高一数学上学期第一次月考（湘教版必修第一册第1章～第2章，高效培优）

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语核心内容，基础题（如集合确定性判断）与综合题（如命题真假与集合结合）梯度分布，适配高一阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合确定性（题1）、集合表示（题2）、元素与集合关系（题3）|通过辨析易混概念（如空集与集合关系）考查数学抽象| |多选题|3/18|集合子集个数（题9）、集合相等判断（题10）|设置部分选对得分机制，检测逻辑推理严谨性| |填空题|3/15|不等式解集（题13）、二次不等式与解集关系（题14）|结合运算能力，考查数学语言表达（如解集规范书写）| |解答题|5/77|集合参数问题（题15）、充分不必要条件应用（题16）、函数不等式恒成立（题18）|以集合为载体，综合逻辑推理与运算求解，体现数学思维的系统性|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 2．下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 3．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 4．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 10．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 11．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数，，且，则的最小值是__________． 13．不等式的解集是________． 14．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分） 已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 16．（本题15分） 已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．（本题15分） 已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若∅，求实数的取值范围. 18．（本题17分） 已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 19．（本题17分） 已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合 故选：D 2．下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 3．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 4．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 故选：C． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，，∴. 故选：C. 6．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 故选：B. 7．已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】对于命题：例如，满足，但， 则命题为假命题，为真命题； 对于命题：例如，满足，且， 则命题为真命题，为假命题； 所以ABD错误，C正确. 故选：C. 8．命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定为“”. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 【答案】BD 【详解】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 10．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【详解】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 11．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 故选:AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 故答案为：3 13．不等式的解集是________． 【答案】或 【详解】由得，即，即， 解得或，故不等式的解集是或. 故答案为：或. 14．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 故答案为： 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本题13分） 已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 16．（本题15分） 已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，因为， 此时，都有， 所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则，解得. 17．（本题15分） 已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，即，解得，即， 所以集合中的所有整数为. （2）当时，可知， 当时，，解得； 当时，即时，可得，解得， 综上，当时，. 18．（本题17分） 已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 19．（本题17分） 已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 若命题：“”为真命题，则， 得， 故实数的取值范围为： （2）， 由，得， ，解得且， 得， 因为， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，要使，则， 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得， 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， 故实数的取值范围为： 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A C C B C B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意有： ， …………3分 即 ，解得， …………3分 所以a满足的条件为； …………7分 （2）由，所以或 ， …………9分 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， …………10分 当 时，即 ，且，解得， …………11分 所以若，的值是. …………13分 16．（15分） 【解析】（1）当时，， …………3分 因为， 此时，都有，所以. …………6分 （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， …………8分 又，， 则， …………14分 解得. …………15分 17．（15分） 【解析】（1）根据绝对值不等式的解法，求出集合中的元素，进而判断其中的整数； （2）根据集合补集和交集的概念，判断集合之间的包含关系，分类讨论集合的情况，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意可得，即，解得， …………3分 即，所以集合中的所有整数为. …………6分 （2）当时，可知， …………8分 当时，，解得； …………10分 当时，即时，可得，解得， …………12分 综上，当时，. …………15分 18．（17分） 【解析】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则， …………2分 解得， …………4分 不等式为， …………6分 即，即， 解得， …………8分 所以不等式的解集为. …………9分 （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， …………11分 （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； …………13分 （ii）当，即时，则 …………15分 解得； …………16分 综上所述，实数的取值范围是. …………17分 19．（17分） 【解析】（1） …………2分 若命题：“”为真命题，则， …………4分 得， 故实数的取值范围为： …………6分 （2）， 由，得， ，解得且， …………8分 得， 因为， 当时，，不满足， …………9分 当时，，不满足， …………10分 当时，，要使，则， …………11分 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， …………12分 当命题与命题都是真命题时，则，得， …………14分 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， …………16分 故实数的取值范围为： …………17分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $