九年级数学上学期9月学情自测（新教材人教版第26，27章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数，以河工治水（文化传承）、信阳毛尖（地方应用）、抛物线音响（科技情境）为素材，设基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图象变换、反比例函数性质|结合函数图象判断取值范围（第5、6题），考查几何直观| |填空题|6/26|二次函数与x轴交点、利润最值、反比例函数几何意义|信阳毛尖利润问题（第13题），培养模型意识| |解答题|9/94|函数解析式、动点探究、新定义函数|河工治水压强问题（第19题）渗透文化，抛物线音响模型（第24题）体现应用，新定义函数（第25题）发展创新思维|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十六章~第二十七章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 3．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 4．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 7．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 8．已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 10．在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 12．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 13．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 16．在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 18．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 19．在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致． (1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式； (2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强． 20.如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 21．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 22．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 23．数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，设点P的坐标为，探究y与x的函数关系． (1)【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 1 2 3 4 5 … 线段长 1.25 2 3.25 5 7.25 … 如果，，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象； (2)【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标满足的函数关系： ①猜想y关于x的函数解析式，请直接写出结论，并写出x的取值范围； ②在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 24．【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 25．定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十六章~第二十七章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 2．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 3．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【详解】∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 4．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为，当时，，当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 6．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】令，则，解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 7．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，其中，， 点在反比例函数上，， 直线过原点，点与点关于原点对称，， 轴，轴，，， ，，，， ，， ，， ，，． 8．已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】设直线的解析式为， 将，代入得，，解得， ∴直线的解析式为，线段的取值范围是，联立， 整理得， 当时，反比例函数图象在第一、三象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得；∴； 当时，反比例函数图象在第二、四象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在时，随增大而增大，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得，∴； 综上，的取值范围是或． 9．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 【答案】C 【详解】解：在中，，，为等腰直角三角形，， 设，，，即，， ∵，∴ 该二次函数的对称轴为，由图可知，函数图象对称轴为，， 解得，即．连接， 是等腰斜边的中点， ，，，， 在和中，，，， ，，即，， 是等腰直角三角形，故选项正确； 是面积的最大值，当（对称轴处）时，，， ，即，故选项正确； 是等腰直角三角形，， 为定点，在上运动，当时，最小，此时为中位线， 则， 当与（或）重合时，最大， 由勾股定理：，，即最大值为， 周长最大值为，的周长不可能等于，故选项错误； 由，得，， 是中点，，又，， 即四边形的面积为，故选项正确． 综上所述，说法不正确的是C选项． 10．在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：将点代入得：， 解得，∴二次函数的解析式为，，结论①正确； ，，∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵，∴，又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称，∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小，∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上，又∵点在二次函数的图象上，且，∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【详解】把代入，得，整理得，解得， 即二次函数解析式为，令，得，因式分解得， 解得，，∵已知图象与轴的一个交点坐标是，∴它与轴的另一个交点坐标是． 12．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式， 将，，代入得：，化简得，解得． 13．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【详解】设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元，∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐，∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价，∴，解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足，将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，，∴，，∴． 15．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或 【详解】解：∵ 中，∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ，∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小，∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ，解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处，∴的最小值为， ∵抛物线开口向上，∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵，∴当时，取得最大值， 由题意得 ，整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时，同理，此时的最小值为， ∵，∴  当时，取得最大值， 由题意得 ，整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 16．在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． 【答案】 【详解】：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴，∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、、、、， ∴，，，… ，∵， ∴ ． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则，解得． 18．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【详解】（1）解：点，，． ，．点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，，，解得， 这个二次函数的解析式为． 19．（本题8分）在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致． (1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式； (2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强． 【详解】（1）解：设p与S之间的函数关系式为，  将，代入，得， 解得：，∴p与S之间的函数关系式为． （2）解：当时，，即此时木桩承受的压强为1250帕． 20. （本题8分）如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ，，即，点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得，，； （2）解：由得，，， 不等式的解集为或． 21．（本题10分）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，，所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到，再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：，∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1．当时，；当时，； ，∴当时，． 22．（本题12分）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【详解】（1）解：将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接，，，，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，，，关于抛物线的对称轴对称，， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得，直线的解析式为，当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 23．（本题12分）数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，设点P的坐标为，探究y与x的函数关系． (1)【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 1 2 3 4 5 … 线段长 1.25 2 3.25 5 7.25 … 如果，，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象； (2)【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标满足的函数关系： ①猜想y关于x的函数解析式，请直接写出结论，并写出x的取值范围； ②在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 【详解】(1) (2)①：由图象知，图象是二次函数的图象，设二次函数解析式为， 则，解得，∴，x取全体实数； ②证明：如图1，过点P作轴于点B，连接． 是的垂直平分线， ， ，，， 在中，， ，即． 24．（本题12分）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为，将点代入得：，解得． （2）解：∵点的坐标，∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：，解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为，由（2）已得：，∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴，解得，∴； ②当时，在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴，解得，∴； 综上，此时的值为或． 25．（本题14分）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为，∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ，，令，则，解得，， 与轴交于，， ，的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，，解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C B D C C D C A 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11． 12． 13．1690 14． 15．或 16． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本题8分)【详解】（1）（5分）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）（3分）解：当时，则，解得． 18．(本题8分) 【详解】（1）（3分）解：点，，． ，．点在轴的正半轴上，∴点的坐标是． （2）（5分）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，，，解得， 这个二次函数的解析式为． 19．(本题8分) 【详解】（1）（5分）解：设p与S之间的函数关系式为，  将，代入，得， 解得：，∴p与S之间的函数关系式为． （2）（3分）解：当时，，即此时木桩承受的压强为1250帕． 20. (本题10分) 【详解】（1）（5分）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ，，即，点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得，，； （2）（5分）解：由得，，， 不等式的解集为或． 21．(本题10分)． 【详解】（1）（2分）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，，所以抛物线的顶点坐标为． （2）（4分）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到，再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）（4分）解：，∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1．当时，；当时，； ，∴当时，． 22．(本题12分) 【详解】（1）（4分）解：将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）（8分）如图，连接，，，，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，，，关于抛物线的对称轴对称，， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得，直线的解析式为，当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 23．(本题12分) 【详解】(1) （3分） (2)①：（4分）由图象知，图象是二次函数的图象，设二次函数解析式为， 则，解得，∴，x取全体实数； ②（5分）证明：如图1，过点P作轴于点B，连接． 是的垂直平分线，，，，， 在中，，，即． 24．(本题12分) 【详解】（1）（3分）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为，将点代入得：，解得． （2）（3分）解：∵点的坐标，∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：，解得． （3）（6分）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为，由（2）已得：，∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴，解得，∴； ②当时，在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴，解得，∴； 综上，此时的值为或． 25．(本题14分) 【详解】（1）（4分）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）（10分）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为，∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ，，令，则，解得，， 与轴交于，， ，的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，，解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $