湖南省衡阳市四校 2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题

**基本信息** 2026年九年级数学入学测试卷，以基础巩固与能力检测为核心，覆盖分式、函数、几何、统计等知识点，通过交通安全、垃圾处理等真实情境，考查数学眼光、思维与语言，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式、科学记数法、函数图像、统计方差|结合“柳絮纤维直径”考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|6/18|代数式意义、尺规作图、规律探究|第16题坐标系正方形规律，考查空间观念与创新意识| |解答题|8/72|统计分析（交通安全）、应用题（垃圾处理）、动点几何综合|22题垃圾处理费用优化，体现模型意识；24题折叠与正方形存在性，考查推理能力|

2026年下学期入学测试九年级数学学科测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2.“春风不来，三月的柳絮不飞”，据测定，柳絮纤维的直径约是0.00000105米，将数据0.00000105用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3.如图，已知，，与相交于点O，则（     ） A． B． C． D． 4.下列图象中，不是的函数的是（     ） A B C D 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 5.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6.一次函数的图象大致是（     ） A B C D 7.如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（     ） A． B． C． D． 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，直线与相交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 9.如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 10.如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（ ） ①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 12. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 13.如图，在中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为________． 第13题图 第16题图 14.若方程有增根，则______． 15.某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是_________． 16.在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，……使得点，，，……在直线上，，，，……在x轴正半轴上，则点的纵坐标为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分） 17（6分）.计算： 18（6分）.解方程：． 19(8分).先化简，再从1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 20（8分）.如图：已知，点B、C、F、E在一条直线上，，． 求证：四边形是平行四边形． 21（10分）.交通安全教育是保障人们生命安全的重要措施．为了增强学生交通安全意识，某校举行了“安全文明出行，共创和谐交通”知识测试活动，现从该校七、八年级的测试成绩中各随机抽取了名学生成绩（满分分，得分均为整数），并将所抽取的成绩进行整理、分析，制成统计图表，部分信息如下： 将八年级被抽取的名学生的测试成绩，分为五组： ．，．，．，．，．， 其中组的数据为：，，，，，，，，．    七、八两个年级被抽取的学生测试成绩数据统计表如下： 班级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出图表中，，的值：________，________，________； (2)若该校八年级总人数为人，且都参加了此次交通安全知识测试，估计此次测试中八年级成绩优秀（）的学生大约有多少人？ 22（10分）.某市有甲、乙两个垃圾处理厂，甲厂处理50吨垃圾所用的时间与乙厂处理40吨垃圾所用的时间相同，甲厂每小时比乙厂每小时多处理垃圾2吨． （1）求甲、乙两个垃圾处理厂每小时各处理垃圾多少吨？ （2）某天该市有180吨垃圾，甲处理厂工作1小时所需费用1000元，乙处理厂工作1小时所需费用720元，甲厂处理的垃圾吨数不少于乙厂处理垃圾吨数的2倍，要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作多少小时？最少费用是多少元? 23（12分）.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示） (2)当时，的面积为__________； (3)①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示） ②当的面积为时，直接写出的值为__________． 24（12分）.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点，C，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点D恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最小值； (3)点P是第一象限内一点，点Q是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请求出点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年下学期入学测试九年级数学学科测试卷答案 一、选择题 1.A2.C3.B4.B5.D6.A7.C8.B9.A10.D 二、填空题 11.x≠2 12.<y2 13.214.-4 15.3.616.22025 三、解答题 1【1架：2-(-2025+) =2-1+2 =3 1-x+2=1 18.【详解】解：x-2 2-x 去分母得， 1-x+2(x-2)=-1 去括号得，1-x+2x-4=-1 移项、合并同类项得，x=2 当x=2时，x-2=0, ..4s2 是原方程的增根，原方程无解。 a-2_1）.(a-3)2 19.【详解】解：原式气a-2a-2片a-2 =a-3.a-2 a-2(a-3)2 、1 a-3, “当a=2 和3时，分式无意义， .a只能为1， 11 当a=1时，原式1-32. 20.证明：“∠B=∠E=90 aMBC和ADEF 都是直角三角形， AC=DF 在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE, ∴.Rt△ABC≌RIADEF(HL) ..BC=EF 点B、C、F、E在一条直线上，， ∴.BC+CF=EF+CF :BF=EC, AB=DE 在 和 中， ∠B=∠E=90° △ABF△DEC BF=EC ∴.△ABF≌ △DEC(SAS) ∴.AF=DC, 又：AC=DF, .四边形ACDF是平行四边形. 注：该题方法不唯，也可根据R1△ABC②aDEF(HL)得到对应角相等，进而得到补角 相等，从而得到AC∥DF,根据一组对边平行且相等也可证平行四边形. 21.【答案】(1)a=8,b=7,m=30 (2)大约有240人 22.【详解】 解：(1)设甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾x吨，则乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾 (x-2吨， 根据题意得， 5040 xx-2, 解得x=10, 经检验，x=10是原方程的解， .10-2=8 吨， 答：甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾10吨，乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾8吨： (②)设甲处理厂工作a小时，则甲处理垃圾10a吨，乙处理垃圾 80-10a吨，根据题意， 10a≥2(180-10a) 解得a≥12， 设所需费用为y,则'=1000a+ 80-10a×720 8 =100a+16200, :100>0,’随“的增大而增大， 当a=12时，y取得最小值，最小值为100×12+16200=17400（元）， 答：要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作12小时，最少费用为17400 元 23.【答案】(1)2,2；2-2t (2)2 间@s=6-2u2≤3②号 【详解】(1)解：.点A的坐标为4,0，点D是OA的中点， .点D的坐标为2,0， ∴.OD=2. ‘四边形ODBC是正方形，且点B在第一象限， ∴.BD=OD=2,∠BDO=90°， ∴点B的坐标为2,2. A4,0,D2,0, AD=2, ,点P以每秒2个单位长度的速度运动， .点P在线段AD上时，AP=2t, .DP=AD-AP=2-2t. (2)解：，AD=OA-OD=2,点P的速度为每秒2个单位长度， .∴.点P从点A运动到点D用时1秒， 当=时，点P已经经过点D.进入到线段BD上， 5ac-00x0D=号×2x2=2, (3)①当点P运动到线段BC上时，2<t<3,点P在BC上的移动距离为2t-4, 点P的横坐标为2-2t-4=6-2t,即PC=6-2t, ∴S=号Pc×0c=6-2×2=6-2t 3 ②当△POC的面积为亏时，分三种情况讨论： 情况1：当点P在线段AD上时，0<t<1,点P的横坐标X,=4-2t, :.SAPOC= 1×0C×X,=2 ×2×4-2t=4-2t, 令8=即4-2t 3 解得=>1，不符合腿意，舍去 4 情况2：当点P在线段DB上时，1≤t<2,点P的横坐标一直为2， 比时S=×2×2=2产是所以点P不可能在线段DB上，不符合题态，合去： 3 情况3：当点P在线段BC上时，2<t<3,把S=直接代入①中， 3 即6-2t= 解得是因2是3，为合思意 综上所述，当△POC的面积为时，点P在线段BC上，t= 4 24.【答案】(B0,4,y=- 3t+4 ②n-%的最小值为号 873国47减子 【详解】①)解：对于直线CD:yx-6,当x=0时，y三6， c0,-6, .0C=6: 当y=0时，X=8, D8,0, ÷cD=0C2+0D-86+8=10 由对称可知AB=AD,CB=DC=10, ∴.OB=BC-OC=4, .B0,4, 在Rt△AOB中，AB=0A2+B02即(8-A0P=0A2+42, 解得OA=3, A3,0, 设直线AB的解析式为y=kx+b, 3k+b=0 b=4月 解得 k-3 b=4 直线AB的解析式为y=-4X +4: (2)解：，点F(m,n1在线段AB上， n1=3m+4, ,点G(m-1,n2)在直线CD上， m,=m-1)-6 -n,-+4 m-小-6=- 2543, m+- .0≤m≤3， 9 当m=3时， n1-n的最小值为亏： (3)解：当PB⊥AB时，过P点作PF⊥y轴交于F, B A ∠PBA=90° .∠PBF+∠ABO=90°， ,∠PBF+∠FPB=90°， ∴.∠ABO=∠FPB, ..PB=AB, .△PBF≌△BAO(AAS), ..PF=OB=4,BF=OA=3. P(4,7): 当BA⊥PA时，过P点作PE⊥X轴交于E点， B 同理可得：△ABO≌△PAE(AAS), ∴.OA=PE=3,AE=BO=4, P7,3: 当BP⊥AP时，过P点作PH⊥x轴交于H点，过B点作BG⊥PH交于G点， B 同理可得：△APH≌△PBG(AAS), ..PH=BG,PG=AH, 设Px,y, y=x,4-y=x-3, 部期y子 综上所达：P点坐标为7,3威47成子