精品解析：湖南省衡阳市四校 2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题

2026年下学期入学测试九年级数学学科测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. “春风不来，三月的柳絮不飞”，据测定，柳絮纤维的直径约是0.00000105米，将数据0.00000105用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，与相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与相交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 13. 如图，在平行四边形中，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为___________． 14. 若方程有增根，则______． 15. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是_________． 16. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，……使得点，，，……在直线上，，，，……在x轴正半轴上，则点的纵坐标为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再从1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 20. 如图：已知，点B、C、F、E在一条直线上，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 交通安全教育是保障人们生命安全的重要措施．为了增强学生交通安全意识，某校举行了“安全文明出行，共创和谐交通”知识测试活动，现从该校七、八年级的测试成绩中各随机抽取了名学生成绩（满分分，得分均为整数），并将所抽取的成绩进行整理、分析，制成统计图表，部分信息如下： 将八年级被抽取的名学生的测试成绩，分为五组： A．，B．，C．，D．，E．， 其中D组的数据为：，，，，，，，，．    七、八两个年级被抽取的学生测试成绩数据统计表如下： 班级 七年级 八年级 平均数 中位数 b 众数 a 7 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中，，的值：______，______，______； （2）若该校八年级总人数为人，且都参加了此次交通安全知识测试，估计此次测试中八年级成绩优秀（）的学生大约有多少人？ 22. 某市有甲、乙两个垃圾处理厂，甲厂处理50吨垃圾所用的时间与乙厂处理40吨垃圾所用的时间相同，甲厂每小时比乙厂每小时多处理垃圾2吨． （1）求甲、乙两个垃圾处理厂每小时各处理垃圾多少吨？ （2）某天该市有180吨垃圾，甲处理厂工作1小时所需费用1000元，乙处理厂工作1小时所需费用720元，甲厂处理的垃圾吨数不少于乙厂处理垃圾吨数的2倍，要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作多少小时？最少费用是多少元? 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题： （1）点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示） （2）当时，的面积为__________； （3）①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示） ②当的面积为时，直接写出的值为__________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点，C，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点D恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求点的坐标以及直线的解析式； （2）若点在线段上，点在直线上，求的最小值； （3）点P是第一象限内一点，点Q是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期入学测试九年级数学学科测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是分式，故A符合题意； B、是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意； C、分母不含字母，不是分式，故C不符合题意； D、分母不含有字母，不是分式，故D不符合题意， 故选：A． 2. “春风不来，三月的柳絮不飞”，据测定，柳絮纤维的直径约是0.00000105米，将数据0.00000105用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：0.00000105=， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，已知，，与相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵与相交于点O， ∴，， 故选项B正确，符合题意． 4. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； B、对于任意的一个x，y有两个值与其对应，故不是的函数，故选项符合题意； C、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； D、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意． 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差可知，也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案． 【详解】解：， 由四人的10次射击成绩的平均数可知淘汰乙； ， 由四人的10次射击成绩的方差可知丁的射击成绩比较稳定； 故选：D． 【点睛】本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键． 6. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象大致是． 7. 如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.∵，， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B.只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； C.∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故符合题意； D.不能判定四边形是正方形，故不符合题意. 8. 如图，直线与相交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出点P的横坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得， ∴点P的横坐标为， 由图象得，当时，直线的图象在直线的图象下方， ∴关于的不等式的解集是． 9. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形得到，，再结合得到是等边三角形， ，即可证明，得到，，再证明在的垂直平分线上，得到，可得是等边三角形，故①正确；由①可得也是等边三角形，，由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确；根据直角三角形的性质得到，，即可得到，故②正确；先得到，再根据，得到即可求出面积比． 【详解】解：四边形是矩形，为中点， ，， ∴， ， 是等边三角形， ， ，， ∵， ∴，，， 在和中，， ， ，，， ，， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵矩形中三点共线， ∴在的垂直平分线上， ， 结合，可得是等边三角形，故①正确； 由①可得也是等边三角形， ， ∴由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确； 是等边三角形， ， ∵，， ∴垂直平分，即， ∵ ∴， 在中，， ， ， ，即，故②正确； ∵，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴ ∴，故④正确 综上，正确的结论是①②③④． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵有意义， ∴分母不为， 即， 解得． 12. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而增大， 又点，都在直线上，且， ． 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由作法可知，平分，再结合平行四边形的性质，可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：由作法可知，平分， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 若方程有增根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先解分式方程得出，再由原分式方程有增根得出，从而得出，计算即可得解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵方程有增根， ∴，即， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差及平均数的计算公式，掌握方差及平均数的计算公式是解题的关键． 根据方差及平均数计算公式进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，……使得点，，，……在直线上，，，，……在x轴正半轴上，则点的纵坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先由直线求出坐标，进而确定第一个正方形的边长及坐标；再利用在直线上且横坐标与相同，得到正方形边长的递推关系，从而发现纵坐标构成等比数列． 【详解】解：对于直线，令，得， ， 正方形的边长为， ，． 在直线上，且横坐标与相同为， ， 正方形的边长为， ，． 同理，的横坐标与相同为， ， 正方形的边长为， ，． 依此类推，各正方形边长依次为，，，，， 且的纵坐标等于第个正方形的边长， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解，最后检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得， 移项、合并同类项得， 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 19. 先化简，再从1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先把括号内的1写成分母是的分式，再把除式中的分子分解因式，把除法化成乘法进行约分，再选择能让分式有意义的数代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当和3时，分式无意义， 只能为1， 当时，原式． 20. 如图：已知，点B、C、F、E在一条直线上，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， 和都是直角三角形， 在和中，， ， ， 点B、C、F、E在一条直线上， ， ， 在和中，， ≌， ， 又， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质； 先依据“”判定和全等，得，由此得，进而依据“”判定和全等，得，再根据即可得出结论． 【详解】略 21. 交通安全教育是保障人们生命安全的重要措施．为了增强学生交通安全意识，某校举行了“安全文明出行，共创和谐交通”知识测试活动，现从该校七、八年级的测试成绩中各随机抽取了名学生成绩（满分分，得分均为整数），并将所抽取的成绩进行整理、分析，制成统计图表，部分信息如下： 将八年级被抽取的名学生的测试成绩，分为五组： A．，B．，C．，D．，E．， 其中D组的数据为：，，，，，，，，．    七、八两个年级被抽取的学生测试成绩数据统计表如下： 班级 七年级 八年级 平均数 中位数 b 众数 a 7 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中，，的值：______，______，______； （2）若该校八年级总人数为人，且都参加了此次交通安全知识测试，估计此次测试中八年级成绩优秀（）的学生大约有多少人？ 【答案】（1）8，7，30 （2）估计此次测试中八年级成绩优秀（）的学生大约有人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图数据计算即可； （2）用样本估算整体，根据题意可知就是E组的成绩，根据E组的占比计算即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，七年级中成绩是8分的人数最多，为5人， ∴众数是8，即； 由扇形统计图可知，八年级A组占比5%，A组人数为（人）， B组占比5%，B组人数为（人）， ∵C组人数为3人， ∴C组的占比为， ∵D组人数为9人， ∴D组的占比为， ∴八年级成绩的中位数是第十位学生和第十一位学生成绩的平均值是7，即； 由扇形统计图可知， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意可知，的成绩就是E组的成绩， 由（1）可知，E组的占比是， （人）， 答：估计此次测试中八年级成绩优秀（）的学生大约有240人． 22. 某市有甲、乙两个垃圾处理厂，甲厂处理50吨垃圾所用的时间与乙厂处理40吨垃圾所用的时间相同，甲厂每小时比乙厂每小时多处理垃圾2吨． （1）求甲、乙两个垃圾处理厂每小时各处理垃圾多少吨？ （2）某天该市有180吨垃圾，甲处理厂工作1小时所需费用1000元，乙处理厂工作1小时所需费用720元，甲厂处理的垃圾吨数不少于乙厂处理垃圾吨数的2倍，要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作多少小时？最少费用是多少元? 【答案】（1）甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾10吨，乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾8吨； （2）要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作12小时，最少费用为17400元 【解析】 【分析】（1）设甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾吨，则乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾吨，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设甲处理厂工作小时，则甲处理垃圾吨，乙处理垃圾吨，根据题意，列出一元一次不等式求得的范围，设所需费用为，根据题意列出一次函数，根据一次函数的性质求得最小值即可求解． 【小问1详解】 解：设甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾吨，则乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾吨，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 吨， 答：甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾10吨，乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾8吨； 【小问2详解】 设甲处理厂工作小时，则甲处理垃圾吨，乙处理垃圾吨，根据题意， ， 解得， 设所需费用为，则， ，随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为（元）， 答：要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作12小时，最少费用为17400元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式，一次函数关系式是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题： （1）点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示） （2）当时，的面积为__________； （3）①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示） ②当的面积为时，直接写出的值为__________． 【答案】（1）； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题； （3）①当点运动到线段上时，，计算即可； ②当的面积为时，分三种情况讨论：点在线段上，在线段上，在线段上，分别求出的面积和运动时间之间的数量关系，再把分别代入求出的值并判断是否符合题意． 【小问1详解】 解：点A的坐标为，点是的中点， 点的坐标为， ∴． 四边形是正方形，且点在第一象限， ∴，， 点的坐标为． ∵，， ∴， ∵点P以每秒个单位长度的速度运动， ∴点在线段上时，， ∴． 【小问2详解】 解：，点的速度为每秒个单位长度， 点从点运动到点用时秒， 当时，点已经经过点，进入到线段上， ． 【小问3详解】 ①当点运动到线段上时，，点在上的移动距离为， 点的横坐标为，即， ； ②当的面积为时，分三种情况讨论： 情况：当点在线段上时，，点的横坐标， ， 令，即， 解得，不符合题意，舍去； 情况：当点在线段上时，，点的横坐标一直为， 此时，所以点不可能在线段上，不符合题意，舍去； 情况：当点在线段上时，，把直接代入①中， 即，解得，因为，符合题意． 综上所述，当的面积为时，点在线段上，． 【点睛】本题考查动点问题，分段进行计算是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点，C，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点D恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求点的坐标以及直线的解析式； （2）若点在线段上，点在直线上，求的最小值； （3）点P是第一象限内一点，点Q是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）的最小值为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据直线解析式求出点，，结合对称可得，由此求出，在中，，即，即可求得，进而由待定系数法求出直线的解析式， （2）分别求出，，由此得出，根据一次函数的性质和即可得出当时， 的最小值为． （3）根据正方形的邻边相等和点P的位置构造K字型全等三角形，即可得出点P坐标． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 由对称可知，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在线段上， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴当时， 的最小值为； 【小问3详解】 解：当时，过点作轴交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当时，过点作轴交于点， 同理可得：， ∴，， ∴； 当时，过点作轴交于点，过点作交于点， 同理可得：， ∴，， 设， ∴，， 解得， ∴； 综上所述：P点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $