第21章二次函数与反比例函数 单元监测卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年九上数学沪科版第21章单元监测卷，聚焦二次函数与反比例函数，通过基础巩固、能力提升及创新应用梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象、模型意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次函数图象性质、平移、反比例函数基础|结合图象辨析，考查几何直观| |填空题|8题|函数解析式、最值、不等式解集|创新定义“同向共轴抛物线”，培养推理意识| |解答题|5题|函数综合应用、实际建模（喷灌、实心球）|联系“口袋公园”“体育训练”情境，体现数学与现实世界的联系，发展应用意识|

2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元监测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 2．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 5．二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 7．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 9．如图，点，，以线段为边在第二象限作矩形，双曲线（）过点D，连接，若四边形的面积为6，则k的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的边长为4，，点从点出发，沿匀速运动，终点为，设点运动的路程为，的面积为（不妨设当点与点或点重合时，），则关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．反比例函数的图象经过，，则的值为______． 12．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 13．我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为______． 14．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为_______． 15．2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 16．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 17．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 18．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 三、解答题 19．已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 20．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与x轴交于点C． (1)求，n的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点处，连接，求的面积． 22．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 23．如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元监测卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C A C C B B A 1．C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 2．B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 3．A 【分析】抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为． 4．C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 5．A 【分析】根据二次函数性质，，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，图象为抛物线即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是轴， ∴A选项图象正确. 6．C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．C 【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 8．B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 9．B 【分析】过D作轴于M，根据相似三角形的性质和判定求出．设，则，根据三角形的面积求出x，即可求出和，得出答案即可． 【详解】解：∵点，， ∴，， 过D作轴于M，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 设，则， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， 解得：， 则，，， 即D点的坐标为， ∴． 10．A 【分析】先分段求出关于的函数解析式，再根据解析式画出函数图象． 【详解】解：①当，即点在上时， 如下图所示，过点作，交的延长线于点，则， ， ， ， ， ，即； ②当，即点在上时， 如下图所示，过点作，交的延长线于点，则， 四边形为边长为4的菱形， ，， ， ， ，即； ③当，即点在上时， 如下图所示，过点作于点，则，， 四边形为边长为4的菱形， ，， ， ，即； ， 综上所述，， 函数图象如下图所示：． 11．2 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入函数解析式列出方程求解 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴， 又∵图象经过点， ∴． 故答案为：2． 12． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解． 【详解】解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线 两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度， 的顶点为或，且 ∴该抛物线的解析式为或． 故答案为：或 14．/ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线与轴的交点问题，利用交点来确定不等式的解集，因为二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，所以二次函数与轴的另一个交点为，再结合开口方向向下，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴， ∴二次函数与轴的另一个交点为， 由图得出二次函数的开口方向向下， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15．20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米，当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得： 解得， ∴抛物线解析式为：， 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ． 故答案为：20． 16． 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 17．9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 18． 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，则只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则： 解得或， ∴， ∵，轴， ∴ ∴当时，自变量的取值范围是． 19．(1)反比例函数表达式为，一次函数解析式为； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点的坐标为，求出直线与轴交点的坐标为，得到，可得的面积，即为的面积，可得，即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得， ∴反比例函数表达式为， 将点代入得， ∴， 将点、的坐标代入一次函数解析式得到 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵是轴上一点， ∴设点的坐标为， 当时，， 解得， ∴直线与轴交点的坐标为，故； ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴点坐标为或． 20．(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 21．(1) (2)或 (3)6 【分析】(1)根据反比例函数的性质，得，计算即可． (2)根据图像交点的横坐标，结合图像，直接写出答案即可． (3)根据题意，得到，确定直线的解析式，得到点，过点C作轴，交于点D，根据计算即可． 【详解】（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与x轴交于点C， ∴， 解得． （2）∵，，且， ∴不等式的解集是或． （3）∵，根据题意，得到， 设直线的解析式分别，， ∴， 解得， ∴直线的解析式分别为，， ∴点，如图，过点C作轴，交于点D，过点作于点F，过点B作于点E， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的解析式，三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法求解析式，活用函数的性质是解题的关键． 22．(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 23．(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $