浙江省Z20名校联盟2026-2027学年高二上学期创新班开学学情诊断数学试题

浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断 高二数学试题卷 命题：黄岩中学俞丁丁、童晟 审题：奉化中学周科瑜元济高级中学魏侹路 校稿：吕金晶 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的。 1.已知集合M={-2,-1,0,1,2,N={xx2-x-2<0},则M∩N= A.{-2,-1,0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-2,-1,0,1} D.{0,1} 2.已知命题p:x>0m(-写}小0，则-p为 A.Vxso.tanx-s0 、3 B.s0am-}s0 π C.x>0,ar-350 D.3>0am(-}s0 3.设一个随机事件的样本空间为2，事件A,B二2，下列说法错误的是 A.若AUB=2,则P(A)+P(B)=1 B.若A与B互斥，则P(AB)=0 C.P(B)+P(B)=1 D.若A与B相互独立，则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 4.已知函数f)= 2-a):4,x<在R上单调递增，则a的取值范围是 log。x+2a,x≥1， A.(2 B.2 c.(2 D.(1,2) 5.已知圆(x+1)2+y2=r2(r>0)上到直线x+√3y-2=0的距离为1的点有且仅有3个，则r的值 为 1 A.2 B.3 C. 2 D.2 6.设a=log54,b=log43,c=22,则 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c ππ 7.已知函数f(x)=sin@x+ 4o>0)在区间-g'g 上单调递增，且在区间(0，π)内恰有两个零 点，则)的取值范围是 (2 B c.(4 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断高二数学试题卷第1页共4页 8.已知D为双面线C号卡-0>06>0右支上一点，人，5分别为左、右货点，直线听交， 轴于点E,O为坐标原点若满足EF=DE,∠EDF2=30°，则双曲线C的离心率为 A.32+6 B.3V2+V6 C.2+V5 D.6+V3 3 6 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数，2均不为0，则下列说法正确的是 A.若=1+2i,则1的虚部为2i B.1+2=1+2 C.若-3+41=3，则的最小值为2 D.若=2，则子= 10.已知△ABC的三个角A,B,C对应的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若sinA>sinB,则A>B 方，则A1BC为等腰三角形 B.若c0sA-cosB C.若O是△ABC所在平面内的一点，动点H满足O丽=OA+ AB AC AB cos B 则H的轨迹经过△ABC的垂心 D.若△ABC为锐角三角形，满足sinA=2 sin BsinC,则tanA的取值范围为(2，+o) 11.已知点P在平面a内的射影为O,且PO=4,平面a内不同于点O的动点Q,PQ与平面α所 成的角为0，线段PQ与平面围成的几何体记为Zo.下列说法正确的是 A.线段PQ扫过的面积为sn日 16πcos0 B.若8=30°，则儿何体乙o外接球的体积为256网 C.若0=45°且直线1与平面α成15°，则与直线1成60°角的PQ有三条 D.若O=60°，半径为1的小球在几何体Z0内任意滚动，未被小球接触过的几何体内壁的面 积为13π 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,若C上的一点Q到直线x=-4的距离为8， 则QF=▲ 12 13.已知a>0,b>0,直线ax+2y-3=0和x+(b-)y+2=0垂直，则二+二的最小值为▲ 14.已知平面向量a,6,e满足：e=l,a=2e.a,b-(亿+5e=0,则a-6的最大值为▲ 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断高二数学试题卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知在AMBC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,c若m=(V5a,2),n-cos22snB 满足m/n (1)求角A: (2)若sinB=V2cosA,SBc=3+V5,求b. 16.某校高一年级为了解学生对“校园科技节”活动的满意度，采用简单随机抽样调查了100名学生， 满意度评分满分为100分，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成如图所示的频率分 布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计该高一学生对本次活动满意度的平均数和上四分位数： (2)从满意度低于70分的学生中，按[50,60)，[60,70)的人数比例，采用分层随机抽样抽取5人， 再从这5人中随机选取2人进行座谈，求这2人都来自[60,70)的概率 频率 组距 0.035 0.030 0.020 0.010 .e- 0.005 05060708090100满意度评分值/分 17.已知在△ABC中，AB=BC=2,AC=25,将△ABC沿BC翻折至△EBC(点E在平面ABC 外). (1)证明：AE⊥BC; (2)若P为空间中的点，且满足BP=3CP,当三棱锥P-ABC的体积最大时，求平面PAC与 平面ABC夹角的正弦值. 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断高二数学试题卷第3页共4页 图知椭圆C:名+的离率为2，过左焦点F0的直线交椭圆C于MN两点，为 2 y轴于点P,且满足PM=M派，PN=uNF (1)求椭圆C的方程： (2)求2+4的值： 3》已知点(-30Q》 过点Q的直线I交椭圆C于A,B两点，直线EA,EB与椭圆 C的另一个交点分别为G,H,证明：直线GH的斜率为定值 19.设函数f(x)的定义域为R若存在常数k,使得对任意x∈R,都有f(f(x)=(k+1)f(x)-a,则 称∫(x)为k伸缩函数”，常数k称为其“伸缩比” (1)若f(x)=2x-1是k-伸缩函数”，求出满足条件的k的值： (2)已知函数f(x)=ln(e+a(a∈R)是“k伸缩函数”，其中k>1,求实数a的值： (3)设f(x)是定义在R上的k伸缩函数”，其中k>1.若f(x)-x在R上有界，即存在常数 M>0,使得对任意x∈R,都有f(x)-x≤M.证明：对任意x∈R,都有f(x)=x. 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断高二数学试题卷第4页共4页 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断 高二数学参考答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 0 D A B C A B 二、多选题 9 10 11 BC ACD ACD 三、填空题 12.5 18. 2 四、解答题 15.（I)由m/m,得asinB=2hcos27,即5sm4snB=2 sin os2号 由sinB≠0，sinA=2 sin4co cos号，即V3sin2=cos 2 2 52,tan4_ 23 3 6分 (2)由smB=5,得B=或（舍），则C=g, 2 4 4 12 法-：在A4BC中，过C作CH⊥AB,则MH= 2,CH=36 2 Ssue(BxCH -】X 13分 2222 法二：sinc=5+v6 4心，由正弦定理得a=bsin4-V6砀 sin B 2 m0anc-066,6 .13分 4 16.(1)x=55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77 …4分 设上四分位数为m,即0.05+0.2+0.35+(m-80)×0.03=0.75,m=858分 (2)从[50,60)中抽取1人编号为1，从[60,70)中抽取4人编号为2,3,4,5 2={1,2,{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5}{4,5}}, 记A=“这2人都来自[60,70)”，即A={2,3,{2,4,{2,5,3,4,{3,54,5} PA)=n4=6_3 3 回0亏，即这2人都来自[60,70)的概率为 15分 I7.(1)证明：作AM⊥BC,即EM⊥BC,AM∩EM=M, 即BC⊥面AME,AEc面AME,即AE⊥BC 6分 (2)法一：由BP=3CP,点P在空间中的运动轨迹为阿氏球， 设球心为H,计算得H在BC的延长线上，满足CH=} 41 当三棱锥P-ABC的体积最大时，即PH⊥平面ABC, 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断高二数学参考答案第1页共4页 作HT⊥AC,即∠PTH即为平面PAC与平面ABC所成角 在△H中，m-令PH-子，m∠mH=6,放sn∠PI 6W37 37 所以，平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为55团 15分 37 法二：以M为原点，MA方向为x轴，MC方向为y轴，过M且垂直于平面ABC 的方向为z轴，建立空间直角坐标系 M(0,0,0),A(√3,0,0)，B(0,1,0),C(0,3,0),设P(x,y,2),由BP=3CP, 即2+0-+2=[2+0-驴+门，得2+0+=8 16 当三棱锥P-ABC的体积最大时，即n0号减PO早寻， 不纺取P0学浮，设面PC的法向量为a=C) 13, 由AC=(←53,0)C=0, -√5x+3y=0 得1,3 4y+=0 令y=3,得n=(35,3,-), 4 设面ABC的法向量为m=(0,0,1) 37 即cos0=lc0s<m,n>=37’ sin0=637 37 所以，平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为37 15分 37 18、（①c=1e=-号，a=反.6=1，稀圆方程为号+y2=14分 a 2 (2)①当y=0时，设M(-√2,0)，P0,0),N(W2,0), 即1=-2-√2,4=-2+V2,故元+4=-4. ②当t存在时，设：x=y-1, x=y-1 联立号+y2=1得+2-20-1=0，A>0, 2 21 w+w=2+2MW=2+2 由P0,得PW=ww-,MF=(-1-xM,w) tyN -yM YM 111 即+1=+）-2=M）-2=-4.0 .10分 tyM yN t yMyN 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断高二数学参考答案第2页共4页 (3)设A(x,y1),B(x2,y2),G(x3,y3,H(x4y4), 设直线4B:y=片，(x+3), x+3 y=乃，+3) 联立 x1+3 2+2=1 得(6x1+11)x2+(12-6x2)x-(11x2+12x1)=0,△>0， 6x-12 x1+x3= 6x,+7,xr3=f+12x 6x1+11 即x 11x1+12 72 6x,+1i'y3= 少同理，x4-x212 6x1+11 6x,+斤，y46x,+ 7274 koM=4-当=6x2t16x1+l1 x4-为_11x2+1211x1+12 =-7x 2(6x+11)-4(6:2+11) 11x2+12)(6x1+11)-(11x1+12)(6x2+11) 6x2+116x1+11 =-6(x凸-￥3)+11(0y2- 7(x2-x) 设直线AB:y=+k+3,令m=1k+3 6 6 则ka=-6为-）+102-D.,+m-+m]+1,-x型 7(x3-) 7(x2-x) -60- 7 所以，直线GH的斜率为定值 .17分 19.(1)由ff(x)=(k+1)f(x)-k, 即2(2x-1)-1=(k+1)(2x-1)-, 得4x-3=(k+2)x-k-1,得k=2 4分 (2)由f(x)的定义域为R,即e'+a>0恒成立，得a≥0 由f(f(x)=(k+1)f(x)-k, 即ne0+aj=k+llhe+a）-a 得n(e+2a）)=ln e ①当a=0时，上式成立，符合题意： ②当a>0时，若当x→-o时，e→0*， 左边e+2→2a为常数，右边+a) >+00 故上式不成立，所以a>0不符合条件，舍去 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断高二数学参考答案第3页共4页 综上，a=0 .10分 (3)令F(x)=f(x)-x 由题f(f(x)=(k+1)f(x)-kx, f(f(x))-f(x)=k(f(x)-x), 即F(f(x)=kF(x).① 对任意的x∈R,定义迭代序列： f°(x)=x,f+()=ff"(x,(n=0,1,2,3…) 由①式，得F(f"(x)=k"F(x),(n=0,2,3).② 由题给出f(x)-x在R上有界，即存在常数M>0, 使得对任意y∈R,都有Fy)≤M 取y=f”(x),代入上式得F(f"(x)≤M 结合@式.有F=U"训sM,即lF训 由k>1,即当m→时，“→，是→0，即训≤0， 即F(x)=0,得f(X)=X17分 浙江省Z20名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断高二数学参考答案第4页共4页