浙江省宁波市北仑中学2026-2027学年高二上学期暑期学习检测数学试题

**基本信息** 北仑中学高二暑期学习检测数学试卷，以国家安全教育日、航天知识竞赛等时代情境为载体，覆盖复数、解三角形、立体几何等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，有效检测暑期学习效果，适配开学衔接需求，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、三角形解的情况、统计方差|基础概念辨析，如第4题直线反射结合几何直观| |多选题|3/18|频率分布直方图、直线倾斜角、三角形等腰条件|选项分层，如第9题统计图表分析考查数据意识| |填空题|3/15|圆锥体积、复数模最小值、三角形面积与向量|空间想象与代数运算结合，如第12题圆锥侧面积与体积关联| |解答题|5/77|概率计算（国家安全教育日情境）、立体几何证明（非向量法）|情境真实，如15题竞赛概率模型；强调逻辑推理，如18题禁止空间向量法|

北仑中学2026学年第一学期高二年级暑期学习检测数学试卷 （2-18班使用） 命题：高二备课组 审题：高二备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则的虚部为（     ） A． B．1 C．i D． 2．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．无法确定 3．设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ） A．0.2 B．0.02 C．0.4 D．0.04 4．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 5．已知平面向量，，满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为(   ) A． B． C． D． 8．在三棱锥中，底面是等边三角形，⊥，二面角的大小为.若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．12 D．24 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（   ） A．频率分布直方图中m的值为0.010 B．在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人 C．根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分 D．如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖 10．已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 11．已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某圆锥母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为_______． 13．复数，满足，，则的最小值为______. 14．已知O是所在平面内一点，且，，的面积S满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，其主题是“统筹发展和安全，护航‘十五五’新征程”．对于高中生而言，国家安全应融入日常，落在行动．某中学为了夯实校园安全教育，组织了一次安全知识竞赛，甲、乙两队（每队2人）参加了此次竞赛，规定每队的每名队员各回答一题，答对得1分，答错得0分．甲队2人答对的概率分别为，，乙队2人答对的概率都是，且所有答题结果相互独立． (1)设甲队得1分的概率为，乙队得2分的概率为，求和的值； (2)比赛结束后，求乙队得分比甲队得分多的概率． 16．（15分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 17．（15分）设的内角所对的边分别是，已知． (1)求证：； (2)若，，设为边的中点，求的长． 18．（17分）（本题用空间向量法作答不给分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，是的中点． (1)若（如图1） （i）证明：平面； （ii）求二面角的正切值； (2)若二面角的大小是（如图2），是棱上的点，满足与底面所成角的正弦值是，求的值． 19．（17分）已知三个角的对边分别为，点平面，记． (1)已知，，， ①若为的内心，则，求； ②若点线段，求的最小值； (2)若为的内心，角的平分线交线段于点，，求的取值范围． 数学试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $