精品解析：上海市上海师范大学附属外国语中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

上师大附属外国语中学高二月考数学试卷 2025.12 一.填空题 1. 直线的倾斜角为_____ 2. 方程表示圆，的取值范围为_____ 3. 直线与直线间的距离为_____ 4. 圆与圆的位置关系为_____ 5. 若将一个底面半径为、高为的实心圆柱形铁料，熔铸成一个球形实心工件，则该工件的半径为_____（损耗忽略不计） 6. 将化简为椭圆标准方程形式，结果为_____. 7. 边长都是为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，，分别是对出线、上的动点，且，则的取值范围是______． 8. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为_____． 9. 直线所过定点为______ 10. 椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 11. 如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为____________． 12. 正方体棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为__________. 二.选择题 13. “直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 15. 已知结论：椭圆的面积为．如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆．若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，错误的是（ ） A. 短轴为，且与大小无关 B. 离心率为，且与大小无关 C. 焦距为 D. 面积为 16. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 圆和圆关于直线对称 B. 圆和圆的公共弦长为 C. 的取值范围为 D. 若为直线上的动点，则的最小值为 三.解答题 17. 已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离． 18. 直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. （1）设直线斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； （2）试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 19. 如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 20. 已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）若直线的倾斜角为，求的面积； （ii）若在轴上方，直线与直线的斜率分别为、，且，求直线的一般式方程. 21. 如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． （1）求的值； （2）当线段最短时，求其长度； （3）判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附属外国语中学高二月考数学试卷 2025.12 一.填空题 1. 直线的倾斜角为_____ 【答案】 【解析】 【分析】把直线方程变成斜截式方程，结合直线倾斜角和斜率的关系进行求解即可. 【详解】，所以该直线的斜率为， 所以该直线的倾斜角为. 故答案为： 2. 方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 3. 直线与直线间的距离为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行直线间的距离公式求解. 【详解】直线与直线, 则，且， 所以两直线间的距离为. 故答案为： 4. 圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断即可． 详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 5. 若将一个底面半径为、高为的实心圆柱形铁料，熔铸成一个球形实心工件，则该工件的半径为_____（损耗忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】根据熔铸前后体积相同，利用圆柱体积公式及球的体积公式计算求解． 【详解】已知圆柱形铁料的半径为，高为， 圆柱体积为， 设球的半径为，体积不变， ，解得． 故答案为：． 6. 将化简为椭圆标准方程的形式，结果为_____. 【答案】 【解析】 【分析】运用方程的几何意义得出结果. 【详解】根据， ∴方程表示的曲线是以，为焦点的椭圆， 其中，，， ∴方程为. 故答案为：. 7. 边长都是为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，，分别是对出线、上的动点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，过点作，垂足为，结合平面几何知识求，证明，求，结合二面角的平面角的定义求，利用余弦定理求，再求其范围. 【详解】设， 过点作，垂足为，可知，可得， 且，连接GN， 则，即， 可得，且， 由题意可知，两个半平面所成的角为， 在中，由余弦定理可得 ， 即，对于二次函数， 因为，则，所以． 8. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把方程有且只有两个不同的实数根的问题转化为直线与曲线交点的问题，作图象，结合图象求出的取值范围． 【详解】方程有且只有两个不同的实数根，可转化为， 即上半圆与过定点的直线有且只有两个不同的交点，如下图所示， 结合图象可知，当直线斜率时，直线与半圆有且只有2个交点， 的取值范围为． 故答案为：． 9. 直线所过定点为______ 【答案】 【解析】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 10. 椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【详解】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系写出点的坐标，根据三棱柱中向量相等得到坐标，进而得到的坐标，从而得到侧棱. 【详解】 以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， 则，，， 由三棱柱可知，即，所以，， ，即，所以，， 所以，所以， 故这个三棱柱的侧棱长为， 故答案为：. 12. 正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积与角度的关系，列出分别与直线所成角的正切值之和的表达式，从而得到点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线，可得点到平面的距离的取值范围，最后利用棱锥的体积公式计算得到答案即可. 【详解】在正方体中，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 整理可得点到点和点的距离之和为， 所以点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线， 则点到平面的距离的最大值为1，此时点在中点的正上方； 最小值为时，点在点或者点的正上方， 所以四棱锥的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量解决空间角问题，涉及三角函数的计算以及空间点与点之间的距离的转化，其关键是通过计算得出动点P的轨迹方程，即， 结合椭圆的性质得出距离的取值范围，再根据锥体的体积公式即可解决问题. 二.选择题 13. “直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线平行与斜率之间关系，逐个选项进行判断即可. 【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件. 故选：D 14. 已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知，该三棱锥四个侧面全是等边三角形．设正方体的棱长为，然后分别计算该三棱锥的表面积与正方体的表面积，求出比值即可． 【详解】如图所示，在正方体中，三棱锥符合题目条件，且三棱锥的四个侧面全为等边三角形， 设正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为， 所以正方体的表面积为，，即三棱锥 的表面积为， 则三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为：． 故选：B． 15. 已知结论：椭圆的面积为．如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆．若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，错误的是（ ） A. 短轴为，且与大小无关 B. 离心率为，且与大小无关 C. 焦距为 D. 面积为 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的性质，结合题中的数据对，对每个选项逐一分析即可. 【详解】由题意得椭圆短轴长，而长轴长随变大为变长且， 所以， 故，焦距为， 由椭圆在底面投影即为底面圆，则等于圆的面积与椭圆面积的比值， 所以椭圆面积为，综上，ACD正确，B错误， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是发挥空间想象能力，直观想象出所截的椭圆的短轴、长轴与圆柱的半径的关系，从而得解. 16. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 圆和圆关于直线对称 B. 圆和圆的公共弦长为 C. 的取值范围为 D. 若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，因为两圆半径相等，所以通过判断的中点不在直线上，判断A错；求得两圆的公共弦长，判断B；因为两圆相交，所以的最小值为，最大值为圆心距加两圆半径，由此求出最大值，判断C；求出圆关于直线的对称点的坐标，再结合两点间距离公式，求出的最小值，判断D. 【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径为； 由，得，所以圆的圆心为，半径为. 因为线段的中点为，不满足方程，所以的中点不在直线上， 所以圆和圆不关于直线对称，所以A错误； 由，得两圆的公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为，所以B错误； 因为两圆相交，所以的最小值为，最大值为圆心距加两圆半径. ，所以的最大值为. 所以的取值范围为，所以C错误； 设圆心关于直线对称的点为，则的中点为，直线的斜率为. 所以，解得.即. 所以以为圆心，半径为的圆与圆关于直线对称. 设点关于直线对称的点为，则在圆上，则. 结合图象知的最小值为. 所以的最小值为.所以D正确. 故选：D. 三.解答题 17. 已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：平面平面，并求直线到平面距离． 【答案】（1） （2）证明见解析，直线到平面的距离为 【解析】 【分析】（1）根据线面角的知识求得直线与平面所成的角. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点到面的距离的定义求得直线到平面的距离. 【小问1详解】 连接， 由于平面，所以是直线与平面所成的角， 由于平面，所以， 因为，所以， 又为的中点，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 由于平面， 所以平面，而是的中点，所以平面， 直线到平面的距离，等于到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 18. 直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. （1）设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； （2）试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 【答案】（1）， （2）16， 【解析】 【分析】（1）根据斜率和经过的点坐标求出直线的方程，进而可求出坐标；然后根据垂直关系求出直线的方程，进而可求出坐标. （2）先列出三角形面积的表达式，然后根据基本不等式的性质求出最小值即可. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是. 所以直线的方程为，即. 令，则，所以. 因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为. 令，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以直角三角形的面积为. 由图可知，所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为， 此时点的坐标为. 19. 如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】（1） （2）该船没有触礁的危险 【解析】 【分析】（1）依据平面直角坐标系得出三点坐标，再设出圆心坐标即可得出圆的方程； （2）求出行驶轨迹所在直线方程，利用点到直线距离公式判断出该直线与圆的位置关系可得结论. 【小问1详解】 根据题意可知， 易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心， 又可得， 解得，所以半径， 因此圆的方程为. 【小问2详解】 由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得； 由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为， 因此行驶直线方程为， 圆心到直线的距离为， 即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险. 20. 已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）若直线的倾斜角为，求的面积； （ii）若在轴上方，直线与直线的斜率分别为、，且，求直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为，由，可得.根据，求得，从而得到椭圆的方程； （2）设，（i）写出直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，由可得的面积；（ii）设直线的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理表示出，，根据，求得参数，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，由，可得. 所以，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知. 若直线的倾斜角为，则其斜率为，所以其方程为，即. 设， 由，得. 则 所以. 点到直线的距离为. 所以的面积为. （ii）因为直线不过椭圆与轴的交点，所以可设直线的方程为， 因为，所以，所以直线的斜率分别为. 因为直线不过，所以. 由，得. 则. 所以， 因为，所以，即，解得或（舍去）. 所以直线的方程为，即. 21. 如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． （1）求的值； （2）当线段最短时，求其长度； （3）判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆的切线性质和勾股定理求的值； （2）根据圆的弦长的性质，当圆心到弦的距离最长时弦长最短，进而求出直线方程； （3）通过设线段长度，结合圆的性质和直线与圆的位置关系，分情况讨论求出满足条件的点的个数及坐标． 【小问1详解】 当直线过圆心时，，解得， ，． 【小问2详解】 直线与圆相切，，设直线的斜率为，则，故， 直线的方程为，整理得，且， 圆心到直线的距离， 记，则直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离，解得， 当时，，此时弦长最短， 由弦长公式得． 【小问3详解】 ，设，则，， 设点到直线的距离为，则①， （i）如图，当点在直线的同侧时，②， 联立①②解得或， 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，故满足条件的点有2个， ，即，联立，无解； 联立或， 满足条件的点即为； 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点有2个， ，即，联立或； 联立（不合题意，舍去）； 满足条件的点即为； （ii）如图，当点，在直线异侧时，③ 联立①③解得（舍）或（舍），满足条件的点不存在， 综上，满足条件的点共有4个，即为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $