九年级数学上学期9月学情自测（新教材人教版第26，27章，高效培优·强化卷）

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数，通过台灯调节、仿生机器人跳跃等真实情境，考查抽象能力与模型意识，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数平移/性质、反比例函数图像|结合台灯电流电阻等生活情境| |填空题|6/26|二次函数参数、反比例函数应用|融入科研机器人跳跃时间计算| |解答题|9/94|函数与几何综合、实验数据建模|24题结合物理阻力实验探究运动距离，21题用二次函数证明乘积最大规律|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十六章~第二十七章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 2．若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 4．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 5．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 6．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 7．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 8．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（     ） A．菱形的边长为 B．自变量的取值范围为 C．与之间的函数图象是抛物线的一部分 D．的最小值为 9．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 10．如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11．已知关于的函数是二次函数，则 __________． 12．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 13．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 14．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 15．如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点，若，则_____． 16．已知抛物线． （1）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为___ _； （2）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____ ． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 18．（本题8分）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 19．（本题8分）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 20． （本题10分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 21．（本题10分）猜想与应用 (1)观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ (2)如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 22．（本题12分）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 23．（本题12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围； (3)直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小，求出点的坐标及的最小值为 （填空）． 24．（本题12分）综合与实践 在学习了二次函数之后，数学兴趣小组对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”有了新的认识．于是对一个静止的小球从斜坡上滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究． 【实验过程】如图1是一个含有两个斜坡的轨道的截面，该图形是一个轴对称图形，两个斜坡材质等都完全一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、运动距离（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下表： 【建立模型】 （1）观察表格发现是的__________（填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”），函数表达式为__________． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出关于的函数图象，观察发现是的__________（填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）．请求出关于的函数表达式． 【拓展应用】 （3）①求黑球在水平木板上运动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 运动时间 运动速度 运动距离 25. （本题14分）抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十六章~第二十七章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【详解】：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 2．若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标，∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标，∴该点在第四象限，，∴． 3．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大，∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等，∴值相等， ∵时，，∴时，． 4．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【详解】A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 5．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】∵二次函数的图象经过点，∴，解得， 将代入方程，得，移项得，开方得， ∴，． 6．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【详解】解：，点的坐标为，抛物线的对称轴为， ，，点的横坐标为：， 当时，，点纵坐标为14， 点的纵坐标为，，，即杯子的高度为11． 7．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】∵是二次函数，∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点，∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 8．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（     ） A．菱形的边长为 B．自变量的取值范围为 C．与之间的函数图象是抛物线的一部分 D．的最小值为 【答案】C 【详解】A、设菱形边长为，由菱形对角线互相垂直平分可知， 即．由图3可知，当时，，代入得，解得， 故A正确． B、由图3可知，的取值范围为，故B正确． C、由可知，，图象不是抛物线，故C错误． D、当时，取得最小值，，解得，故D正确． 9．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线，∴，解得， ∴，∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，∴时，， 当时，，∵，∴， ∴n的取值范围是． 10．如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接， ∵二次函数图象经过，且有最小值，∴二次函数对称轴为直线， ∴二次函数顶点坐标为，设二次函数解析式为，∴，∴， ∴二次函数解析式为， ∵A点关于y轴的对称点为B点，，∴，∴， 当时，，∴，∴， 在中，由勾股定理得， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∴当最小时，也最小，∴当时，有最小值，即有最小值， ∴，∴， 故选B． 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11．已知关于的函数是二次函数，则 __________． 【答案】 【详解】，即． 12．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【详解】设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上，则，解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 13．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 【答案】4 【详解】依题意，令时，则，解得，则， ∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为． 14．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【详解】∵二次函数中，，∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小，∴． 15．如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点，若，则_____． 【答案】3 【详解】连接、， 四边形是平行四边形， 点、点到对角线的距离相等，， 轴，，， 设点，，． 16．已知抛物线． （1）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为___ _； （2）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____ ． 【答案】（1） 或 （2） 【详解】（1）抛物线沿y轴向下平移个单位，可得， ∵抛物线的顶点落在x轴上，∴，解得：或； （2）①当时，则抛物线开口向上，若，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴，即，∴或，解得：或， 又∵，∴． ②当时，则抛物线开口向下，若，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴，即，∴，解得：，又∵，故此情况不成立； 综上：． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【详解】（1）（4分）解：设，∵当时，，，解得，； （2）（2分）解：把代入，得； （3）（2分）解：把代入，得，解得． 18．（本题8分）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【详解】（1）（3分）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）（5分）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 19．（本题8分）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 证明：对于二次函数，当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 20． （本题10分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【详解】（1）（3分）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为，即； （2）（7分）解：∵， ∴当时，，． ∵A点坐标为，对称轴为直线，， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得，∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 21．（本题10分）猜想与应用 (1)观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ (2)如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 【详解】(1) （5分）解：猜想，的积最大，理由如下： 由题意，两个两位数的和为，是定值，设其中一个两位数为，则另一个两位数为， 设这两个两位数的积为，则有， ，∴当时，有最大值，故的积最大． (2) （5分）∵四边形的对角线互相垂直，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴当时，四边形的面积最大，为． 22．（本题12分）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【详解】（1）（3分）解：将，代入，得， 解得； （2）（4分）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，时，取最大值， 将代入，得，的最大值为6； （3）（5分）解：将代入得，抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 23．（本题12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围； (3)直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小，求出点的坐标及的最小值为 （填空）． 【详解】（1）（4分）解：∵ 反比例函数的图象过点，∴，解得    ， ∴反比例函数解析式为； 将代入，则，∴； 把，代入， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； （2）（4分）∵点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 又∵，∴， 即一次函数图象应在反比例函数图象上方， 用图像法观察可得，当时，的取值范围为：或； （3）（4分）∵点在直线上, 且横坐标为，∴，即， ∵直线与轴交于点，∴； ∵要在轴上作一点，使的值最小, ∴作关于轴的对称点， ∵轴是的垂直平分线，所以对于轴上任意一点，都有：， ∴，∴当，，三点共线时，最小， 设直线，把和代入得： ，解得， ∴直线表达式为：， 令则，即； ∴， ∴点Q的坐标为；的最小值为． 24．（本题12分）综合与实践 在学习了二次函数之后，数学兴趣小组对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”有了新的认识．于是对一个静止的小球从斜坡上滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究． 【实验过程】如图1是一个含有两个斜坡的轨道的截面，该图形是一个轴对称图形，两个斜坡材质等都完全一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、运动距离（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下表： 【建立模型】 （1）观察表格发现是的__________（填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”），函数表达式为__________． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出关于的函数图象，观察发现是的__________（填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）．请求出关于的函数表达式． 【拓展应用】 （3）①求黑球在水平木板上运动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 运动时间 运动速度 运动距离 【详解】（1）（3分）观察表格数据可得是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）（3分）如答图所示即为所求． 观察发现是的二次函数，设． 二次函数经过点，解得 （3）（6分）①，抛物线的对称轴为直线 当时，，的最大值为 答：黑球在水平木板上运动的最大距离为． ②能相遇，理由如下： 整理得． 解得（不合题意，舍去）． 当时，． 答：两球会在水平木板的某个位置相遇，相遇点到点的距离为． 25. （本题14分）抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）（2分）解：把分别代入和，得，， ，； （2）（6分）解：由（1）得，直线解析式为，抛物线解析式为． 当时，．． 当时，．． ，∴点B在点A的上方．． 当时，．解得，． ，点M在点N的左侧，，． ．． ，，，． (3) （6分），理由如下：连接， 由（2）得，，，． 抛物线的对称轴为直线． 轴，∴点B，D关于直线对称．为中点，． 设抛物线的对称轴与交于点Q，则． ．． 又∵M，N关于直线对称，．． ，， ，．．．． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C A B D C C B 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11．． 12． 50 13． 4 14． 15．3 16．（1） 或 （2） 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分） 【详解】（1）（4分）解：设，∵当时，，，解得，； （2）（2分）解：把代入，得； （3）（2分）解：把代入，得，解得． 18．（本题8分） 【详解】（1）（3分）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）（5分）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 19．（本题8分）证明：对于二次函数，当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 20． （本题10分） 【详解】（1）（3分）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为，即； （2）（7分）解：∵， ∴当时，，． ∵A点坐标为，对称轴为直线，， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得，∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 21．（本题10分） 【详解】(1) （5分）解：猜想，的积最大，理由如下： 由题意，两个两位数的和为，是定值，设其中一个两位数为，则另一个两位数为， 设这两个两位数的积为，则有， ，∴当时，有最大值，故的积最大． (2) （5分）∵四边形的对角线互相垂直，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴当时，四边形的面积最大，为． 22．（本题12分） 【详解】（1）（3分）解：将，代入，得， 解得； （2）（4分）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，时，取最大值， 将代入，得，的最大值为6； （3）（5分）解：将代入得，抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 23．（本题12分） 【详解】（1）（4分）解：∵ 反比例函数的图象过点，∴，解得    ， ∴反比例函数解析式为； 将代入，则，∴； 把，代入， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； （2）（4分）∵点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 又∵，∴， 即一次函数图象应在反比例函数图象上方， 用图像法观察可得，当时，的取值范围为：或； （3）（4分）∵点在直线上, 且横坐标为，∴，即， ∵直线与轴交于点，∴； ∵要在轴上作一点，使的值最小, ∴作关于轴的对称点， ∵轴是的垂直平分线，所以对于轴上任意一点，都有：， ∴，∴当，，三点共线时，最小， 设直线，把和代入得： ，解得， ∴直线表达式为：， 令则，即； ∴， ∴点Q的坐标为；的最小值为． 24．（本题12分） 【详解】（1）（3分）观察表格数据可得是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）（3分）如答图所示即为所求． 观察发现是的二次函数，设． 二次函数经过点，解得 （3）（6分）①，抛物线的对称轴为直线 当时，，的最大值为 答：黑球在水平木板上运动的最大距离为． ②能相遇，理由如下： 整理得． 解得（不合题意，舍去）． 当时，． 答：两球会在水平木板的某个位置相遇，相遇点到点的距离为． 25. （本题14分） 【详解】（1）（2分）解：把分别代入和，得，， ，； （2）（6分）解：由（1）得，直线解析式为，抛物线解析式为． 当时，．． 当时，．． ，∴点B在点A的上方．． 当时，．解得，． ，点M在点N的左侧，，． ．． ，，，． (3) （6分），理由如下：连接， 由（2）得，，，． 抛物线的对称轴为直线． 轴，∴点B，D关于直线对称．为中点，． 设抛物线的对称轴与交于点Q，则． ．． 又∵M，N关于直线对称，．． ，， ，．．．． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $