湖南省衡阳市蒸湘成章实验学校2026-2027学年九年级上学期 学情检测数学试题

**基本信息** 立足九年级入学检测，融合AI阅卷、地方特产等真实情境，通过基础、能力、创新三级梯度，考查抽象能力、几何直观与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数（相反数、函数）、几何（矩形性质）、统计（方差）|香瓜产量方差考查数据意识，AI阅卷问题体现模型意识| |填空题|6/18|函数（交点坐标）、统计（加权平均数）、几何（正方形性质）|反比例函数与平行四边形结合考查几何直观| |解答题|8/72|代数（化简求值）、几何（全等、新定义四边形）、统计（图表分析）|24题“双垂直四边形”定义探究，培养创新意识与推理能力|

2026年秋季入学检测试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．衡南向阳桥香瓜（又称梨瓜）是湘南地区的特色农产品，种植历史超百年。衡南某香瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量（单位：kg）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100． 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000． 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 4．已知一次函数y＝（4﹣m）x+2，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m＞4 C．m≤4 D．m≥4 5．如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A，C对应的刻度（单位：cm）分别为1和7，则BD的长为（　　） （第5题图） （第7题图） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 6．若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 7．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 8．近年来，我国人工智能技术快速发展，并被广泛应用于生产生活中．某次考试阅卷引入了AI机器人批阅非解答题，效率是人工批阅的6倍，且AI机器人批阅15000道非解答题比人工批阅3600道非解答题少用5小时．设人工每小时批阅非解答题的数量为x道，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为CD的中点，连接AE．当AD＝2，AE⊥CD时，菱形ABCD的面积为（　　） （第9题图） （第10题图） A． B．4 C．6 D． 10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A．BD＝10 B．AD＝12 C．平行四边形ABCD的周长为44 D．当x＝15时，△APD的面积为20 二、填空题：（本大题6个小题，每小题3分，共18分）。 11．直线y＝﹣2x+5与y轴的交点坐标是　 　 ． 12．要使在实数范围内有意义，则m的取值范围是　 　 ． 13．2026年4月，湖南省首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 90 80 70 如果按照“视觉吸引”占40%，“启发思考”占30%，“社会责任”占30%计算总成绩，那么该作品得分是　 　 分． 14．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　 ． （第14题图） （第15题图） （第16题图） 15．如图所示，已知点E是y轴正半轴上的一点，过点E作BD∥x轴，分别交反比例函数和的图象于点D，B，以BD为对角线作▱ABCD．若点A在x轴上，▱ABCD的面积为18，则k的值为　　 ． 16．如图，正方形ABCD，对角线相交于点O，以O为顶点作与正方形ABCD同样大小的正方形OMPN，∠DON＝α（0°＜α＜90°），ON与CD交于点F，OM与BC交于点E，连接EF．给出下面四个结论：①FN＝EM；②∠EFC＝α；③四边形OECF的面积等于正方形ABCD面积的四分之一；④当α≠45°时，OC＜EF．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． 三、解答题：（本大题8个小题，共72分） 17．（6分）计算． 18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝|﹣3|+（π﹣4）0． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）若AD∥BC，AE＝3，求BC的长． 20．（8分）某文具店购进了A，B两种型号的考试文具套装进行销售，每个A型套装进价比每个B型套装进价多3元，每个A型套装售价为32元，每个B型套装售价为25元，该文具店用220元购进A型套装和用190元购进B型套装的数量相同． （1）求A型，B型套装进价分别是多少元？ （2）为了满足市场需求，6月份该文具店准备用不超过2100元的资金采购这两种套装共100套．若所采购的套装能全部卖出，给出利润最大时的进货方案，并求出最大利润是多少元？ 21.（10分）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于A（2，a）， B（﹣1，2）两点． （1）求双曲线与直线y＝kx+b的解析式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）连结OA，OB，试求△AOB的面积． 22．（10分）衡阳市某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛．竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取40名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据统计图表提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 方差 七年级 a 8.5 1.41 八年级 8.7 b 1.11 （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线CD与直线AB交于点E． （1）求△AEC面积； （2）如图2，点P在直线CD上，且在直线AB上方，点Q是x轴上一动点，连接AP，PQ，EQ，当时，求点P的坐标，以及当PQ+EQ有最小值时Q的坐标； （3）在（2）问条件下，点N是x轴上一动点，点M为平面内一点，当以E，M，N，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出此时点N的坐标． 24．（12分）定义：若一个四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它的对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，则称这样的四边形为“双垂直四边形”．如图1，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAB＝∠ACB＝90°，则四边形ABCD为“双垂直四边形”，记作“双垂直四边形ABCD”． （1）用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板如图2摆放，再连接顶点得到如图所示的四个四边形，其中不是“双垂直四边形”的是　 　 （填序号）． （2）【性质探究】如图3，在“双垂直四边形ABCD”中，已知∠DAB＝∠ACB＝90°，∠B＝45°，E为线段AB上一点，且CD⊥CE，判断CD和CE的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，双垂直四边形ABOC在平面直角坐标系xOy中的位置如图，点B在x轴上，点C在y轴上，∠OAB＝90°，∠ABO＝45°，D为边OB上一动点，且CA⊥AD，连接CD．将△CAD沿CD翻折，得到△CED，若AD＝2，∠ODE＝30°请写出点E的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题） 1.【答案】B 【考点】实数的性质：算术平方根 【解答】解：根据相反数的定义可知： √2的相反数是在√2前添加负号，即-√2. 故选：B, 2.【答案】A 【考点】最简分式 【解答】解：A、是最简分式，故此选项符合题意： B、4=,不是最简分式，故此选项不符合题意； C、y x-v 1 ,不是最简分式，故此选项不符合题意： x2-y2 (x+y)(x-y)x+y D、-1-x《-)=X-1,不是最简分式，故此选项不符合题意： 故选：A. 3.【答案】B 【考点】算术平均数；统计量的选择；中位数；众数；方差 【解答】解：若要判断哪块田的产量更稳定， 应比较两组数据的方差， 故选：B 4.【答案】B 【考点】一次函数图象与系数的关系 【解答】解：：一次函数y=(4-m)x+2,y随x的增大而减小， .4-m<0, 解得>4. 故选：B 5.【答案】c 【考点】矩形的性质 第1页（共14页） 【解答】解：根据矩形的对角线相等可知BD=AC, 由题意，顶点A对应刻度lc,顶点C对应刻度7c, AC=7-1=6c, .BD=AC=6cmL. 故选：C. 6.【答案】B 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解答】解：k=5>0, :反比例函数y=三的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小， :点Bx,),C,5),都在反比例函数y=的图象上，1<5， 1 .2>x3>0 -1<0,A,-)在反比例函数y=3的图象上， <0, x1<3<X2· 故选：B, 7.【答案】C 【考点】一次函数的性质；一次函数与一元一次方程 【解答】解：OA=2, .一次函数y=+b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(-2,0), .关于x的方程+b=0的解为x=-2. 故选：C. 8.【答案】C 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【解答】解：根据题意得：3600.1500=5， x 6x 故选：C。 9.【答案】A 【考点】勾股定理：菱形的性质 第2页（共14页） 【解答】解：四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD=2, :AE⊥CD,点E为CD的中点， .AE垂直平分CD, .AC=AD=2, .AC=CD=AD, 即△ACD是等边三角形， .DE=CD=1, 2 在Rt△ADE中，AE=√AD-DE2=√22-1P=√5， .当AD=2,AE⊥CD时，菱形ABCD的面积为CD×AE=2×√3=2W3, 故选：A. 10.【答案】D 【考点】动点问题的函数图象 【解答】解：当点P运动到点B处时，x=10,即AB=10, 当点P运动到点D处时，x=20, .BD=20-10=10,故A正确： 当点P运动到点D处时，y=12,即AD=12, .BC=AD=12,故B正确： .AB=10,BC=12, .ABCD的周长=2(AB+BC)=210+12)=44,故C正确： 当x=15时，点P运动到BD的中点处，如图： B H 此时 作BH⊥AD, AB=DB=10, DII-A6. 第3页（共14页） .BH=√AB2-AH=V10-62=8. .口ABCD的面积=AD.BH=12×8=96, .c4, 21 1 SAPD=SAD=24,故D错误.。 2 故选：D 二.填空题（共6小题） 11.【答案】(0,5) 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【解答】解：令x=0,则y=5 因此直线y=-2x+5与y轴的交点坐标为(0,5). 故答案为：(0,5). 12.【答案】心l. 【考点】二次根式有意义的条件 【解答】解：m-10, 解得】， 故答案为：心l. 13.【答案】81. 【考点】加权平均数 【解答】解：根据加权平均数的计算方法可得： 90×40%+80×30%+70×30%=36+24+21=81. 故答案为：81. 14. 【考点】一次函数与二元一次方程（组） 【解答】解：：直线y=m+b和直线y=交点P的坐标为1,2)， ·关于x,y的二元一次方程组y= x=1 的解为 y=ax+b y=2 x=1 故答案为 y=2 15.【答案】-12 第4页（共14页） 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质 【解答】解：连接OB、OD, 。E A 由条件可知SBOD=SB4, 又：四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线， S4AD-18=9, 2 2 6 y=-(x>0),y=-(x<0) 1.5.pwox163. 2 y94=Sn=Sm+8m为+3=9， .k=12, 解得：k=-12,k=12>0(舍去)， 故答案为：-12. 16.【答案】①②③④ 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【解答】解：①：四边形ABCD是正方形 ∴.OD=OC,OD⊥OC,∠ODF=∠OCE=∠OCD=45°， .∠DOF+∠FOC=90°， :四边形OMPN是正方形， ∴.ON=OM,∠NOM=90°， .∠COE+∠FOC=90°， .∠DOF=∠COE, 在△DOF和△COE中， 第5页（共14页） 「∠ODF=∠OCE OD-OC ∠DOF=∠COE .△DOF≡△COE(AS4), ..OF=OE, .ON-OF=OM-OF, .FN=EM, 故结论①正确： ②设OC与EF相交于点T,如图1所示： A D C OF=OE,∠NOM=90°， △OEF是等腰直角三角形， ∠0EF=45°， :∠DOF=∠COE=a, .在△OET中，∠COE+∠OEF+∠OTE=180°， .a+45°+∠OTE=180°， .∠OTE=135°-a, .∠CTF=∠OTE=135°-a, 在△CFT中，∠EFC+∠OCD+∠CTF=180°， .∠EFC+45°+135°-a=180°， ∠EFC=a, 故结论②正确： ③，△DOF=△COE, ..S.DOF =S.Co' S四边形oEcp=S.coE+S.ocp=S.Dog+Soce=S.ocp, 第6页（共14页） 1 S.OCD= :.S边形0Ecr= SE方形ABcD’ 故结论③正确： ④过点O作OH⊥BC于点H,如图2所示： D N 0 B M △OEF是等腰直角三角形， :由勾股定理得：EF=√OB+OF2=√2OB, .'∠DOF=∠COE=,≠45°，OF=OE, ..OE OH, .EF>√20H, .:∠OCE=45°，OH⊥BC, .△OCH是等腰直角三角形， ..OH=CH, 在Rt△OCH中，由勾股定理得：OC=√OH+CH=√2OH, .EF>OC, 即OC<EF, 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④. 故答案为：①②③④. 三.解答题（共8小题） 17.【答案】V5+2: 【考点】二次根式的混合运算2-5+V-5+(N5+3)×(5-3列 【解答】解：原式=√5-2+5+5-6=5+2； 第7页（共14页） 18【答】 【考点】分式的化简求值：零指数幂 【解答】解：心-1+D4r-4+ =-1+当÷2x-少 =2x-1×x x(2x-1)2 1 2r-1’ x=-3|+(π-4)°=3+1=4， 将x=4代入得，原式=，1=1 2×4-17 19.【答案】(1)：点E为AD的中点， .DE=AE, DC//AB, .∠DCE=∠AFE, 在△DCE和△AFE中， ∠DCE=∠AFE ∠DEC=∠AEF, DE=AE △AEF=△DEC(AAS: （2)6. 【考点】全等三角形的判定与性质：平行四边形的判定与性质 【解答】(1)证明：：点E为AD的中点， .DE=AE, .DC//AB, ·.∠DCE=∠AFE, 在△DCE和△AFE中， 「∠DCE=∠AFE ∠DEC=∠AEF, DE-AE .△AEF≡△DEC(AAS); 第8页（共14页） (2)解：DC/IAB,AD/BC, .四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD, :点E为AD的中点，AE=3, .AD=2AE=6, .BC=AD=6. 20.【答案】(1)A型套装进价为22元，B型套装进价为19元： (2)利润最大的进货方案为购进A型套装66套，B型套装34套，最大利润为864元. 【考点】分式方程的应用：一元一次不等式的应用 【解答】解：(1)设B型套装进价为x元，则A型套装进价为(x+3)元， 由题意得220-190 x+3x 解得x=19, 经检验，x=19是原分式方程的解，且符合题意， .x+3=22, .A型套装进价为22元，B型套装进价为19元； (2)设购进A型套装m套，6月份该文具店准备用不超过2100元的资金采购这两种套装共100套. 由题意得22+19100-m≤2100， 解得ms200 3 m为正整数， .m的最大值为66， 设总利润为w,则1w=(32-22)1+(25-19)100-m)=4+600, 4>0, ∴.w随着m的增大而增大， .当=66时，w有最大值，为4×66+600=864（元)，此时100-m=34, .利润最大的进货方案为购进A型套装66套，B型套装34套，最大利润为864元. 21. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解答】解：(1)将B(-12)点代入双曲线解析式y=心 .l=-2, 第9页（共14页） ÷双曲线为y=2 又A(2,)在双曲线上， 2=-2 a .a=-1, .A(2,-1）, [2k+b=-1 将A、B代入一次函数解析式得 -k+b=2 k=-1 b=1 .直线y=+b的解析式为y=-x+1. (2)依据图象，：+b>严即一次函数值大于反比例函数值， A2,-1),B(-1,2), :不等式kx+b>"的解集为：x<-1或0<x<2. (3)设一次函数与y轴交于C点， ∴.C(0,1),0C=1. △AOB可以看成由底均为OC的△OCA、△OCB组成， 3A,0c-(4)=1x2+0= 2 2 22.【答案】(1)a=8.7,b=9; (2)八年级的成绩较好： (3)估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为A,B等级的学生共有120人. 【考点】用样本估计总体；加权平均数：中位数：方差 【解答】解：(1)a=10×40%+9×10%+8×30%+7×20%=8.7（分)， 由箱线图可得b=9; (2)八年级的成绩较好. 理由如下：，七、八年级知识竞赛成绩的平均分相同，中位数高于七年级，方差小于七年级， “.八年级知识竞赛成绩高分较多且比较稳定， .八年级的成绩较好 (3)700×(40%+106=350(人)， 第10页（共14页） 答：估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有120人. 23.【答案】(1)6： (2)P(8,),P9+EQ的最小值为4√5： (3)w点坐标为写0或g0或60或6+5,0或5-5,0. 【考点】一次函数综合题 〖解答】解：(1)直线yx+4与x轴交于点480，与y轴交于点B0.到 直线y=x-2与x轴交于点C(2,0),与y轴交于点D(0,-2), 当-x+4=x-2时，解得x=4, 2 .E(4,2), △4c面积=4C×6x2=6: (2)AO=8,OB=4, :△A0B的面积=x4×8=16, 3 :9如84a, 4 .△PAE的面积=12， 过点P作PF/Iy轴交AB于点F, 设Pti-2),则FG-+到， 2 △P4B=1x4t-2+1-4=12, 1 2 2 解得t=8, .P(8n6, 作E点关于x轴的对称点E′，连接PE'交x轴于点Q, y B 、E Ax E .PO+EO=PO+E'O>PE', 当P、Q、E三点共线时，PQ+EQ的最小值为PE', .E(4,-2), 第11页（共14页） PE'=4V5, .PQ+EQ的最小值为4v5: (3)设Nx,0), 当NE=NQ时，(x-4)2+4=(x-5)2, 解得x=2 5 ÷nGg,0: 2 当EN=EQ时，(x-4)2+4=5, 解得x=5或x=3, .N(3,0)或(5,0)： 当QN=QE时，5=(x-5)2, 解得x=5+√5或x=5-√5， N5+5,0)或(5-√5,0)： 综上所述：V点坐标为0或a0)或6+5,0或6-5,0， 24.【答案】(1)③： (2)CD=CE,理由如下： .·∠DAB=∠ACB=90°，∠B=45°， .∠CAB=180°-∠ACB-∠B=45°=∠B, .CA=CB,∠CAD=∠DAB-∠CAB=45°， .CD⊥CE, .∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°， ∴.∠DCA=∠ECB, 在△ACD和△BCE中， 「∠DCA=∠ECB AC=BC ∠CAD=∠B=45° .△ACD兰△BCE(ASA), ..CD=CE 第12页（共14页） (3)(1,-1)或(-1,1). 【考点】四边形综合题 【解答】解：(1)图2四种直角三角形纸板摆放中， 图①②④，四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它对角顶点的对角线，将这个对角分成的两 个角中，有一个角为直角，均为“双垂直四边形”： 图③，四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角 中没有直角，不是“双垂直四边形”， 故③符合题意， 故答案为：③： (2)CD=CE,理由如下： .∠DAB=∠ACB=90°，∠B=45°， .∠CAB=180°-∠ACB-∠B=45°=∠B, .CA=CB,∠CAD=∠DAB-∠CAB=45°， CD⊥CE, .∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°， ·∠DCA=∠ECB, 在△ACD和△BCE中， ∠DCA=∠ECB AC=BC ∠CAD=∠B=45° .△ACD≡△BCE(AS4, .CD=CE: (3)由(2)可知，AC=AD, :△CAD沿CD翻折，得到△CED, .AC=AD=DE=CE, .四边形ACED为菱形， 又，CA⊥AD,即∠CAD=90°， .四边形ACED为正方形， .∠CED=∠EDA=90°，.AC=AD=DE=CE=2 当点E在y轴左侧时， 第13页（共14页) 过点E作EM⊥OC于点M,过点E作EN⊥OB,交BO延长线于点N, 则∠EMC=∠EMO=∠ENO=90°， AD=2,∠ODE=30° EN=1, ∠CON=90°， .四边形EMON为矩形， .∠MEN=90°： ∴·∠NED+∠DEM=∠DEM+∠MEC=90°，即∠NED=∠MEC, 在△EMC和△END中， ∠EMC=∠END=90° ∠MEC=∠NED CE=DE .△EMC≌△END(AAS), .EM=EN, :.四边形EMON为正方形， .EN=ON=1, .点E的坐标为(-11)， 当点E在y轴右侧时， 过点E作EM⊥OC于点M,交CO延长线于点M,过点E作EN⊥OB于点N, .AD=2,∠ODE=30° EN=1, 同理可得，四边形EMON为正方形， .EN=ON=1, .点E的坐标为(1，-1)， 综上所述，点E的坐标为(1，-1)或(-1,1) 第14页（共14页）