第21章 二次函数与反比例函数（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 沪科版新教材第21章二次函数与反比例函数拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖核心知识，以文化情境（如京剧“踢枪”）和几何综合题体现数学眼光、思维与语言，适配单元复习拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|二次函数平移、性质，反比例函数图像|结合模拟题，考查抽象能力与几何直观| |填空|6/18|函数图像与坐标，解析式确定|设置开放题（如第12题），培养创新意识| |解答|7/72|函数与几何综合、实际应用（如“踢枪”轨迹）|以京剧“踢枪”为情境（21题），综合考查模型观念与推理能力，贴合中考命题趋势|

第21章 二次函数与反比例函数·拔尖卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 3．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 4．（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知反比例函数的图像如图所示，则在同一直角坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数（，）的图象经过点，设，则t的最小值是（     ） A． B． C． D．0 8．（25-26八年级下·重庆万州·期末）在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 9．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在平面直角坐标系中，的图像交轴于点、（在的左侧）若抛物线上有一点，连接，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 10．（2026·四川泸州·模拟预测）已知点的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 12．（2026·陕西渭南·二模）已知点和点在反比例函数（为常数，且）的图象上，若，则的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 13．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 14．（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 15．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽 ，则底部直径的长为____． 16．（2026·湖北武汉·三模）抛物线（a，b，c是常数，其中）经过和两点，下列五个结论： ①；②；③若抛物线与x轴交于和两点，，则，；④对任意实数x，不等式恒成立；⑤若抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，．则直线与抛物线的交点为与．其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点． (1)设二次函数图象的顶点的纵坐标为t，求t的最大值； (2)已知：A为抛物线的顶点． ①当时，求k的值， ②若，当二次函数值小于正比例函数值时，求x的取值范围． 18．（8分）（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、． (1)如果点的横坐标为，求的面积； (2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 19．（10分）（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 20．（10分）（25-26八年级下·上海·期末）已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 21．（12分）（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 22．（12分）（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式； (2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 23．（14分）（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若 ，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次函数与反比例函数·拔尖卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线平移规律得到新抛物线解析式，再结合二次函数开口方向和顶点的性质，分析满足条件的顶点纵坐标范围，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵原抛物线为，向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线解析式为，整理得， ∵， ∴抛物线开口向上，函数最小值为顶点纵坐标， ∵新抛物线上点到轴的距离为1，即， ∴或， ∵抛物线开口向上，且与这两条直线总共有2个交点，所以抛物线的顶点纵坐标必须在和之间 ∴， 解得． 2．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 3．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 4．（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知反比例函数的图像如图所示，则在同一直角坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，对系数、的符号进行判断是解题关键． 先由反比例函数图像判断出，再逐一验证每个选项中一次函数和二次函数的、符号是否一致且满足． 【详解】解：据题可知，， 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，符合要求； 故选：． 5．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数（，）的图象经过点，设，则t的最小值是（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先利用二次函数过已知点得到与的关系，结合条件得到的取值范围，将化为关于的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值． 【详解】解：∵ 二次函数的图象经过点， ∴， 整理得 ， ∵ ， ∴ ， 可得 ， 将代入 得 ， 该式是关于的二次函数，二次项系数，开口向上，对称轴为， ∵ 区间在对称轴右侧，函数在对称轴右侧t随a增大而增大， ∴ 当时，取得最小值，代入计算得． 8．（25-26八年级下·重庆万州·期末）在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点，先求出平行四边形得面积，再求出的面积，根据反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点， ∵、两点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 9．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在平面直角坐标系中，的图像交轴于点、（在的左侧）若抛物线上有一点，连接，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求抛物线与轴交点的坐标，分两种情况讨论：在轴上方，在轴下方，得到直线的解析式，联立抛物线方程得到点坐标，最后用勾股定理计算的长度即可． 【详解】对于，令，则， 因式分解得， 解得，， 在的左侧， ，， ，， 分两种情况讨论： 在轴上方，如图，过点作交于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得（对应点，舍去），， 代入得，即， 由勾股定理得； 在轴下方，如图，设交轴于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得（对应点，舍去），， 代入得，即， 由勾股定理得； 综上，的长为或． 10．（2026·四川泸州·模拟预测）已知点的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：当线段与函数的图象恰有1个公共点，令，，求出c的值，当线段与函数的图象恰有3个公共点，抛物线与轴交点纵坐标为1，可求c的值，进而得出取值范围；当线段与函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出c的值，当线段与函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求c的值，进而得出取值范围． 【详解】解：如图1所示：线段与函数的图象恰有1个公共点． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，即， 解得； 如图2所示：线段与函数的图象恰有2个公共点． 抛物线与轴交点纵坐标为1， ， 解得：； 当时，线段与二次函数的图象恰有2个公共点； 如图3所示：线段与二次函数的图象恰有3个公共点． 抛物线经过点， ． 如图4所示：线段与二次函数的图象恰有2个公共点． 抛物线经过点， ， 解得：． 当时，线段与函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，c的取值范围是或． 【点睛】本题以分段二次函数与线段交点为载体，结合抛物线对称轴、顶点与特殊点代入，通过临界值分析与分类讨论确定参数范围，体现了数形结合与分类讨论的核心数学思想． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴处，函数取得最大值，分别计算点、点、点横坐标到对称轴距离进行比较即可． 【详解】解：由函数表达式可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小，在对称轴处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大，距离对称轴越远的点，函数值越小， 分别计算，点，三点的横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， ∴． 12．（2026·陕西渭南·二模）已知点和点在反比例函数（为常数，且）的图象上，若，则的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据两点纵坐标的符号，结合反比例函数的性质，判断满足时反比例函数比例系数的符号，得到的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（为常数，且）的图象上，且， ∴当时，即，则反比例函数图象位于第一、三象限， 纵坐标为正的点在第一象限，得；纵坐标为负的点在第三象限，得， 此时满足，符合题意； 当时，即，则反比例函数图象位于第二、四象限， 纵坐标为正的点在第二象限，得；纵坐标为负的点在第四象限，得， 此时，不满足条件，不符合题意， ∴的取值范围为， 则的值可以是（答案不唯一）． 13．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 14．（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据反比例函数k的几何意义求出，进而求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是6， ∴．， ∴， ∴． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 15．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽 ，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵ ， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 16．（2026·湖北武汉·三模）抛物线（a，b，c是常数，其中）经过和两点，下列五个结论： ①；②；③若抛物线与x轴交于和两点，，则，；④对任意实数x，不等式恒成立；⑤若抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，．则直线与抛物线的交点为与．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点求对称轴，结合对称轴公式判断①；计算的函数值结合的符号判断②；利用零点存在性判断交点范围得到③；计算二次函数最小值，判断不等式是否恒成立得到④；结合二次函数增减性与对称轴的关系，验证交点坐标判断⑤，逐一分析各结论即可． 【详解】解：抛物线经过和， 抛物线对称轴为直线， 整理得，故①正确； ， ， 当时，， ， ，故②正确； 当时，；当时，， 抛物线与x轴的一个交点在和之间， 抛物线对称轴为直线 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 抛物线与x轴交于和两点，， ，，故③正确； 将代入抛物线得， ，即， ， ， ， 解得：， 抛物线开口向上，最小值在对称轴处，为， 代入，得，最小值为， 若恒成立，则需， 整理得，与矛盾，故④错误； 由题意可知，当时，， ， ，即， 当时，随增大而减小，时随增大而增大， 开口向上， 对称轴为直线， 抛物线对称轴为， ，即， ，解得：， ，， ， 令，解得：，， 直线与抛物线的交点为与，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①②③⑤． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点． (1)设二次函数图象的顶点的纵坐标为t，求t的最大值； (2)已知：A为抛物线的顶点． ①当时，求k的值， ②若，当二次函数值小于正比例函数值时，求x的取值范围． 【答案】(1)t的最大值为-4； (2)①；②x的取值范围是． 【分析】（1）先推导出二次函数，得到，即可解答； （2）①推导出，代入正比例函数，求出，则或（不符合题意，舍去），即可解答； ②推导出A、B关于原点O对称，得到也在抛物线上，求出，得到，推导出二次函数为，正比例函数为，再根据当二次函数值小于正比例函数值时，，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数，顶点的纵坐标为t， ∴， ∵在函数中，二次项系数，抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，取得最大值为； （2）解：①∵二次函数的顶点为， ∴将代入正比例函数，得 ， 解得， ∴或（不符合题意，舍去）； ②∵， ∴A、B关于原点O对称， ∵， ∴也在抛物线上， ∴， 解得， ∴或， 将代入，得 ∴正比例函数的解析式为， 将代入，得（不符合题意，舍去）， ∴二次函数的解析式为，正比例函数的解析式为， 当二次函数值小于正比例函数值时， ， 解得， ∴x的取值范围是． 18．（8分）（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、． (1)如果点的横坐标为，求的面积； (2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)解：不会，理由如下： 如图，连接、，设与轴的交点为， ∵轴， ∴，轴， 由反比例函数的几何意义可知， ，， ∴为定值． 【分析】（1）先求出点、的坐标，再求出的面积即可； （2）连接、，设与轴的交点为，由反比例函数的几何意义可知，，由等积变形可得为定值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵点是轴上任意一点， ∴点到直线的距离为， ∴； （2）略 19．（10分）（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：代入，得： ， 解得：， 故表达式为． （2）解：∵， ∴原函数顶点为 ， 当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， ∵， ∴， ∵新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或． 20．（10分）（25-26八年级下·上海·期末）已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）过点B作于点H，易得，设，求出，进而得到，设，代入双曲线，即可求解； （2）设，求出，分或或，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点B在第一象限， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或或， 当时，则，即， ∴， 解得或（与点重合，舍去）， ∴； 当时，则，即， ∴， 解得或， ∴或； 当时，则，即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 21．（12分）（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 22．（12分）（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式； (2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②不会发生改变．理由如下： ∵设点A的坐标为， ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ， ． 即． ． 【分析】（1）利用反比例函数的性质求解； （2）①根据函数解析式求出点纵坐标，设点D的坐标为，点E的坐标为，得出，然后利用割补法表示出三角形的面积即可； ②设点A的坐标为，表示出点D的坐标为，点E的坐标为，然后利用割补法表示出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵矩形的面积为4， ∴， ∴或， ∵函数图象位于第一象限， ∴ ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：①∵点A的横坐标为4， ∴， ∴点A的纵坐标为1． ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ． 即． ； ②略 23．（14分）（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若 ，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】（1）当时，则，即可求出点B，进而可求出，当时，则，求出点A，B的坐标，进而可求出． （2）由全等三角形的性质得出点E在一三象限的角平分线上，即直线在一次函数上，又点E在二次函数解析式上，联立建立关于m的一元二次方程，求解即可得出m的值． （3）①过点作于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得出，，根据三角形直角边小于斜边得出，根据一次函数的图象和性质求出点E的坐标，得出，进而可求出m的取值范围，最后结合题干m的范围得出最终的范围． ②分两种情况求解，四边形为矩形或者正方形，根据矩形或者正方形的性质结合四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半建立关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， ∴， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知， 若 ， ∴， ∴点E在一三象限的角平分线上 ∴， ∴点E到x轴的距离等于点E到y轴的距离， 即直线在一次函数上， ∵是抛物线上一动点， ∴， 又∵在一次函数上， ∴， ∴ 解得：． （3）解：①过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵点和点到直线距离之和不超过， ∴， ∴，即， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴直线的一次系数为， 故设直线的解析为， 把代入， 则， ∴， ∴直线的解析为， 把代入，得， ∴点， 又∵点， ∴， 则，解得 或， ∵， ∴，或； ②根据题意可知四边形为矩形或者正方形， ∵，点，点， ∴，， 根据题意可知当时，四边形为正方形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 则，解得，或， ∵点在对称轴右侧的抛物线上， ∴， ∴； 设线段与直线交于点I，线段与直线交于点K，根据题意可知当时，四边形为矩形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 同理可得，点，点，点， ∵直线的解析式为， ∴点，点， 则，解得，或， ∵， ∴， 综上所述，当或时，四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，难度较大，涉及二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质、等腰三角形的性质和判定、解不等式、正方形的性质和矩形的性质等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和特殊四边形的性质，以及动态思想的应用． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $