九年级数学上学期9月学情自测（新教材北师大版第1～2章，高效培优·强化卷）

**基本信息** 以贵州村超等真实情境为载体，融合一元二次方程与特殊四边形知识，梯度设计适配九年级学情自测，突出运算能力与空间观念培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|配方法、四边形性质|第2题思维导图考查概念逻辑关系，体现抽象能力| |填空题|8/32|利润问题、矩形性质|11题商场销售问题培养模型意识，15题矩形存在性探究创新应用| |解答题|8/78|方程应用、几何综合|20题结合村超赛事考单循环赛建模，25题动态几何探究发展推理能力|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九八年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，移项得， 配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式得，选项符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）下图是小颖同学从“对角线”的角度整理了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的思维导图，图中“▲”处应填写的内容是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【详解】解：由思维导图可知： 平行四边形矩形， 平行四边形菱形， ∵ 正方形既是矩形又是菱形， ∴ 平行四边形直接判定为正方形，需要同时满足“对角线相等”和“对角线互相垂直”， 即图中“▲”处应填写“对角线互相垂直且相等”． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：，解得:.∴ 这个两位数为或．故选：C． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：菱形中，，设菱形以为底的高为， 则菱形面积，∵，∴． ∵以为底，高等于菱形边上的高，； 以为底，高等于菱形边上的高，； ∴两面积相加： ． 5.（25-26八年级下·浙江台州·期末）若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ，即 ， 又∵ ，∴ ，即 ，∴ ，得 ， 将代入一元二次方程，得 ，整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ，由根与系数的关系得 ． 6．（2026·河南平顶山·三模）如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在边上，且．若，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：过点G作，交BC的延长线于点H．设，则． 四边形为菱形，，． ．，． ，．． 由折叠的性质，得．在中，，即， 解得（不合题意，已舍去）．． 7．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴，∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意； D、，∵，∴ ∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D． 8．（2026·贵州黔南·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点C的坐标为．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正方形的边长为3，顶点C的坐标为，∴，，， ∵，∴直线过点，如图， 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是． 9．（2026·山东·校考二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，若，则（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】A 【详解】解：∵关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为， 方程可以写成，即：， ∵，∴，，，， ∴， ∴， ∴，故选：A． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，∴，， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴， 在和，，∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，，∴是等腰直角三角形，且，， ∴，∴四边形是正方形，∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，∵，∴， 根据四边形内角和为得到，∵，∴， 在和，，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误；无法证明；故②错误，综上所述，①③正确，故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（2026·广东佛山·一模）商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元． 【答案】375 【详解】解：设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，根据题意得： ，整理得：， 解得：或（舍去），所以，每台冰箱应降价375元． 12．（2026·贵州铜仁·一模）如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【答案】50 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形，∴，∴，， ∴，，∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即，整理，得， ∵，∴． 13．（2026·成都·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点E是的中点，过点E作的垂线交于点F，交于点G，交于点H，则线段的长为______． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，． ，，，， ∴，∴，， 是等边三角形，．是的中点，． ，，，， ，． 14．（25-26九年级下·湖南衡阳·阶段检测）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是________． 【答案】 【详解】解：，中含有元素，∴中必有元素，∵中元素为，分类讨论如下： 若，则，中出现重复元素，违反集合元素的互异性，舍去，故； 若，由得，此时中元素为，出现重复元素，违反互异性，舍去， 因此只能，即，此时中元素为，中元素为， 由得剩余元素对应相等，分两种情况： ① ，解得或，舍去，时中元素为，存在重复元素，舍去； ② ，整理得，即，解得或， 得舍去，得，已舍去，故． 由得．检验得，，满足，符合互异性， 代入代数式得：． 15．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为，则，整理得：， 由题意得原方程有实数根，，． 又，，即的取值范围为：． 16．（25-26八年级下·重庆·期末）菱形中，与交于点O，于点E，交于点F，且，则______；G在上，，若，则______． 【答案】 /60度 【详解】解：四边形是菱形，，，平分和， ，，，，． ，，， 又，∴， ∴，； 四边形是菱形，，，，，， ，，是等边三角形，，， 在中，，， ，是等边三角形，，在中，， ，∴；；；解得（负值舍去）， ∴．． ，．过点作于点，如图， 在中，，，， ．在中，． 17．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是______． 【答案】或 【详解】解：设方程的两个整数根为，（令）， 根据根与系数的关系，得，，将两式相减，得，，即， 由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5， 当时，，或当时，解得： ，，或，， ，或，故答案为：或． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在正方形 中， ，点在边上，点 在 上， ，交 于点，交于点，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 【答案】①③④ 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，． ∵，∴，∴，故①正确； 无法说明，即不一定成立，即②错误； 如图：过G作于K，过G作于J， ∵四边形是正方形，∴，即是的角平分线，∴， ∵，又∵，∴，故③正确； ∵点C关于的对称点点A，∴，∴， 如图：当三点共线时，有最小值，由对称性可得， ∵，∴，∴，即 的最小值为． 综上，正确的是①③④． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2)；(3)；(4)． 【答案】(1)，；(2)，．(3)，；(4) 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． （3）解：， 因式分解，得， 解得，； （4）解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得， 解得． 20．（25-26九年级上·江西赣州·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 【答案】问题一：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场；问题二：①总参赛队伍为20支；②这种方案共需要47场比赛决出冠军 【详解】解：问题一：设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场， 由题意得：，解得：， 答：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场； 问题二：①设总参赛队伍为支， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为20支； ②平均分成四个小组，每组5支球队， 小组内通过单循环赛确定前两名， 小组内比赛共（场）， 把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， 淘汰赛需（场）， 这种方案决出冠军共需要比赛（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军． 21．（2026·北京东城·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M．(1)依题意补全图形；(2)求证：；(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是正方形，∴． ∵，∴，∴，∴； (3)结论：． 证明：如图，过点A作的垂线，过点F作的垂线，两条垂线交于点P，连接， ∵，∴，∴． ∵，∴．∵，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴． ∵，∴．∵，∴． 由可知，即 ∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴． 22．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若是关于的方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)见解析(2)或 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵（时取等号），（时取等号）， ∴，∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵，∴且或，∴， 当时，，（舍去）， 当时，，， ∴，，∴，即，解得或． 23．（2026·河北邯郸·二模）【问题背景】如图1，在矩形中，，，经过矩形中心点的直线与，分别交于点，，点，是线段，上的点，，设，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形；(2)直接写出满足什么条件，四边形为菱形． 【操作探究】(3)尺规作图：在图2中作出正方形，并求的值（尺规作图需保留作图痕迹，不写作法） 【拓展探究】(4)如图3，若四边形为矩形，求的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，∴，， ∵，，点为矩形中心，∴， ∵∴．又，∴，∴． ∵，∴，即．∴四边形是平行四边形； (2)当时，四边形为菱形（答案不唯一）； （3）解：由作图可知，，， ∴四边形为正方形，， 在中，，，∴，∴； （4）解：∵四边形是矩形，∴，∴求的最小值即求的最小值． 根据垂线段最短可知当即时，有最小值，即的最小值为6． 24．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；(2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)第一种形式：选取二次项和一次项配方，； 第二种形式：选取二次项和常数项配方，； 或； 第三种形式：选取一次项和常数项配方，； （2）解：， 配方，得：，即， ∵，，∴，，解得：，，∴； （3）解：， ∵，∴， 当，时，取得最小值， 即当，时，取得最小值，最小值为． 25．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形，且． (1)求直线的解析式；(2)如图1，点是轴上一动点，点在的右侧，，． ①当最小时，求点的坐标；②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标． 【答案】(1)(2)①点的坐标为；②点的坐标为或 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，∴， ∵四边形为正方形，设， ∵，解得或（舍去），即，， 将点，代入直线， 可得，解得，∴直线的表达式为； （2）解：①过点作轴于点，如图， 由题意可得，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴， 设，则，，由题意可得，， 即有，∴，∴点在定直线上，如下图， 设直线交轴于点，对于直线：，令，可得，即， ∴，，∴， ∵，∴，即， 作点关于直线：的对称点，连接、， 则在同一直线上， 由轴对称的性质可得垂直平分线，，， 当点在同一直线上时则此时，取最小值， ∵，∴，∴，即，∴点， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得，直线的表达式为：， 联立和，可得，解得 ，则点的坐标为； ②如下图，连接，由题意可得为等腰直角三角形，， ∵点是线段的中点，即，，∴，，∴， 分两种情况讨论：当点在直线下方时，如图， ∵四边形为正方形，∴，∴，此时点与点重合，∴； 当点在直线上方时，如图，设直线解析式为， 将点，代入，可得，解得，∴直线解析式为， 设直线交于点，当时，，∴点， 作点关于直线的对称点，∴，此时， ∴点为直线与的交点，设直线解析式为， 将点，代入，可得，解得，∴直线为， 联立和，可得，解得 ，即． 综上所述，点的坐标为或． 26．（2026·河南·模拟预测）解决下列问题： (1)【观察猜想】如图，已知和，，，，．线段，，的数量关系为________； (2)【类比探究】如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点落在射线上的点处．①当在线段上时，________°． ②在①的条件下，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图，在菱形中，，点为对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点落在射线上的点处．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)①； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴． （2）解：①如图，连接，过作于，交于， 结合正方形，∴四边形是矩形，∴，， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ，，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，而，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴． ②， 理由如下：过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ．是等腰直角三角形，∴， ，， ． ，，，， ．同理：是等腰直角三角形， ，∴； （3）解：如图，当在线段上时，连接，过点作于点，交于，过作交于点，则四边形是矩形，． 四边形是菱形，，∴，，， ．，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，而，∴，∴， ∵，，∴； 如图，当在的延长线上时， 同理可得：，， ∴，∴；综上：的长度为或． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九八年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）下图是小颖同学从“对角线”的角度整理了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的思维导图，图中“▲”处应填写的内容是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 5.（25-26八年级下·浙江台州·期末）若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南平顶山·三模）如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在边上，且．若，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 7．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 8．（2026·贵州黔南·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点C的坐标为．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 9．（2026·山东·校考二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，若，则（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（2026·广东佛山·一模）商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元． 12．（2026·贵州铜仁·一模）如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 13．（2026·成都·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点E是的中点，过点E作的垂线交于点F，交于点G，交于点H，则线段的长为______． 14．（25-26九年级下·湖南衡阳·阶段检测）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是________． 15．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 16．（25-26八年级下·重庆·期末）菱形中，与交于点O，于点E，交于点F，且，则______；G在上，，若，则______． 17．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是______． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在正方形 中， ，点在边上，点 在 上， ，交 于点，交于点，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2)；(3)；(4)． 20．（25-26九年级上·江西赣州·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 21．（2026·北京东城·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 22．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若是关于的方程的两个根，且，求的值． 23．（2026·河北邯郸·二模）【问题背景】如图1，在矩形中，，，经过矩形中心点的直线与，分别交于点，，点，是线段，上的点，，设，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)直接写出满足什么条件，四边形为菱形． 【操作探究】(3)尺规作图：在图2中作出正方形，并求的值（尺规作图需保留作图痕迹，不写作法） 【拓展探究】(4)如图3，若四边形为矩形，求的最小值． 24．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 25．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形，且． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点是轴上一动点，点在的右侧，，． ①当最小时，求点的坐标； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标． 26．（2026·河南·模拟预测）解决下列问题： (1)【观察猜想】如图，已知和，，，，．线段，，的数量关系为________； (2)【类比探究】如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点落在射线上的点处． ①当在线段上时，________°． ②在①的条件下，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图，在菱形中，，点为对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点落在射线上的点处．若，，请直接写出的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C C A B D D A B 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．【答案】375 12．【答案】50 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】或 18．【答案】①③④ 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19． 【答案】(1)，；(2)，．(3)，；(4) 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，；（2分） （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，．（4分） （3）解：， 因式分解，得， 解得，；（6分） （4）解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得， 解得．（8分） 20． 【答案】问题一：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场；问题二：①总参赛队伍为20支；②这种方案共需要47场比赛决出冠军 【详解】解：问题一：设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场， 由题意得：，解得：， 答：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场； 问题二：①设总参赛队伍为支， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为20支；（4分） ②平均分成四个小组，每组5支球队， 小组内通过单循环赛确定前两名， 小组内比赛共（场）， 把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， 淘汰赛需（场）， 这种方案决出冠军共需要比赛（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军．（8分） 21． 【答案】(1) （1分） (2)证明：∵四边形是正方形，∴． ∵，∴，∴，∴；（4分） (3)结论：． 证明：如图，过点A作的垂线，过点F作的垂线，两条垂线交于点P，连接， ∵，∴，∴． ∵，∴．∵，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴． ∵，∴．∵，∴． 由可知，即 ∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴．（8分） 22． 【答案】(1)见解析(2)或 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵（时取等号），（时取等号）， ∴，∴不论为何值，方程总有实数根；（4分） （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵，∴且或，∴， 当时，，（舍去）， 当时，，， ∴，，∴，即，解得或．（10分） 23． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，∴，， ∵，，点为矩形中心，∴， ∵∴．又，∴，∴． ∵，∴，即．∴四边形是平行四边形；（4分） (2)当时，四边形为菱形（答案不唯一）；（6分） （3）解：由作图可知，，， ∴四边形为正方形，， 在中，，，∴，∴； （4）解：∵四边形是矩形，∴，∴求的最小值即求的最小值． 根据垂线段最短可知当即时，有最小值，即的最小值为6．（10分） 24． 【答案】(1)第一种形式：选取二次项和一次项配方，； 第二种形式：选取二次项和常数项配方，； 或； 第三种形式：选取一次项和常数项配方，；（3分） （2）解：， 配方，得：，即， ∵，，∴，，解得：，， ∴；（6分） （3）解：， ∵，∴， 当，时，取得最小值， 即当，时，取得最小值，最小值为．（10分） 25． 【答案】(1)(2)①点的坐标为；②点的坐标为或 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，∴， ∵四边形为正方形，设， ∵，解得或（舍去），即，， 将点，代入直线， 可得，解得，∴直线的表达式为；（3分） （2）解：①过点作轴于点，如图， 由题意可得，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴， 设，则，，由题意可得，， 即有，∴，∴点在定直线上，如下图， 设直线交轴于点，对于直线：，令，可得，即， ∴，，∴， ∵，∴，即， 作点关于直线：的对称点，连接、， 则在同一直线上， 由轴对称的性质可得垂直平分线，，， 当点在同一直线上时则此时，取最小值， ∵，∴，∴，即，∴点， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得，直线的表达式为：， 联立和，可得，解得 ，则点的坐标为；（7分） ②如下图，连接，由题意可得为等腰直角三角形，， ∵点是线段的中点，即，，∴，，∴， 分两种情况讨论：当点在直线下方时，如图， ∵四边形为正方形，∴，∴，此时点与点重合，∴； 当点在直线上方时，如图，设直线解析式为， 将点，代入，可得，解得，∴直线解析式为， 设直线交于点，当时，，∴点， 作点关于直线的对称点，∴，此时， ∴点为直线与的交点，设直线解析式为， 将点，代入，可得，解得，∴直线为， 联立和，可得，解得 ，即． 综上所述，点的坐标为或．（12分） 26． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴．（2分） （2）解：①如图，连接，过作于，交于， 结合正方形，∴四边形是矩形，∴，， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ，，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，而，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴．（5分） ②， 理由如下：过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ．是等腰直角三角形，∴， ，， ． ，，，， ．同理：是等腰直角三角形， ，∴；（8分） （3）解：如图，当在线段上时，连接，过点作于点，交于，过作交于点，则四边形是矩形，． 四边形是菱形，，∴，，， ．，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，而，∴，∴， ∵，，∴； 如图，当在的延长线上时， 同理可得：，， ∴，∴；综上：的长度为或．（12分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $