，是异面直线，，，，，则 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理判断A，根据线面垂直的性质判断B，根据面面的位置关系判断C，根据面面平行的判定定理及异面直线的概念判断D. 【详解】对于A，若，根据面面垂直的性质定理可得，A正确； 对于B，若，，则，又，则，B正确； 对于C，若，则与可以相交或平行，C错误； 对于D，因为，所以存在直线，因为是异面直线， 所以与'相交，因为，所以，又因为， 所以，D正确. 故选：C 【变式13-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知直线及平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间中线面位置的判定和性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】对于A，由，得存在，使得，而， 所以，即，故A正确； 对于B，若，，则可能平行，与相交，，故B错误； 对于C，若，，则与平行，相交或异面，故C错误； 对于D，若，，则与平行或异面，故D错误. 故选：A. 【变式13-2】（25-26高二上·上海·月考）已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当，，则或，所以充分性不成立； 反之：若，，则必有，所以必要性成立， 所以是的必要不充分的条件. 故选：B. 【变式13-3】（25-26高二上·上海·期中）直线与平面相交，直线，直线，则“”是“、”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理、性质，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，若，，，可得，， 若、，，，不一定能得到， 比如时，就不一定能得到， 所以“”是“、”的充分非必要条件. 故选：A 【题型十四】平行垂直关系综合（解答题） 【例14】（25-26高二上·上海静安·期中）如图，矩形所在的平面，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，当为多少度时，平面? 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用几何关系得，再利用线面平行的判定，即可求解； （2）利用线面角的定义，知即为与平面所成的角，从而时，，进而可得，再由线面垂直的性质和线面垂直的判定得，再由线面垂直的判定，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为是的中点，所以且， 又因为且，， 所以且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面.    （2）时，平面，证明如下， 因为平面，所以即为与平面所成的角， 当时，则，所以， 又由（1）知，所以， 因为平面，平面，所以， 又∵，，平面， ∴平面，∵平面，∴，∴， 又平面， 所以平面. 【变式14-1】（25-26高二上·上海·期中）在四棱锥中，平面平面， 底面为梯形, ，.    (1)求证：平面； (2)若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）在平面中过点D作，交于H，利用面面垂直的性质可证平面，进而利用线面垂直的性质可证，再根据线面垂直的判定定理即可证明平面． （2）法一：假设存在棱上点F，使得，连接，取其中点N，有，即可证明与重合，即就是，由与相交，矛盾，即可问题得证．法二：假设存在棱上点F，使得，显然F与点C不同，可得P，M，F，C四点在同一个平面α中，即，α就是点A，B，C确定的平面，且，这与为四棱锥矛盾，即可得出假设错误，问题得证． 【详解】（1）    在平面中过点作，交于， 因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，， 所以平面； （2）法一：    假设存在棱上点，使得， 连接，取其中点， 在中，因为分别为的中点，所以， 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合， 所以点在线段上，所以是，的交点， 即就是， 而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 ； 法二： 假设存在棱上点，使得，显然与点不同， 所以四点在同一个平面中， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以就是点确定的平面 ，且 ， 这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证. 【变式14-2】（25-26高二上·贵州·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 【变式14-3】（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由四边形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则； （2）在上取点Q，使得，设，连接，，可证得或其补角为异面直线BD与PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可； （3）设，连接，则由线面平行的性质可得，从而可找出点的位置. 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为，所以， 在中，，所以， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ． 【题型十五】棱柱与圆柱结构特征 【例15】（22-23高一下·上海杨浦·期末）下面五个命题： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （3）四个角都是直角的四边形是矩形； （4）有两个侧面是矩形的三棱柱是直三棱柱； （5）有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】空间四边形也可以满足两组对边分别相等，故（1）错误； 四边形一组对边平行可知，则由公理可知四边形共面，故（2）正确； 对四边形为平面四边形时和空间四边形进行讨论，可以判断（3）正确； 根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，故（4）正确； 若侧棱与底面两条平行的两边垂直，有两个侧面均是矩形，此时的棱柱不一定是直棱柱，故（5）错误. 【详解】空间四边形也可以满足两组对边分别相等，故（1）错误； 四边形一组对边平行可知，则由公理可知四边形共面，四边形为平面四边形，由平行四边形判定定理可知：两组对边分别平行的平面四边形是平行四边形，故（2）正确； 当四边形为平面四边形时，根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形； 当四边形为空间四边形时，假设存在四个角都是直角的空间四边形， 则为，的公垂线， 为，的公垂线, 这与公垂线的性质矛盾，故不存在四个角都是直角的空间四边形， 故命题（3）正确； 对有两个侧面是矩形的三棱柱，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，故（4）正确； 若侧棱与底面两条平行的两边垂直，有两个侧面均是矩形，此时的棱柱不一定是直棱柱，故（5）错误. 故选：C. 【变式15-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】（1）（2）（3）（4）均可举出反例. 【详解】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 【变式15-2】（25-26高二·上海·假期作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 【变式15-3】（24-25高二上·上海·期中）给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 【答案】C 【分析】举例说明即可判断命题；根据线面垂直的性质和三垂线定理即可判断命题. 【详解】对于命题：如图即为反例，故命题为假命题；    对于命题：如图所示，在该棱锥中，底面. 在底面中，，，….    根据三垂线定理，则所有侧面都是直角三角形，即命题为真命题. 故选：C 【题型十六】棱柱与圆柱中最短距离问题 【例16】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 【变式16-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱柱侧面展开，转化为两点之间的距离求解. 【详解】将正三棱柱沿展开两次，得下图： 最短路线即为大矩形的对角线的长，为. 故选：B 【变式16-2】（25-26高二上·上海松江·月考）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】    当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 【变式16-3】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕翻折至与共面，当共线时，最小，再由余弦定理求解即可. 【详解】连接，如图， 由正方体的性质可得为等腰直角三角形，故， 为直角三角形，， 将图中绕翻折至与共面，如图， 所以由图可知，共线时，最小， 此时， 由余弦定理可知， 所以最小值为. 故选：B 【题型十七】柱体体积 【例17】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用补形法，补成一个三棱柱，利用柱体的体积公式计算即可. 【详解】    如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合； 因为，所以，又， 则，从而， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又，所以平面平面， 所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4， 不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直）， 所以， 此时三棱柱的高，， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于侧棱之间的距离为定值，而侧棱与底面所成角不是定值，所以可以取侧棱垂直于底面的特殊情况，这仍满足题意；此时补形后的三棱柱的高为侧棱长，进而根据柱体的体积公式计算即可. 【变式17-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 【答案】 【分析】根据直棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 【变式17-2】（2024·广东·模拟预测）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 【答案】 【分析】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，求出圆柱的体积即可得答案. 【详解】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱， 则圆柱底面半径为，高为， 体积为， 则该几何体的体积为圆柱体积的一半， 即. 故答案为： 【变式17-3】（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值． 【详解】设，， 则，，， 且到平面的距离为， ，， ，， ， 又， ，， ，，， . 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值. 【题型十八】棱柱圆柱表面积 【例18】（24-25高二上·上海·期末）若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为2， 所以圆柱的侧面积. 故答案为： 【变式18-1】（23-24高二·上海·课堂例题）已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由棱柱侧面积公式，计算可得答案. 【详解】根据题意，该四棱柱的侧面积都是矩形，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则其侧面积为； 故答案为： 【变式18-2】（24-25高二上·上海·单元测试）有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为20cm，则圆柱侧面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将圆柱侧面展开可知铁丝长度的最小值等于直角边分别为h，的直角三角形的斜边长，然后通过基本不等式及圆柱侧面积公式即得. 【详解】若铁丝长度的最小值为20cm，则， 所以，所以侧面积为， 所以圆柱侧面积的最大值为． 故答案为: 【变式18-3】（25-26高二上·上海·期中）上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 【答案】(1)克； (2)2罐. 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助材料的密度求出材料的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而该3D打印材料的密度为1.3， 所以打印一件这样的零件需要克材料. 答：需要847克材料. （2）此零件的表面积为（）， 则需要购买每罐300克的喷漆共，显然，所以需要两罐. 答：需要2罐. 【题型十九】棱锥与圆锥结构特征 【例19】（25-26高二上·安徽·月考）下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧棱长一定相等 B．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C．圆柱的母线长与高相等 D．底面是正三角形的棱锥是正棱锥 【答案】D 【分析】根据棱柱、直棱柱、圆柱及圆锥的定义逐项判断即可. 【详解】选项A:由棱柱的定义知，棱柱的侧棱长一定相等，故选项A说法正确； 选项B:由直棱柱的定义知，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故选项B说法正确； 选项C:由圆柱的定义知，圆柱的母线长与高相等，故选项C说法正确； 选项D:若一个棱锥的底面为正三角形，但其顶点在底面的投影不在正三角形的中心处，则该棱锥不是正棱锥，故选项D说法错误. 故选：D. 【变式19-1】（25-26高二上·上海·月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】每个顶点对应个鳖臑，所以个顶点对应个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除以，即可得解. 【详解】在长方体中， 当顶点为时，三棱锥、、、、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：B． 【变式19-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）有两个棱长均为1的正四棱锥，底面中心分别为、，另有一个棱长为1的正四面体，现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体．对于所有的拼接方式，线段的长度所组成的集合中，共有（　　）个元素 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知，利用补形法，将四面体补成正方体，分析点的可能位置，即可得结果. 【详解】如图所示： 在正四棱锥中，， 则， ， 即全等，则， 将四面体补成正方体，如图所示： 可知点的可能位置为，且， 所以线段长度的集合有1个元素. 故选：A. 【变式19-3】（24-25高一下·河南·期末）关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 【题型二十】锥体体积 【例20】（25-26高三上·上海松江·期末）在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】过作于，连接，利用余弦定理与勾股定理可证得，结合线面垂直判定定理得平面，则用等体积法即可得此三棱锥的体积. 【详解】如下图：过作于，连接，    因为，所以，， 在中，由余弦定理得：， 则，于是，故， 又平面，所以平面， 故此三棱锥的体积为. 故答案为：. 【变式20-1】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可. 【详解】设点到平面的距离为，四边形的面积为， 显然有， 所以， 因此剩余部分几何体的体积为. 故答案为： 【变式20-2】（24-25高二下·上海·期末）联结正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为 . 【答案】 【分析】设正方体的边长为1，则根据题意正八面体是由两个全等的底面为正方形的四棱锥构成，再结合题意计算即可得答案. 【详解】    根据题意得，正八面体是由两个全等的底面为正方形的四棱锥构成， 设正方体的边长为，则四棱锥的底面边长为， 所以正八面体的体积为：，正方体的体积为：， 所以正八面体的体积和正方体的体积之比为：. 故答案为：. 【变式20-3】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，正方体中，四分之一圆柱与四分之一圆柱公共部分是八分之一的“牟合方盖”．已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的体积为 ． 【答案】 【分析】关键点在于构造底面边长和高均为2的直四棱锥，根据祖暅原理，八分之一“牟合方盖”的体积等于正方体的体积减去该四棱锥的体积，即可求得结果. 【详解】如图，设，边长为，截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形. 易知，连接. 由点在以为圆心，为半径的圆弧上，得. 在中，由勾股定理得， 故所求正方形的面积为. 所以用平行于底面的任意一个平面截八分之一“牟合方盖”， 所得截面面积是，， 所以可以构造底面边长为，高为的直四棱锥，对于直四棱锥， 当用过点的截面截该四棱锥时，截面面积为. 根据祖暅原理，八分之一“牟合方盖”的体积等于正方体的体积减去该四棱锥的体积， 故所求体积为. 故答案为：. 【题型二十一】锥体表面积 【例21】（24-25高二下·上海徐汇·期末）若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面积计算公式求解即可. 【详解】底面半径为1，则底面周长，侧面展开图的面积为， 故答案为：. 【变式21-1】（24-25高二下·上海·期末）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面为等腰直角三角形，求出，由圆锥侧面积公式得解． 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r， 已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形， 所以，即， 又因为圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 【变式21-2】（24-25高二下·上海虹口·期末）已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据侧面积公式解弧长公式计算求出底面半径，再应用圆锥的表面积公式计算求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为 所以该圆锥的表面积为 故答案为：. 【变式21-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为 .    【答案】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为r，由题可得，可得，进而可求表面积. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，解得， 所以圆锥的表面积为 故答案为：. 【题型二十二】多面体与旋转体中的有关计算 【例22】（2025高二上·上海松江·专题练习）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． (1)求几何体的表面积； (2)如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 【答案】(1) (2)不满足建筑要求 【分析】（1）由几何体的表面积等于圆锥的全面积加上圆柱的侧面积即得； （2）取中点，连接，得，从而得是异面直线与所成的角或其补角，作交于，计算出，然后由余弦定理求解. 【详解】（1）由已知圆锥的母线长为， 几何体的表面积等于圆锥的全面积加上圆柱的侧面积. 所以所求表面积为. （2）取中点，连接，因为是中点，所以， 是圆柱的一条母线，则，     所以是异面直线与所成的角或其补角， 作交于，则是中点，且平面， 又平面，所以， 由（1）知，，则， 又，，，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， 即，且为锐角， 所以，该亭子不满足建筑要求. 【变式22-1】（25-26高二上·上海杨浦·期中）若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知是的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若，则该多面体的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据所给图象观察可知多面体为正二十面体，根据矩形为黄金矩形可得正多面体每个三角形面的边长，利用正三角形面积公式求解即可. 【详解】由图可得：该多面体上部分有5个面，对应的下部分也有5个面，中间部分的前半部有5个面，对应的后半部分也有5个面， 所以该多面体为正二十面体. ∵，若，则， ∵该多面体为正二十面体，∴每面为正三角形，其边长为， ∴. 故答案为：. 【变式22-2】（25-26高二上·上海·期中）（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 【答案】（1）证明见解析 ；（2），；（3） ． 【分析】（1）补形得出圆台体积等于圆锥体积的差计算证明； （2）应用圆台，圆柱，圆锥的体积计算求解； （3）应用圆台，圆柱，圆锥的侧面积计算求解. 【详解】（1）补形成圆锥，圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥的体积，大圆锥高为，小圆锥高为， 大圆锥体积减去小圆锥体积为 由圆锥性质，， 由合比性质，， 表示， 所以， ． （2） 该旋转体体积等于两个圆台体积加一个圆柱体积减去两个圆锥体积． 圆台， 圆锥， 圆柱， 所求几何体的体积． （3）该旋转体的表面积等于两圆台侧面积加一个圆柱侧面积加两个圆锥侧面积， 圆台侧 圆柱侧 圆锥 所求几何体的表面积. 【变式22-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）． (1)应取多少厘米？ (2)制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的长度等于的周长可计算出的半径，再根据几何关系可计算出的长度； （2）根据条件先计算出上下底面的半径和母线长度，然后计算出下底面面积和侧面积，则结果可知. 【详解】（1）连接并延长交于点，过点作交于点， 因为，所以的长度为，所以的周长为， 所以，所以， 在中，，所以， 所以， 所以应取厘米. （2）设圆台上、下底面的半径分别为，母线长为， 因为，所以的长度为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以需要的铁皮为：平方厘米， 故需要平方厘米的铁皮. 【题型二十三】球中的截面问题 【例23】（24-25高二下·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面； 当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面； 当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面； 由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 【变式23-1】（24-25高一上·上海·期末）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，利用平面的性质可得过的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 【变式23-2】（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】 【分析】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 【变式23-3】（21-22高一下·上海宝山·期末）在正方体中，棱长为4，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】延长，分别交与的延长线于，可得截面过、、，再根据直线与面面相交的性质，分别确定截面与各棱的交点位置，进而确定截面的形状即可. 【详解】因为，故为的中点.又为正方体，故可延长，分别交与的延长线于，设直线分别交于，易得过点、、的面即平面. 因为为中点，且，故，，，所以，故，即.又，故.又为的中点，同理可得，故，所以，，故在线段内. 连接交于，综上可知点、、截正方体的截面为五边形. 故选：C 【题型二十四】球的表面积与体积的有关计算 【例24】（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为 ． 【答案】 【分析】根据鳖臑的性质结合线面垂直的判定定理与性质得线线垂直，设的中点为，从而可得点为四面体外接球的球心，结合球的几何性质确定球心到平面的距离得截面圆的半径，即可得所求. 【详解】设的中点为，连接， 因为鳖臑的四个面都是直角三角形， 且，故． 因为，，，故． 又，，故． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，，平面， 平面， 又平面，所以， 和都是以平面为斜边的直角三角形． 由于为的中点，则点为四面体外接球的球心， 外接球的半径，且点到平面的距离为， 的外接圆半径， 平面截四面体的外接球的截面的面积为． 故答案为：． 【变式24-1】（24-25高二上·上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 【答案】 【分析】由条件，三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，所以将三棱锥补成正方体，正方体的外接球即为三棱锥的外接球，进而求得半径即可求解. 【详解】 由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点， 将三棱锥补成正方体，棱长为1， 则该正方体的外接球的直径为， 即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为， 则球O的表面积为. 故答案为：. 【变式24-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【答案】 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，    由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 【变式24-3】（24-25高三上·山西忻州·月考）将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为 . 【答案】 【分析】根据题意关系可得，再结合侧面积公式运算求解即可. 【详解】设球的半径为， 由题意可知：，解得， 所以该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为. 故答案为：. 【题型一】空间点、线、面位置关系不清致误 【例1】（2023·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【答案】 【分析】由点线面的位置关系判断即可. 【详解】点直线，且直线平面，则， 故答案为： 【变式1-2】（21-22高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论. 【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或. 故答案为：或. 【变式1-3】（2024·山东青岛·一模）已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用线面平行的判定定理即可求解. 【详解】由， 由，则或与异面， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：A. 【题型二】忽略线面平行的判定定理的条件 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.    【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判断进行证明即可． 【详解】在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线平面. 【变式2-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，2 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.    【变式2-2】（2025高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行从而得到线面平行，即证明. （2）先根据垂直关系，作出辅助线，找出与平面所成的角，然后根据线段关系求出该角的三角函数，进而求得该角的值. 【详解】（1）连接交于，连接.如图：    因为底面是菱形，所以为的中点，又为的中点， 则，又平面，平面，则平面. （2）如图：    作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，，则. 【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】构造辅助线，取的中点，通过证明，结合线面平行判定定理即可证得平面 【详解】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【题型三】忽略线面垂直判定定理的条件 【例3】（25-26高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定以及等腰三角形的性质，可得线线垂直，再根据线面垂直的判定，可得答案. （2）利用等体积法，根据三棱锥的体积计算，结合线面垂直的性质与判定，可得答案. 【详解】（1）证明：因为底面底面ABCD，所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，所以平面PCD， 因为平面PCD，所以. 在中，是PC的中点，则， 因为，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为， 所以平面DEF，因为平面DEF， 所以. （2）连接AC交BD于点，如图所示： 则，又底面平面ABCD，得， 而，则平面PDB， 所以点到平面PDB的距离为， 因为是PC的中点，所以， ， 所以，所以， 因为，四边形ABCD为正方形， 所以， 因为，所以，则， 设点到平面BDE的距离为，则，所以，解得. 【变式3-1】（25-26高二上·上海·月考）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）设和交于点，连接，即可得到，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 且， ， 又， 直线与平面所成角的大小. 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，； （2）根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行，即先证明平面. 【详解】（1）平面，且平面 又，，平面，故平面. （2）且平面，不在平面上，平面， 又平面，平面平面， ，且，. 【变式3-3】（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，，，. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意有直棱柱的棱长均为2，由等边三角形性质、线面垂直性质有、，再由线面垂直的性质证结论； （2）证，转化为求与所成角，利用余弦定理、反三角函数求角的大小. 【详解】（1）由题意，易知直棱柱的棱长均为2，即为等边三角形，是中点， 所以，又面，面，则， 所以都在面内，故面，而， 所以面，面，可得. （2）由分别是，的中点，则，又， 所以为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为与所成角， 由题意，有， 所以，在中. 所以与所成角为，故异面直线与所成角为. 【题型一】异面直线所成的角的求解步骤 ①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. ②证明：证明作出的角就是要求的角 ③计算：求角度（常利用三角形的有关知识） ④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就 是所求异面直线所成的角. 【例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】取中点，连接，根据已知及异面直线所成角的定义，应用余弦定理求角的大小. 【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角，    由，则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为. 【变式1-1】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小. （2）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】（1）根据正方体的性质可知 是异面直线与所成的角或其补角 分别是的中点 是等腰直角三角形 即异面直线与所成角的大小为 （2），平面 平面 平面 平面 平面平面 即 点在直线上 【变式1-2】（24-25高二上·上海·月考）如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角），结合长度关系运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：分别为的中点，则∥， 且平面PAC，平面PAC，所以直线∥平面PAC. （2）连接， 由（1）可知∥， 则异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角）， 由题意可知：， 则，即，可得， 所以异面直线PO与AB所成角的大小为. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】在上取一点，使得，可得为异面直线与所成角或其补角，设出边长可得，即可求解. 【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 【题型二】直线与平面所成角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 【例2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理找线线平行，再结合线面平行的判定定理证明即可． （2）先确定线面角的平面角，再通过解直角三角形，利用三角函数定义求解即可． 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为正方形，则点为的中点， 由已知点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）由已知平面，四边形为正方形，且， 又由（1）可知，所以平面，点为垂足， 所以为直角三角形，即为直线与平面所成角的平面角． 因为，，， 所以， 所以，则． 综上，直线与平面所成角的大小为． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明，由此可完成证明； （2）先证明平面，然后可知直线与平面所成角即为，利用线段长度结合正切值计算出结果； 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 由，，可知. （2）因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为； 因为，所以， 因为，所以， 在中，，所以， 所以直线与平面所成角的大小为. 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．    (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先假设是垂心，得出，结合条件推出，这与已知矛盾，从而可得不是的垂心； （2）由平面，可得为所求的与平面所成角大小，利用解三角形知识计算即得答案. 【详解】（1）如图：假设是的垂心，则：， 又因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面， 所以，又因为底面， 所以，又平面， 所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾， 所以不是的垂心. （2）因为平面， 所以为所求的与平面所成角大小， 取中点，连结， 不妨设，则：， 因为平面，所以：， 又因为底面，所以， 所以在三角形中，有， 所以，所以，又， 所以， 所以与平面所成角大小为.    【变式2-3】（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在直三棱柱中，，若，    (1)设的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直； （2）由（1）易知即为求直线与平面所成的角，结合勾股定理及直角三角形性质可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，，    由已知为直三棱柱，即平面， 且平面，则， 由，则且，，平面， 平面； （2）由（1）知平面，连结， 即为与平面所成的角， 在中， 由，得，， ， 所以，所以， 即与平面所成的角为. 【题型三】二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. 【例3】（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，， 由可得，，所以. 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 【变式3-1】（25-26高二上·上海·月考）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可证，，进而证明平面，即可得面面垂直； （2）分析可知是二面角的平面角，结合长度关系运算求解. 【详解】（1）如图所示，连接，    因为是菱形且知，则是等边三角形， 且是的中点，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：平面，平面，则. 且，可知是二面角的平面角， 在中，，， 故二面角的大小为. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； (1)证明：直线平面PBC； (2)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先确定为二面角的平面角，再研究的面积何时最大，即可求的大小. 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. 因为平面，所以. 又为在上的投影，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. 平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值. 所以，当时取等号. 所以，当时取等号. 此时为等腰直角三角形，所以. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．    (1)判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； (2)若四面体是鳖臑，且，求二面角的大小． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，即可得证，进而可知四面体是鳖臑，由此得出结论； （2）根据题意求出三角形及三角形的面积，由射影法即可求得二面角的大小． 【详解】（1）四面体为鳖臑，理由如下： 平面，平面， ， ，是棱的中点， ， 又，且平面，平面， 平面，平面，； 易知四面体是鳖臑，直角为，，，； （2）四面体是鳖臑，， ， 又，则， ， ， 设锐二面角的大小为，则，则， 则，，即二面角的大小为． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $