精品解析：浙江省A9协作体2026-2027学年高二上学期暑假返校学情诊断数学试题

浙江省A9协作体暑假返校学情诊断 高二数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为，点、分别是线段、的中点，为上靠近的三等分点，则平面与上底面相交所得的线段长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与可以作为所在平面的一组基底 C. D. 10. 已知复数满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. B. 四棱锥的外接球表面积为 C. 的最小值为 D. 与所成角的余弦值的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数____． 13. 若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 14. 南海观音位于浙江省舟山市普陀区双峰山南端的观音跳山岗上．此处势随峰起，秀林葱郁，气顺脉畅，碧波荡漾．莲花洋彼岸的朱家尖，隔海侍卫；双峰山坡麓的紫竹林，潮音频传．普陀山新的人文景观，海天佛国的象征．乘云中之龙，于南海波涛之上，又称龙头观音．某数学兴趣小组为了测得观音像整体的高（包括基底），如图，在点测得观音像底位于北偏东方向上的点处，观音像顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得观音像底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则观音像总的高度约为________．（结果精确到整数，参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 17. 如图，的半径为1，是的直径上一点（异于，），过作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设（）． （1）求线段的长（用表示）； （2）若为直线上一点，且的最小值为，求的值． 18. 如图，在圆台中，四边形为其一个轴截面，在底面圆周上，，． （1）求证：平面； （2）若该圆台的体积为， ①求四棱锥的体积； ②求二面角夹角的余弦值． 19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．即模相乘，辐角相加．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形（在的右侧），其边长为1，，点，，所对应的复数分别为，，． （1）若，求出，； （2）①写出复数的三角形式，并计算，（三角形式），由此归纳出（）的三角形式； ②设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，，…，（逆时针顺序），其中．求复数，，…，在复平面所对应不同点的个数； （3）若，菱形在第一象限，以为边作正方形，若，在上方，且向量，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断 高二数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则的虚部为． 2. 样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】数据从小到大排列：，共个数据， ， 为非整数，向上取整结果为，对应有序数据中的第个数据， 因为第个数据是， 所以这组数据的第百分位数是，对应选项为C. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 因为，所以或. 4. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，若与共线， 则， 所以且. 5. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式，由系数相等得到夹角的关系式，从而求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为，其中为与的夹角，且，因为在上的投影向量为，所以, 将，代入得，解得，因为，且，所以. 6. 随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 -1 -1 -2 -1 0 -1 -1 1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 1 1 1 -1 0 1 0 1 1 1 2 设的事件为, . 7. 已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边的比值转化为对应角的正弦比，再由得.根据锐角三角形条件确定的范围，将化为关于的函数，最后通过单调性求出其取值范围为. 【详解】由正弦定理，因为，所以，即. 又因为为锐角三角形，所以由. 得解得 于是 令，由，得 因此设 求导： 所以在上单调递增. 当时， 当时，所以 8. 已知正方体的棱长为，点、分别是线段、的中点，为上靠近的三等分点，则平面与上底面相交所得的线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件找出截面及平面与上底面相交所得的线段，再根据三角形相似比例关系以及等角定理求出线段长. 【详解】 延长与的延长线相交于点，连接交于点， 过作的平行线交于，交延长线于点，连接交于点，连接， 则多边形为平面截正方体得到的截面， 故平面与上底面相交所得的线段为. 因为，所以， 因为，，故，所以， 因为为上靠近的三等分点，且，， 所以，故，， 所以，则， 因为，，由等角定理结合图形可知， 所以，故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与可以作为所在平面的一组基底 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为，则，故A错误； 对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，， 对于与，因为，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确； 对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误； 对于D，因为，， 根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为， 所以，故D正确. 10. 已知复数满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：分析可知，解方程即可判断；对于B：根据实数系方程结合韦达定理即可判断；对于C：分析可知，，，即可判断；对于D：可得，结合周期性即可得解. 【详解】对于选项A：因为，则，， 又因为，即，可得，解得，故A正确； 对于选项B：对于方程，则， 可知方程的两个根为虚根，且两根互为共轭，即为， 由韦达定理可得，故B正确； 对于选项C：因为，，，， 可知，，， 所以，故C错误； 对于选项D：因为， 且，所以. 11. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. B. 四棱锥的外接球表面积为 C. 的最小值为 D. 与所成角的余弦值的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，找到外接球球心，求出外接球半径，进而求出表面积；C选项，将平面折到同一平面，进行求解即可；D选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，因为底面为正方形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以，A正确； B选项，设，取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 又因为底面为正方形，所以， 即即为四棱锥的外接球球心， 因为，，所以，， 所以四棱锥的外接球半径为， 四棱锥的外接球表面积为，B错误； C选项，其中，，， 故，故， 将平面与平面展开到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时取得最小值， 最小值为，C正确； D选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，，， 则， 所以，故， 故，， 所以，其中， 设与所成角为，则， 当时，， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即，时， 取得最大值，最大值为， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即时， 取得最大值，最大值为， 综上，与所成角的余弦最大值为，D错误 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数____． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的代数形式的四则运算法则求解． 【详解】． 故答案为：． 13. 若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 14. 南海观音位于浙江省舟山市普陀区双峰山南端的观音跳山岗上．此处势随峰起，秀林葱郁，气顺脉畅，碧波荡漾．莲花洋彼岸的朱家尖，隔海侍卫；双峰山坡麓的紫竹林，潮音频传．普陀山新的人文景观，海天佛国的象征．乘云中之龙，于南海波涛之上，又称龙头观音．某数学兴趣小组为了测得观音像整体的高（包括基底），如图，在点测得观音像底位于北偏东方向上的点处，观音像顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得观音像底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则观音像总的高度约为________．（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】33 【解析】 【详解】由题意，中，，，， 由正弦定理，. 在中，，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1），中位数： （2）应从第3，4组中分别抽取3人，2人； 【解析】 【分析】（1）根据直方图面积为1求解a的值，再求中位数即可. （2）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 由图可得：，解得； 年龄在内的频率为，年龄在内的频率为 中位数为：. 【小问2详解】 第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 17. 如图，的半径为1，是的直径上一点（异于，），过作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设（）． （1）求线段的长（用表示）； （2）若为直线上一点，且的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】(1) 利用直径所对的圆周角是直角，在与中用三角函数表示边长，结合二倍角公式求出； (2) 法一：建立平面直角坐标系，写出各点坐标，将向量数量积表达为关于横坐标的二次函数，利用二次函数求最小值建立三角方程求解；法二：运用极化恒等式转化向量数量积，消去变量快速得到表达式的最小值，直接列三角方程算出. 【小问1详解】 由题意，为直径，则，而（），， 则， 又，则 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由（1）知，，而， 则，而，则，， 设，，则，， 所以，可以看作关于的二次函数， 则当时，取得最小值，则， 即， 故或，则或． 法二： 则，即，故或，则或． 18. 如图，在圆台中，四边形为其一个轴截面，在底面圆周上，，． （1）求证：平面； （2）若该圆台的体积为， ①求四棱锥的体积； ②求二面角夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，由题意可知与平行且相等，则四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面． （2）①3；② 【解析】 【分析】(1)根据平行四边形得线线平行，从而证出线面平行； (2)①由线面垂直找出四棱锥的高，再由锥体体积公式求出体积；②找出二面角的平面角后在直角三角形中求出平面角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①圆台体积，则， 过作，则平面且， 因为为梯形且，所以为中点， ，，即为等边三角形， 所以且， 又平面，所以，又，平面， 所以平面， ②由①知平面，过作交于，连接， 因为平面，平面，故， ，平面， 所以平面，又平面，所以， 又， 所以为二面角的平面角． 在中，易知， ，所以， 所以，所以为直角三角形，所以， 所以， 又，所以， 所以． 19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．即模相乘，辐角相加．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形（在的右侧），其边长为1，，点，，所对应的复数分别为，，． （1）若，求出，； （2）①写出复数的三角形式，并计算，（三角形式），由此归纳出（）的三角形式； ②设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，，…，（逆时针顺序），其中．求复数，，…，在复平面所对应不同点的个数； （3）若，菱形在第一象限，以为边作正方形，若，在上方，且向量，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）①；，；（）；②10个． （3） 【解析】 【分析】（1）由复数的三角形式结合三角函数值可得； （2）①由复数的三角形式和辐角规律计算可得；②由复数三角形式的几何意义结合三角函数的周期性计算； （3）求出，化简可得即可求. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 ①，故，．故． ，，（）． ②正二十边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个顶点， 即，． 故， 由三角函数的周期性知，，即以10为周期，所以一共对应10个不同的点． 【小问3详解】 设，则， 又，，， 所以， 整理得：， 即，所以， 又，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $