高一数学上学期第一次月考（人教A版必修第一册第一章～第二章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 高一数学月考卷聚焦集合与不等式，通过企业人员调整、亚运会海报设计等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理及模型应用能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、充分条件、集合关系|第7题结合命题真假考集合，第8题创新定义“长度”| |填空题|3题/15分|集合元素个数、容斥原理、不等式有解|第13题容斥原理联系实际，第14题考不等式参数范围| |解答题|5题/77分|不等式最值、命题与条件、集合综合、实际应用|第19题以亚运会海报为情境，考面积优化；第15题三问递进，层次清晰|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 C．方程有唯一解的充要条件是 D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件 11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若集合中至多有一个元素，则实数的范围为 _______． 13．某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票. 14．若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 16．（15分）已知，. (1)若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（15分）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 18．（17分）已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．（17分）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设. (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 故选：D 2．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 4．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 5．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 6．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 7．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 8．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得：集合的“长度”为， 集合的 “长度”为. 因为它们都是的子集，要使“长度”最小， 集合、应该在的两端. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的 “长度”为：. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的“长度”为：. 综上可知，“长度”的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】A选项，若，由不等式的性质可知，A选项正确. B选项，若，当时，，所以B选项错误. C选项，若，则，C选项正确. D选项，若，则，D选项错误. 故选：AC 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 C．方程有唯一解的充要条件是 D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件 【答案】AB 【详解】对于A，利用集合间的包含关系可知， 所以推不出，但，即可知“”是“”的必要不充分条件，即A正确； 对于B，若是的必要不充分条件，则，而推不出， 又是的充要条件，则，所以可得,而推不出，所以可得是的充分不必要条件，即B正确； 对于C，当时，方程即为，此时方程有唯一解，满足题意，因此C错误； 对于D，依题意可得，若，可得，所以充分性成立， 若取，此时满足，且，不能得到，所以必要性不成立，即D错误. 故选：AB 11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】CD 【详解】由于集合有且仅有两个子集， 所以方程只有一解，所以，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A错误. B，，当且仅当时等号成立，故B错误. C，不等式的解集为，所以方程的两根为，所以，故C正确. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，所以，故D正确， 故选：CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若集合中至多有一个元素，则实数的范围为 _______． 【答案】或． 【详解】若集合中至多有一个元素， 则至多一个解， 当时，只有一个解，符合题意； 当时，，解得， 故的范围为或． 故答案为：或． 13．某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票. 【答案】27 【详解】由题意可得韦恩图，如图所示， 参加数理化竞赛的学生有人， 所以需预购27张车票.    故答案为：27 14．若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由已知可得， 所以， 当且仅当时，即当时取等号， 因为不等式有解，则有，即， 即，解得或， 所以的取值范围， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1)16；(2)16；(3)9. 【详解】（1），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （2），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （3），由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以汉时，取得最小值9. 16．（15分）已知，. (1)若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）对于，解得：， 当时，则， 若，，有且只有一个为真命题，则真假，或假真； 当真假时，即，无解； 当假真时，，解得：或， 综上，实数的取值范围为 （2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集； 则或，解得：或， 综上，实数的取值范围为 17．（15分）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 18．（17分）已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)．(2)(3)． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 19．（17分）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设. (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1)900cm(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少 【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm， 所以阴影部分的面积，所以， 又，故， 由图可知cm，cm. 海报纸的周长为cm. 故海报纸的周长为900 cm. （2）由（1）知，，， ， 当且仅当，即cm，cm时等号成立， 此时，cm，cm. 故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C D D A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AB CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或 13．27 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】此时实数的取值范围为．（13分）（1），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16.（4分） （2），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16.（8分） （3），由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以汉时，取得最小值9.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）对于，解得：， 当时，则， 若，，有且只有一个为真命题，则真假，或假真； 当真假时，即，无解； 当假真时，，解得：或， 综上，实数的取值范围为（7分） （2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集； 则或，解得：或， 综上，实数的取值范围为（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为；（5分） （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为；（10分） （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上．（4分） （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即；（8分） （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm， 所以阴影部分的面积，所以， 又，故， 由图可知cm，cm. 海报纸的周长为cm. 故海报纸的周长为900 cm.（8分） （2）由（1）知，，， ， 当且仅当，即cm，cm时等号成立， 此时，cm，cm. 故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $