学易金卷：九年级数学9月学情自测卷（新教材苏科版九年级上册第1～2章：一元二次方程+二次函数）

**基本信息** 聚焦苏科版九年级上册第1~2章，以一元二次方程和反比例函数为核心，通过基础辨析（如选择1题定义判断）、实际应用（如21题羊圈设计）及函数几何综合（如27题正方形存在性探究），考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|方程定义、函数图象性质|基础概念辨析，如第5题根的判别式判断| |填空题|10/20|配方法、根与系数关系、k值求解|小综合应用，如第13题结合方程根求代数式值| |解答题|11/88|方程应用、函数综合、动态几何|分层设计，含生活情境（24题T恤销售利润）、跨知识综合（26题矩形运动与方程）及创新探究（27题对称点与直角三角形存在性）|

11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7._______________ 11. ______________ 15. ______________ 8. _______________ 12. ______________ 16. ______________ 9. ________________ 13.________________ 10. ________________ 14. ________________ 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（8分） 21．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（7分） 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（12分） （1） ； ； （2） ； （4） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][V][/] 一、单项选择题： 本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共10小题， 每小题2分，共20分。 9. 10. 11. 12 13 4 15. 16 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) 20.(8分) 21.(7分) A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) y A o 之 23.(8分) 710 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) Y个 26.(10分) A D B Q 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) 图0 备用D 各用图2 (1) (2) (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 2．反比例函数的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．若x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 4．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＝﹣y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 5．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．反比例函数的图象经过点P（﹣3，4），则k的值为　 　 ． 8．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣2）2＝m的形式，则m的值是 　 　 ． 9．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于点A（m，n），B（m﹣4，n﹣6），则k的值为　 　 ． 10．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是　 　 ． 11．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 12．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．若点A的横坐标为4，则当时，x的取值范围为　 　 ． 13．设m，n是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　 ． 14．反比例函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是　 　 ． 15．如图，直线l经过点A（﹣3，0）和点B（0，），交反比例函数的图象于点C，过点C作CM⊥x轴于点M，若AM＝3OA，则反比例函数表达式为 　 　 ． 16．如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为 　 　 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。 17．（6分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x+5＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程有一个根为﹣2，求a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 20．（8分）已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集． 21．（7分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，函数y1（x＞0）和直线y2＝kx+6（k为常数，且k≠0）的图象如图所示，若函数y1与y2的图象有一个交点A（2，m）． （1）求m，k的值； （2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，分别交函数y1和y2的图象于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值． 23．（8分）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a），点P在线段OA的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求点B的坐标． 24．（8分）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 25．（10分）如图已知直线y＝kx+5（k＜0）与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线y（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设C点坐标为（a，b），t＝OD•DA （1）当a＝4时，求k•t的值； （2）求证：ka2+5a＝4； （3）随着a的变化，k•t的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 27．（12分）如图①，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象，在第一象限内交A、B两点，连接OA、OB，已知点A的坐标为（2，6），且OA＝OB．请结合图象解答下列题． （1）反比例函数的关系式为　 　 ，一次函数的关系式为　 　 ； （2）△AOB的面积为　 　 ； （3）点M是反比例函数图象上点A（2，6）右侧一点，点N在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点P，使得四边形AMPN为正方形．若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由； （4）直线l经过原点，点A′是点A关于直线l的对称点，且点A′在第三象限反比例函数图上，点Q在直线l上，若△AQ′A为直角三角形，则符合条件的点Q的坐标有　 　 ． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 2．反比例函数的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．若x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 4．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＝﹣y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 5．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．反比例函数的图象经过点P（﹣3，4），则k的值为　 　 ． 8．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣2）2＝m的形式，则m的值是 　 　 ． 9．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于点A（m，n），B（m﹣4，n﹣6），则k的值为　 　 ． 10．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是　 　 ． 11．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 12．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．若点A的横坐标为4，则当时，x的取值范围为　 　 ． 13．设m，n是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　 ． 14．反比例函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是　 　 ． 15．如图，直线l经过点A（﹣3，0）和点B（0，），交反比例函数的图象于点C，过点C作CM⊥x轴于点M，若AM＝3OA，则反比例函数表达式为 　 　 ． 16．如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为 　 　 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。 17．（6分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x+5＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程有一个根为﹣2，求a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 20．（8分）已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集． 21．（7分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，函数y1（x＞0）和直线y2＝kx+6（k为常数，且k≠0）的图象如图所示，若函数y1与y2的图象有一个交点A（2，m）． （1）求m，k的值； （2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，分别交函数y1和y2的图象于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值． 23．（8分）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a），点P在线段OA的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求点B的坐标． 24．（8分）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 25．（10分）如图已知直线y＝kx+5（k＜0）与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线y（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设C点坐标为（a，b），t＝OD•DA （1）当a＝4时，求k•t的值； （2）求证：ka2+5a＝4； （3）随着a的变化，k•t的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 27．（12分）如图①，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象，在第一象限内交A、B两点，连接OA、OB，已知点A的坐标为（2，6），且OA＝OB．请结合图象解答下列题． （1）反比例函数的关系式为　 　 ，一次函数的关系式为　 　 ； （2）△AOB的面积为　 　 ； （3）点M是反比例函数图象上点A（2，6）右侧一点，点N在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点P，使得四边形AMPN为正方形．若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由； （4）直线l经过原点，点A′是点A关于直线l的对称点，且点A′在第三象限反比例函数图上，点Q在直线l上，若△AQ′A为直角三角形，则符合条件的点Q的坐标有　 　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、是二元二次方程，故本选项错误； D、当m＝1时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 2．反比例函数的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限． 【解答】解：∵y，k＝﹣6＜0， ∴函数图象过二、四象限． 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的图象和性质：当k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限，比较简单，容易掌握． 3．若x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0中即可求出a的值． 【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0中，得2×12﹣5×1+a＝0， 解得a＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 4．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＝﹣y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题． 【解答】解：∵函数， ∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小， ∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2， ∴y1＜y2， 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 5．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】对于ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根，据此即可解答． 【解答】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键． 6．反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故不可能是选项A、B； 由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故不可能是选项C，可能是选项D； 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．反比例函数的图象经过点P（﹣3，4），则k的值为　﹣12　 ． 【分析】将点P（﹣3，4）代入已知函数式，列出关于系数k的方程，通过解该方程即可求得k的值． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（﹣3，4）， ∴点P（﹣3，4）满足反比例函数， 则k＝yx＝4×（﹣3）＝﹣12． 故答案为：﹣12． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 8．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣2）2＝m的形式，则m的值是 　11　 ． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【解答】解：x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝11， （x﹣2）2＝11， ∴m＝11． 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 9．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于点A（m，n），B（m﹣4，n﹣6），则k的值为　6　 ． 【分析】先根据题意得出﹣m＝m﹣4，﹣n＝n﹣6，解得m＝2，n＝3，即A（2，3），即可求得k＝2×3＝6． 【解答】解：∵过原点的直线与双曲线相交于点A（m，n），B（m﹣4，n﹣6）， ∴A（m，n），B（m﹣4，n﹣6）两点关于原点O对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴﹣m＝m﹣4，﹣n＝n﹣6， ∴m＝2，n＝3， ∴A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，掌握以上性质是解题的关键． 10．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是　﹣2　 ． 【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2的值． 【解答】解：∵方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x22． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为是解题的关键． 11．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤1且k≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程有实数根，可得b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0， 解得k≤1， 又∵kx2﹣6x+9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0， ∴k≤1且k≠0， 故答案为：k≤1且k≠0． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键． 12．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．若点A的横坐标为4，则当时，x的取值范围为x＜﹣4或0＜x＜4　 ． 【分析】根据点A与B关于原点对称，得出B点横坐标，正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图象即可得出答案． 【解答】解：根据点A与B关于原点对称可知：B点的横坐标为﹣4， 由交点横坐标，根据图象可得当时，x的取值范围为：x＜﹣4或0＜x＜4． 故答案为：x＜﹣4或0＜x＜4． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 13．设m，n是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　2025　 ． 【分析】根据题意得到m2+m＝2026，m+n＝﹣1，mn＝﹣2026，将所求代数式变形得m2+m+（m+n），代入计算即可求解． 【解答】解：设m，n是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， ∴m2+m﹣2026＝0，m+n＝﹣1，mn＝﹣2026， ∴m2+2m+n＝m2+m+（m+n）＝2026﹣1＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系的计算是关键． 14．反比例函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是x≥2或x＜0　 ． 【分析】根据反比例函数的性质可进行求解． 【解答】解：当y＝﹣1时，则有，即x＝2， ∵k＝﹣2＜0，即y随x的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限， ∴当y≥﹣1时，x的取值范围是x≥2或x＜0； 故答案为：x≥2或x＜0． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15．如图，直线l经过点A（﹣3，0）和点B（0，），交反比例函数的图象于点C，过点C作CM⊥x轴于点M，若AM＝3OA，则反比例函数表达式为 y　 ． 【分析】利用待定系数法先求出直线的表达式，再根据线段长度关系求出M点横坐标，进而求出C点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数表达式即可． 【解答】解：设直线l为y＝kx+b． 将点A（﹣3，0）和点B（0，）代入直线l，得． 解得k，b． ∴直线l的表达式为yx． ∵AM＝OA+OM＝3OA， ∴OM＝2OA＝6， ∴M（6，0）． 设C（6，yC）， 将其代入直线l，得yC， ∴C（6，）． 设反比例函数为y，将点C的坐标代入，得， ∴k＝27． ∴反比例函数表达式为y． 故答案为：y． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，比较简单，但计算要细心，防止出错． 16．如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为 　6　 ． 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，设点A（a，b），则S△OAEab，根据反比例函数比例系数k的几何意义得S△OAE＝S△OBD4＝2，则ab＝2，进而得ab＝4，证明AE是△OCD的中位线得CD＝2AE＝2b，OD＝2OE，则S△OCD2a×2b＝2ab＝8，然后根据S△OBC＝S△OCD﹣S△OBD即可得出答案． 【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示： 设点A的坐标为（a，b）， ∴OA＝a，AE＝b， ∴S△OAEAE•AEab， ∵点A，B在反比例函数的图象上，AE⊥x轴，CD⊥x轴， ∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OAE＝S△OBD4＝2， ∴ab＝2， ∴ab＝4， ∴AE⊥x轴，CD⊥x轴， ∴AE∥CD， 又∵OA＝AC， ∴AE是△OCD的中位线， ∴CD＝2AE＝2b，OD＝2OE， ∴S△OCDOD•CD2a×2b＝2ab＝8， ∴S△OBC＝S△OCD﹣S△OBD＝8﹣2＝6． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义，三角形中位线定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分。 17．（6分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x+5＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 【分析】（1）运用配方法进行解方程即可； （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x+5＝0， x2﹣2x＝﹣5， x2﹣2x+1＝﹣5+1， x2﹣2x+1＝﹣4， （x﹣1）2＝﹣4． ∴原方程无解； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6， （x﹣2）2＝3（x﹣2）， （x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝2，x2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． 18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程有一个根为﹣2，求a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）将x＝﹣2代入方程x2+ax+a﹣2＝0得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到Δ＝a2﹣4（a﹣2）＞0，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【解答】（1）将x＝﹣2代入方程x2+ax+a﹣2＝0可得： （﹣2）2+（﹣2）a+a﹣2＝0， 解得：a＝2； （2）证明：∵关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0， ∴Δ＝a2﹣4（a﹣2） ＝a2﹣4a+8 ＝（a﹣2）2+4＞0， ∴对于任意实数a，该方程总有两个不相等的实数根． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得：x1＝k，x2＝k+1． 当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2， 解得：k＝12； 当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52， 解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）． 答：k的值为12或3． 【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用勾股定理，找出关于k的方程． 20．（8分）已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集． 【分析】（1）先把A点坐标代入y，求出m可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式，由S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算即可； （3）观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式kx+b0的解集． 【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y， 得m＝2×（﹣4）＝﹣8，则反比例函数解析式为y． 把B（n，﹣4）代入y， 得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则B点坐标为（2，﹣4）． 把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b得 ， 解得， 则一次函数解析式为y＝﹣x﹣2． （2）直线与x轴的交点为C，在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2， 即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴OC＝2． ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC2×22×4＝6． （3）由图可得，不等式kx+b0解集范围是x＜﹣4或0＜x＜2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 21．（7分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640． 解得x1＝16，x2＝20． 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40； 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； （2）不能，理由如下： 由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650． 整理得，x2﹣36x+325＝0． ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，函数y1（x＞0）和直线y2＝kx+6（k为常数，且k≠0）的图象如图所示，若函数y1与y2的图象有一个交点A（2，m）． （1）求m，k的值； （2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，分别交函数y1和y2的图象于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值． 【分析】（1）把交点的坐标代入函数的解析式，先计算m的值，再代入y2解析式计算即可； （2）根据P（0、n）（n＞0），得到B（，n），C（6﹣n、n），分类利用中点坐标公式建立等式计算求解即可． 【解答】解：（1）函数y1（x＞0）和直线y2＝kx+6（k为常数，且k≠0）的图象有一个交点A（2，m）， ∴m4， ∴A（2，4）， 把点A（2，4）代入y2＝kx+6，得， 4＝2k+6， 解得k＝﹣1， 故m＝4，k＝﹣1． （2）∵点P（0、n）（n＞0）作平行于x轴的直线，分别交函数y1和y2的图象于点B、C，且数y1（x＞0）和直线y2＝﹣x+6， ∴B（，n），C（6﹣n，n）， 当点B是线段PC的中点时，根据题意，得6﹣n，整理得，n2﹣6n+16＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×16＜0， ∴方程无解； 当点C是线段PB的中点时，根据题意，得（6﹣n）＝6﹣n，整理得，n2﹣6n+4＝0， 解得，n＝3±； 当点P是线段BC的中点时，根据题意，得6﹣n﹣0＝0，整理，得n2﹣6n﹣8＝0， 解得，n＝3、n＝30（舍去）； 综上所述，n＝3±或＝3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，方程的解法，熟练掌握待定系数法，交点的含义是解题的关键． 23．（8分）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a），点P在线段OA的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求点B的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点B的坐标为（m，），则P（m，m），C（m，0），根据线段列出方程求出m值即可得到点B的坐标． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a）， ∴a＝2，k＝2×2＝4， ∴反比例函数的解析式为y； （2）如图，设点B的坐标为（m，），则P（m，m），C（m，0）， ∴OC＝m，PB＝m， ∵， ∴m，整理得：m2＝16， ∴m＝4或﹣4（不符合题意舍去）， ∴点B的坐标为（4，1）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确表示线段的长度是解题的关键． 24．（8分）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． 25．（10分）如图已知直线y＝kx+5（k＜0）与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线y（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设C点坐标为（a，b），t＝OD•DA （1）当a＝4时，求k•t的值； （2）求证：ka2+5a＝4； （3）随着a的变化，k•t的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【分析】（1）先求出点C坐标，进而利用待定系数法求出k的值，再求出OD，AD，即可得出结论； （2）先由点C在双曲线上得出ab＝4，再根据x轴上点的坐标特点得出b＝ak+5，即可得出结论； （3）先表示出点A坐标，进而得出OA，即可得出DA，进而得出t（a2k+5a），即可得出结论． 【解答】解：（1）设C点坐标为（a，b）， 当a＝4时，∴C（4，b）， ∵点C在双曲线y上， ∴b1， ∴C（4，1）， ∵点C在直线y＝kx+5上， ∴1＝4k+5， ∴k＝﹣1， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，令y＝0，则﹣x+5＝0， ∴x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， ∵CD⊥x轴于D，C（4，1）， ∴OD＝4， ∴DA＝OA﹣OD＝1， ∴t＝OD•DA＝4×1＝4， ∴k•t＝﹣1×4＝﹣4； （2）∵点C（a，b）在双曲线y上， ∴ab＝4， ∵点C在直线y＝kx+5上， ∴b＝ak+5， ∴a（ak+5）＝4， ∴ka2+5a＝4； （3）不变， 理由：在直线AB：y＝kx+5中，令y＝0，则kx+5＝0， ∴x， ∴A（，0）， ∴OA， ∵CD⊥x轴于D， ∴OD＝a， ∴DA＝OA﹣ODa， ∴t＝OD•DA＝a（a）（a2k+5a）， 由（2）知，ka2+5a＝4， ∴t（a2k+5a）4 ∴k•t＝k•（）＝﹣4． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，x轴上点的坐标特点，表示出t是解本题的关键． 26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出BQ＝4tcm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； （2）先求出BQ＝4tcm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再利用勾股定理建立方程（10﹣t）2+（4t）2＝102，解方程即可得到答案； （3）先求出CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 27．（12分）如图①，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象，在第一象限内交A、B两点，连接OA、OB，已知点A的坐标为（2，6），且OA＝OB．请结合图象解答下列题． （1）反比例函数的关系式为　　 ，一次函数的关系式为y＝﹣x+8　 ； （2）△AOB的面积为　16　 ； （3）点M是反比例函数图象上点A（2，6）右侧一点，点N在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点P，使得四边形AMPN为正方形．若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由； （4）直线l经过原点，点A′是点A关于直线l的对称点，且点A′在第三象限反比例函数图上，点Q在直线l上，若△AQ′A为直角三角形，则符合条件的点Q的坐标有　（6，﹣2）或（﹣6，2）或（2，﹣2）或（﹣6，6）　 ． 【分析】（1）将点A（2，6）代入反比例函数可求m，再利用OA＝OB及点B在反比例函数图象上求出点B坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）求出直线AB与x轴的交点C，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求解； （3）由正方形AMPN可知AM＝AN且∠MAN＝90°，将点M绕点A旋转90°得到点N，结合点M、N均在反比例函数上建立方程求解； （4）由轴对称性质可知直线l是线段AA′的垂直平分线，又直线l过原点O，故OA＝OA′，据此求出点A′的坐标．再由Q在l上得QA＝QA′，从而△AQA'为等腰三角形，利用等腰三角形性质与三角形内角和可判定直角顶点只能为Q，最后用勾股定理建立方程求解． 【解答】解：（1）∵点A（2，6）在反比例函数的图象上， ∴m＝2×6＝12， ∴反比例函数的关系式为． ∵，且OA＝OB， ∴设点，则， ∴， 设t＝x2，则， ∴t2﹣40t+144＝0， 解得t＝4或36， ∴x＝2或x＝6（均取正值）， ∵x＝2对应点A， ∴点B的坐标为（6，2）． ∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，6）和B（6，2）， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为y＝﹣x+8， 故答案为：，y＝﹣x+8； （2）设直线AB：y＝﹣x+8与x轴交于点C， 当y＝0时，得：﹣x+8＝0， 解得：x＝8， ∴C（8，0）， ∴OC＝8， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC ＝16， 故答案为：16； （3）平面内存在一点P，使得四边形AMPN为正方形；理由如下： 设点，其中a＞2， ∵四边形AMPN为正方形， ∴AM＝AN且∠MAN＝90°， ∴点N可由点M绕点A顺时针旋转90°得到， ∵点A（2，6），点， ∴点N的坐标为． ∵点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴（8﹣a）（3﹣a）＝3a， 解得：a＝2（不合题意，舍去）或12， ∴M（12，1），N（﹣3，﹣4）． ∵正方形对角线互相平分， ∴对角线AP与MN的中点重合， ∵MN的中点坐标为， ∴，， 解得：xP＝7，yP＝﹣9， 故平面内存在一点P，使得四边形AMPN为正方形；其坐标为（7，﹣9）； （4）∵点A′是点A关于直线l的对称点， ∴直线l是线段AA′的垂直平分线， ∵直线l经过原点O， ∴OA＝OA′， ∵A（2，6）， ∴OA2＝22+62＝40， 设，其中a＜0， 由勾股定理得， ∴， 设t＝a2，则， ∴t2﹣40t+144＝0， 解得：t＝4或t＝36， ∴a2＝4或a2＝36， ∴a＝﹣2或a＝﹣6（正值已舍去）， 当a＝﹣2时，A′（﹣2，﹣6），设Q（x，y）， ∵点Q在直线l上， ∴QA＝QA′， 由勾股定理得：QA2＝（x﹣2）2+（y﹣6）2，QA'2＝（x+2）2+（y+6）2， ∴（x﹣2）2+（y﹣6）2＝（x+2）2+（y+6）2， ∴x＝﹣3y， ∵QA＝QA′， ∴△AQA'是等腰三角形， ∴∠QAA'＝∠QA'A， 若∠QAA′＝90°，则∠QA′A＝90°， 此时∠QAA′+∠QA′A＝180°，与三角形内角和为180°矛盾， ∴∠QAA′≠90°，∠QA′A≠90°， ∴∠AQA′＝90°， 在Rt△AQA'中，由勾股定理得：AA'2＝QA2+QA'2， ∵AA'2＝（2+2）2+（6+6）2＝160，且QA＝QA′， ∴QA2＝80， ∴（x﹣2）2+（y﹣6）2＝80， ∵x＝﹣3y， ∴（﹣3y﹣2）2+（y﹣6）2＝80， 解得：y＝2或﹣2， 当y＝2时，x＝﹣6，Q（﹣6，2）； 当y＝﹣2时，x＝6，Q（6，﹣2）； 当a＝﹣6时，A′（﹣6，﹣2），设Q（x，y）， 同理，由QA＝QA′得：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝（x+6）2+（y+2）2， ∴x＝﹣y， 同理，△AQA'为等腰直角三角形，∠AQA′＝90°， ∵AA'2＝（2+6）2+（6+2）2＝128， ∴QA2＝64， ∴（x﹣2）2+（y﹣6）2＝64， ∵x＝﹣y， ∴（x﹣2）2+（﹣x﹣6）2＝64， 解得：x＝2或＝﹣6， 当x＝2时，y＝﹣2，Q（2，﹣2）； 当x＝﹣6时，y＝6，Q（﹣6，6）． 综上所述，符合条件的点Q的坐标为（6，﹣2）或（﹣6，2）或（2，﹣2）或（﹣6，6）， 故答案为：（6，﹣2）或（﹣6，2）或（2，﹣2）或（﹣6，6）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，三角形的面积，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 1 2 3 4 5 6 B D A C A D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．﹣12 8．11 9．6 10．﹣2 11．k≤1且k≠0 12．x＜﹣4或0＜x＜4 13．2025 14．x≥2或x＜0 15．y 16．6 三、解答题：本题共11小题，共88分。 17．（6分） 解：（1）x2﹣2x+5＝0， x2﹣2x＝﹣5， x2﹣2x+1＝﹣5+1， x2﹣2x+1＝﹣4， （x﹣1）2＝﹣4． ∴原方程无解；·····································3分 （2）（x﹣2）2＝3x﹣6， （x﹣2）2＝3（x﹣2）， （x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝2，x2＝5．····································6分 18．（6分） （1）将x＝﹣2代入方程x2+ax+a﹣2＝0可得： （﹣2）2+（﹣2）a+a﹣2＝0， 解得：a＝2；·····································2分 （2）证明：∵关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0， ∴Δ＝a2﹣4（a﹣2） ＝a2﹣4a+8 ＝（a﹣2）2+4＞0， ∴对于任意实数a，该方程总有两个不相等的实数根．····················6分 19．（6分） （1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．······························2分 （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得：x1＝k，x2＝k+1． 当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2， 解得：k＝12；·····································4分 当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52， 解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）． 答：k的值为12或3．·································6分 20．（8分） 解：（1）把A（﹣4，2）代入y， 得m＝2×（﹣4）＝﹣8，则反比例函数解析式为y．··················2分 把B（n，﹣4）代入y， 得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则B点坐标为（2，﹣4）． 把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b得 ， 解得， 则一次函数解析式为y＝﹣x﹣2．·····························4分 （2）直线与x轴的交点为C，在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2， 即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴OC＝2． ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC2×22×4＝6．·······················6分 （3）由图可得，不等式kx+b0解集范围是x＜﹣4或0＜x＜2．·············8分 21．（7分） 解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640． 解得x1＝16，x2＝20． 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40； 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； ····································3分 （2）不能，理由如下： 由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650． 整理得，x2﹣36x+325＝0． ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650m2．·····························7分 22．（7分） 解：（1）函数y1（x＞0）和直线y2＝kx+6（k为常数，且k≠0）的图象有一个交点A（2，m）， ∴m4， ∴A（2，4）， 把点A（2，4）代入y2＝kx+6，得， 4＝2k+6， 解得k＝﹣1， 故m＝4，k＝﹣1．···································2分 （2）∵点P（0、n）（n＞0）作平行于x轴的直线，分别交函数y1和y2的图象于点B、C，且数y1（x＞0）和直线y2＝﹣x+6， ∴B（，n），C（6﹣n，n）， 当点B是线段PC的中点时，根据题意，得6﹣n，整理得，n2﹣6n+16＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×16＜0， ∴方程无解； 当点C是线段PB的中点时，根据题意，得（6﹣n）＝6﹣n，整理得，n2﹣6n+4＝0， 解得，n＝3±； 当点P是线段BC的中点时，根据题意，得6﹣n﹣0＝0，整理，得n2﹣6n﹣8＝0， 解得，n＝3、n＝30（舍去）； 综上所述，n＝3±或＝3．····························7分 23．（8分） 解：（1）∵反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a）， ∴a＝2，k＝2×2＝4， ∴反比例函数的解析式为y；·····························3分 （2）如图，设点B的坐标为（m，），则P（m，m），C（m，0）， ∴OC＝m，PB＝m， ∵， ∴m，整理得：m2＝16， ∴m＝4或﹣4（不符合题意舍去）， ∴点B的坐标为（4，1）．································8分 24．（8分） 解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．····················2分 （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． ···········································5分 （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润．···························8分 25．（10分） 解：（1）设C点坐标为（a，b）， 当a＝4时，∴C（4，b）， ∵点C在双曲线y上， ∴b1， ∴C（4，1）， ∵点C在直线y＝kx+5上， ∴1＝4k+5， ∴k＝﹣1， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，令y＝0，则﹣x+5＝0， ∴x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， ∵CD⊥x轴于D，C（4，1）， ∴OD＝4， ∴DA＝OA﹣OD＝1， ∴t＝OD•DA＝4×1＝4， ∴k•t＝﹣1×4＝﹣4；··································3分 （2）∵点C（a，b）在双曲线y上， ∴ab＝4， ∵点C在直线y＝kx+5上， ∴b＝ak+5， ∴a（ak+5）＝4， ∴ka2+5a＝4；·····································6分 （3）不变，······································7分 理由：在直线AB：y＝kx+5中，令y＝0，则kx+5＝0， ∴x， ∴A（，0）， ∴OA， ∵CD⊥x轴于D， ∴OD＝a， ∴DA＝OA﹣ODa， ∴t＝OD•DA＝a（a）（a2k+5a）， 由（2）知，ka2+5a＝4， ∴t（a2k+5a）4 ∴k•t＝k•（）＝﹣4．································10分 26．（10分） 解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上；·······················3分 （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm；···························6分 （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2．······················10分 27．（12分） 解：（1）∵点A（2，6）在反比例函数的图象上， ∴m＝2×6＝12， ∴反比例函数的关系式为．····························1分 ∵，且OA＝OB， ∴设点，则， ∴， 设t＝x2，则， ∴t2﹣40t+144＝0， 解得t＝4或36， ∴x＝2或x＝6（均取正值）， ∵x＝2对应点A， ∴点B的坐标为（6，2）． ∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，6）和B（6，2）， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为y＝﹣x+8，····························2分 故答案为：，y＝﹣x+8； （2）设直线AB：y＝﹣x+8与x轴交于点C， 当y＝0时，得：﹣x+8＝0， 解得：x＝8， ∴C（8，0）， ∴OC＝8， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC ＝16， 故答案为：16；···································5分 （3）平面内存在一点P，使得四边形AMPN为正方形；理由如下： 设点，其中a＞2， ∵四边形AMPN为正方形， ∴AM＝AN且∠MAN＝90°， ∴点N可由点M绕点A顺时针旋转90°得到， ∵点A（2，6），点， ∴点N的坐标为． ∵点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴（8﹣a）（3﹣a）＝3a， 解得：a＝2（不合题意，舍去）或12， ∴M（12，1），N（﹣3，﹣4）． ∵正方形对角线互相平分， ∴对角线AP与MN的中点重合， ∵MN的中点坐标为， ∴，， 解得：xP＝7，yP＝﹣9， 故平面内存在一点P，使得四边形AMPN为正方形；其坐标为（7，﹣9）；··········8分 （4）∵点A′是点A关于直线l的对称点， ∴直线l是线段AA′的垂直平分线， ∵直线l经过原点O， ∴OA＝OA′， ∵A（2，6）， ∴OA2＝22+62＝40， 设，其中a＜0， 由勾股定理得， ∴， 设t＝a2，则， ∴t2﹣40t+144＝0， 解得：t＝4或t＝36， ∴a2＝4或a2＝36， ∴a＝﹣2或a＝﹣6（正值已舍去）， 当a＝﹣2时，A′（﹣2，﹣6），设Q（x，y）， ∵点Q在直线l上， ∴QA＝QA′， 由勾股定理得：QA2＝（x﹣2）2+（y﹣6）2，QA'2＝（x+2）2+（y+6）2， ∴（x﹣2）2+（y﹣6）2＝（x+2）2+（y+6）2， ∴x＝﹣3y， ∵QA＝QA′， ∴△AQA'是等腰三角形， ∴∠QAA'＝∠QA'A， 若∠QAA′＝90°，则∠QA′A＝90°， 此时∠QAA′+∠QA′A＝180°，与三角形内角和为180°矛盾， ∴∠QAA′≠90°，∠QA′A≠90°， ∴∠AQA′＝90°， 在Rt△AQA'中，由勾股定理得：AA'2＝QA2+QA'2， ∵AA'2＝（2+2）2+（6+6）2＝160，且QA＝QA′， ∴QA2＝80， ∴（x﹣2）2+（y﹣6）2＝80， ∵x＝﹣3y， ∴（﹣3y﹣2）2+（y﹣6）2＝80， 解得：y＝2或﹣2， 当y＝2时，x＝﹣6，Q（﹣6，2）； 当y＝﹣2时，x＝6，Q（6，﹣2）； 当a＝﹣6时，A′（﹣6，﹣2），设Q（x，y）， 同理，由QA＝QA′得：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝（x+6）2+（y+2）2， ∴x＝﹣y， 同理，△AQA'为等腰直角三角形，∠AQA′＝90°， ∵AA'2＝（2+6）2+（6+2）2＝128， ∴QA2＝64， ∴（x﹣2）2+（y﹣6）2＝64， ∵x＝﹣y， ∴（x﹣2）2+（﹣x﹣6）2＝64， 解得：x＝2或＝﹣6， 当x＝2时，y＝﹣2，Q（2，﹣2）； 当x＝﹣6时，y＝6，Q（﹣6，6）． 综上所述，符合条件的点Q的坐标为（6，﹣2）或（﹣6，2）或（2，﹣2）或（﹣6，6）， 故答案为：（6，﹣2）或（﹣6，2）或（2，﹣2）或（﹣6，6）．··············12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $