第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷 -2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 沪科版九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》基础卷，立足单元复习，以吸管乐器、新能源汽车等科技情境及杠杆平衡、小孔成像等生活实例为载体，覆盖函数概念、图像性质及应用，适配单元核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|反比例函数k值、二次函数图像性质及平移|结合吸管乐器频率与长度关系，考查概念辨析，体现数学眼光| |填空题|4/16|顶点坐标、最值、函数图像解集|以小孔成像实验为背景，强化图像应用，发展数学思维| |解答题|7/68|函数建模（小球下落）、实际应用（隧道截面、新能源汽车续航）、综合探究（机器人销售额与利润）|设置新能源汽车续航、机器人拔河赛等真实问题，体现数学建模与数据分析，梯度覆盖基础巩固到创新应用，培养数学语言表达能力|

第21章《二次函数与反比例函数》基础卷-2026-2027学年沪科版（新教材）数学九年级上册单元测试卷 一、选择题(共12题；共36分) 1．若点P(2，-3)在反比例函数 的图象上，则k的值为(　　) A．6 B．- 6 C． D． 2．下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（　　） A．y=2x2 B．y=-x+3 C．y=-x2 D．y=x-1 3．对于抛物线 以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5， 4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小 4．二次函数 的一次项系数是(　　). A．-5 B．1 C．3 D．5 5．将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线 上有三点(-2，y1)，(-1，y2)，(2，y3)， 则y1， y2， y3的大小关系为(　　) A． B． C． D． 7．二次函数 的图象与x轴的交点个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 8．要得到抛物线，可以将抛物线（　　） A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 9．用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 10．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p(单位： Pa)与受力面积S(单位：m2)存在函数关系.下表是他们实验的几组数据： S (单位： m2) 1 2 4 8 p(单位： Pa) 80 40 20 10 则压强p (Pa)与受力面积S (m2)之间的函数关系式是(　　) A． B．p =80S C． D． 11．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数-1“仰顶函数”。若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　） A．n<-2 B．n≤-2 C．n>2 D．n≥2 二、填空题(共4题；共16分) 13．二次函数的顶点坐标是 　 　． 14．当x=　 　时，二次函数. 有最　 　值0 15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数的图象交于A、B两点，当x>0时，请利用函数图象直接写出不等式的解集是　 　 16．某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是　 　． 三、解答题(共7题；共68分) 17．小球从离地面为 h (单位：m)的高处自由下落，落到地面所用的时间为 t (单位：s).经过实验，发现 h与t2成正比例关系， 而且当h=20时， t=2. （1）求h关于 t的函数解析式；(不用写出自变量的取值范围) （2）若小球落地所用的时间为4s，求其离地面的高度是多少? 18．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）y与x之间的函数表达式为____________； （2）当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为． （1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； （2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 20．如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． （3）根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 21．我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”.某企业测试一款新型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度x(公里/小时) 50 60 70 80 90 基础能耗y(千瓦时/百公里) 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 该款电动汽车的电池容量为60.48千瓦时，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍． 实际续航里程=(单位：公里). （1）请你根据表格数据在下图的坐标系中画出相应的点. （2）结合(1)中所描点的分布特征，从一次函数、二次函数、反比例函数中选择最符合基础能耗y与行驶速度x之间关系的函数，并求出该函数表达式. （3）当汽车匀速行驶且速度介于60公里/小时到85公里/小时之间（含60与85）时，求实际续航里程的最小值. 22． 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 23．根据以下素材，探索完成任务： 背景 第二届世界人形机器人运动会将于2026年8月22日至26日在北京举办，吸引众多队伍与科创企业参与． 素材1 与上届相比，本次运动会赛项更为丰富，新增了机器人拔河项目，该项目采用单循环赛制，每两支参赛队伍之间均比赛一次，最终通过积分、得失分率等指标确定名次，本次机器人拔河项目一共进行了55场比赛． 素材2 某品牌机器人8月份销售额为200万元，受赛事带动，该品牌机器人销售额连续两个月稳步增长，10月份销售额达到242万元． 素材3 该品牌机器人每台生产成本为6000元，定价为8000元时，平均每天能售出10台；售价每降低80元，平均每天就能多售出2台．为提高利润，某商家计划开展打折促销活动． 问题解决 任务1 根据素材1，求拔河项目共有多少支参赛队伍； 任务2 根据素材2，求该品牌机器人销售额的月平均增长率； 任务3 根据素材3，若想使该品牌机器人的利润最高，商家应该打几折出售?每日最高利润为多少元? 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】A 13．【答案】 14．【答案】－1；小 15．【答案】1＜x<4 16．【答案】 17．【答案】（1）解：根据题意，设函数解析式为 ∵当h=20时， t=2， ∴20=4k， 即k=5. ∴h关于t的函数解析式为 （2）解： 由(1) 知 ∴当t=4时， ∴其离地面的高度是80m. 18．【答案】（1） （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． ​​​​​​​ 19．【答案】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为， 又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； （2）解：这辆货车能安全通过，理由如下： 根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 20．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． （3）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 21．【答案】（1）解：描点如图： ​​​​​​​ （2）解：从点在坐标系中的分布特征，判断出二次函数最符合 y 与 x 之间的关系； 设二次函数的表达式为 y=a(x-70)2+11.55(a ≠ 0) ， 选取点(60，11.75)代入得： 11.75=a(60-70)2+11.55 ，解得 a=0.002， 所以 y=0.002(x-70)2+11.55 . 经检验，(50，12.35)，(80，11.75)，(90，12.35)满足 y=0.002(x-70)2+11.55 所以 y=0.002(x-70)2+11.55 或 y=0.002x2-0.28x+21.35. （3）解：当x=85时，基础能耗取到最大值，代入得y=0.002(85-70)2+11.55=12 所以实际续航里程==420 公里. 答：当匀速速度为85公里/小时，该款车实际续航里程取到最小值420公里． 22．【答案】（1）解：把A(-2，a)代入 ， 得a=4， 所以点A(-2，4)， 将A(-2，4)代入y=kx， 得4=-2k，解得k=-2 （2）解：由题意知点B在正比例函数y=-2x上，则设B(t，-2t)， 因为BD||x轴，则点D的纵坐标为-2t， 代入反比例函数解析式得D， 因为BD=2， 所以， 因为点B在线段OA上，所以-2<t<0 所以解得t=， 所以 （3）解：由题意知，关于轴对称的图象为， 射线OA的解析式为y=-2x， 则射线绕点旋转后的解析式为， 联立得：， 解得x=4或-4， 则两个交点坐标为：(4，2)，(-4，-2)。 故射线绕点旋转后与的交点坐标为或 23．【答案】解：任务1解：设共有n支参赛队伍， 解得 (不合题意，舍去) 答：共有11支参赛队伍． 任务2解：设该品牌销售额的月平均增长率为x， 解得 (不合题意，舍去) 0.1=10% 答：该品牌销售额的月平均增长率为10%． 任务3【法1】解：设商家应该降价y元出售， 利润=(8000-6000-y)(10+y+80×2) 当y=800时，原式有最大值36000 答：应打九折出售，每日最高利润为36000元． 【法2】解：设商家应该打y折出售， 利润= =(800y-6000)(10+200-20y) 当y=9时，原式有最大值36000 答：应打九折出售，每日最高利润为36000元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $