浙江省A9协作体2026-2027学年高二上学期暑假返校学情诊断数学试题

绝密★考试结束前 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断 高二数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． 2．样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为 A．5 B．6 C．7 D．8 3．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则 A． B． C．或 D．或 4．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 A． B． C． D． 5．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为 A． B． C． D． 6．随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为 A． B． C． D． 7．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为6，点，分别是线段，的中点，为上靠近的三等分点，则平面与上底面相交所得的线段长为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论中正确的是 A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 10．已知复数满足，，则 A． B． C． D． 11．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则 A． B．四棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．与所成角的余弦值的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．化简 ▲ ． 13．若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为 ▲ ． 14．南海观音位于浙江省舟山市普陀区双峰山南端的观音跳山岗上．此处势随峰起，秀林葱郁，气顺脉畅，碧波荡漾．莲花洋彼岸的朱家尖，隔海侍卫；双峰山坡麓的紫竹林，潮音频传．普陀山新的人文景观，海天佛国的象征．乘云中之龙，于南海波涛之上，又称龙头观音．某数学兴趣小组为了测得观音像整体的高（包括基底），如图，在点测得塔底位于北偏东60°方向上的点处，观音像顶的仰角为30°，在的正东方向且距点的点测得观音像底位于北偏西45°方向上（，，在同一水平面），则观音像总的高度约为 ▲ ．（结果精确到整数，参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在中，角，，所对的边分别为，，，若． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 16．（本小题满分15分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 17．（本小题满分15分）如图，的半径为1，是的直径上一点（异于，），过作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设（）． （1）求线段的长（用表示）； （2）若为直线上一点，且的最小值为，求的值． 18．（本小题满分17分）如图，在圆台中，四边形为其一个轴截面，在底面圆周上，，． （1）求证：平面； （2）若该圆台的体积为， ①求四棱锥的体积； ②求二面角夹角的余弦值． 19．（本小题满分17分）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．即模相乘，辐角相加．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形（在的右侧），其边长为1，，点，，所对应的复数分别为，，． （1）若，求出，； （2）①写出复数的三角形式，并计算，（三角形式），由此归纳出（）的三角形式； ②设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，，…，（逆时针顺序），其中．求复数，，…，在复平面所对应不同点的个数； （3）若，菱形在第一象限，以为边作正方形，若，在上方，且向量，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断 高二数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C B B D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 题目 9 10 11 答案 BD ABD ACD 9．BD（每选对一个给3分） 10．ABD（每选对一个给2分） 11．ACD（每选对一个给2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．i 13． 14．33 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； 6分 （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得：得， 10分 所以的面积． 13分 16．（1）由图可得：，解得； 3分 年龄在内的频率为，年龄在内的频率为 中位数为：． 6分 （2）第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人． 10分 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种． 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为． 15分 17．（1）由题意，为直径，则，而（），， 则， 3分 又，则． 6分 （2）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由（1）知，，而， 则，而，则，， 设，，则，， 所以，可以看作关于的二次函数， 10分 则当时，取得最小值，则， 即， 12分 故或，则或． 15分 法二： 12分 （后面得分一样） 18．（1）证明：如图，与平行且相等，则四边形形为，即， 又平面，平面，平面． 5分 （2）①，则， 8分 过作，则，即为中点，所以且，又平面，所以，即平面， 11分 ②由①知平面，过作交于，则， 即为二面角的平面角． 13分 又，，， 15分 所以． 17分 备注：用空间向量法酌情给分（法向量正确累计14分） 19．（1），． 4分 （2）①，故，．故． ，，（）． 7分 ②正二十边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个顶点， 即，． 故， 由三角函数的周期性知，，即以10为周期，所以一共对应10个不同的点． 11分 （3）设，则， 又，，， 所以， 整理得：， 即，所以， 15分 又，所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $