专题01 二次函数图像与系数a、b、c的关系（题型专练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“几何直观+符号推理”构建二次函数系数关系的系统性训练，通过四阶题型实现从单一系数意义到多结论综合判断的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |a、b、c符号几何意义|1典例+3变式|“左同右异”对称轴判断法；c值与y轴交点关系|从系数几何意义切入，建立形与数的对应| |代数式符号判断|1典例+3变式|特殊点函数值代入法；对称轴公式应用|深化系数与函数值的关联，培养推理意识| |∆符号判断|1典例+3变式|判别式与x轴交点个数关系；图像位置分析|构建方程与函数的桥梁，发展模型观念| |多结论正误判断|1典例+3变式|距离对称轴远近比较函数值；不等式解集图像法|综合应用前序方法，提升批判性思维|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 二次函数图像与系数a、b、c的关系 参考答案 题型01a、b、c符号系数的几何意义 典例精析 【典例】C 三举一反 【变式1-1】d<c<b<a 【变式12】C 【变式1-3】D 题型02 代数式符号判断的常见题型 三典例精析 【典例2】B 举一反三 【变式2-1】A 【变式2-2】B 【变式23】C 题型03△符号判断的常见题型 【典例3】A 举一反三 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式31】C 【变式32】D 【变式3-3】B 题型04多结论正误判断 E 典例精析 【典例4】C 举一反三 【变式41】B 【变式42】c 【变式43】③ 巩固练习 1.A. 2.D 3.D. 4.D. 5.B. 6.B. 7.B. 8.【答案】(1)a>0,b<0,c<0,a-b+c<0: (2)-3: (3)①③ 【分析】(1)根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案： (2)由函数的图象可知，当x=1时，=-3，代入即可得到答案： (3)根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案. 2/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：抛物线开口向上， ∴a>0, 对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴.b<0, ~抛物线与y轴负半轴相交， .c<0. 当x=-1时，y<0, .a-b+c<0: (2)解：由函数的图象可知，当x=1时，y=-3, a+b+c=-3: (3)解：由(1)可知，b<0, 0<1, .b<1,①结论正确： b 1 2a2’ ∴.b=-a, .b-a=-a-a=-2a, a>0, :.b>b-a, ∴.b>-2a,②结论错误： 当x=1时，a+b+c=-3, 当x=0时，c=-3, ..a+b+c=c, .a+b=0. -a-b+c=-(a+b)+c=-3<0,③结论正确： 故答案为：①③. 9. 【答案】(1)(1，-5) (2) 证明：a=-1, 3/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .二次函数开口向下， 函数图象与x轴有两个交点(：，0)，(：，0)，且x<2<x, .当x=2时，函数值大于0， 即4×(-1)+2b+c>0. .2b+c>4: (3)a=1 【详解】(1)解：a=1,函数图象经过点(0，-4)和(3，-)， 「c=-4 9+3b+c=-1 「b=-2 解得c=4 .二次函数解析式为y=x2-2x-4, 整理得y=(x-1)-5, .函数图象的顶点坐标为：(1，-5)」 (2)略 (3)解：函数图象经过点(2，m), .4a+2b+c=m①， 当x≤1时，y≥m+1;当x>1时，y≥m, b=2②： :函数图象在x=2时取得最小值m,即-2 .a>0 :x≤1在x=2的左侧， .当x=1时，y=m+1,即a+b+c=m+1③， 由①②③解得a=1. 4/4 专题01 二次函数图像与系数a、b、c的关系 （题型突破·举一反三） 题型01 a、b、c符号系数的几何意义 题型02 代数式符号判断的常见题型 题型03 ∆符号判断的常见题型 题型04 多结论正误判断 ▌题型01 a、b、c符号系数的几何意义 1. ：决定开口方向、开口大小 · ，抛物线开口向上； · ，抛物线开口向下； · |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 2. ：配合 a 决定对称轴位置 对称轴公式： · · · 口诀：左同右异 3. ：抛物线与 y 轴交点纵坐标 抛物线交 y 轴于点 · c>0：交点在 y 轴正半轴； · c<0：交点在 y 轴负半轴； · C=0：抛物线过原点。 【典例1】（25-26九年级·上海·期末）如图是二次函数的图象的一部分，，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①a<0；②b<0；③；④，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，小明在该平面直角坐标系中又画了二次函数，，的图象，则，，，的大小关系是__________．（用“”连接） 【变式1-2】已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． ▌题型02 代数式符号判断的常见题型 常见代数式 1. 2. 3. 的函数值； 4. 的函数值； 5. 的函数值。 其他重要式子 1. 对称轴 2. 对称轴 3. 对称轴 4. 对称轴 【典例2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】（2025·四川 ·三模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌题型03 ∆符号判断的常见题型 判别式 （看与 x 轴交点个数） · 抛物线与 x 轴2 个交点； · ：抛物线与 x 轴1 个交点（顶点在 x 轴）； · ：抛物线与 x 轴没有交点。 【典例3】“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【变式3-2】如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 ▌题型04 多结论正误判断 二次函数图像与系数关系常见结论： 其他结论： ①比较函数值大小 方法：看点到对称轴的距离 · 离对称轴越远，函数值越大； · a <0 ：离对称轴越远，函数值越小。 ②根据图像判断不等式解集 · · 取图像在 x 轴下方部分对应的 x 范围。 · 取二次函数图像在直线y=kx+b下方部分对应的 x 范围。 · 取二次函数图像在直线y=kx+b上方部分对应的 x 范围。 【典例4】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【变式4-2】如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图像顶点为，经过点．以下结论正确的是（   ） A． B．y随x的增大而增大 C． D．对于任意实数t，总有 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 1．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁·期末）抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 4．（25-26九年级上·上海·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 5．（25-26九年级上·安徽·期末）抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（25-26九年级上·福建·期中）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（25-26九年级上·山东·期末）如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（25-26九年级上·安徽·）期末已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 9．（2026·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数图像与系数a、b、c的关系 （题型突破·举一反三） 题型01 a、b、c符号系数的几何意义 题型02 代数式符号判断的常见题型 题型03 ∆符号判断的常见题型 题型04 多结论正误判断 ▌题型01 a、b、c符号系数的几何意义 1. ：决定开口方向、开口大小 · ，抛物线开口向上； · ，抛物线开口向下； · |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 2. ：配合 a 决定对称轴位置 对称轴公式： · · · 口诀：左同右异 3. ：抛物线与 y 轴交点纵坐标 抛物线交 y 轴于点 · c>0：交点在 y 轴正半轴； · c<0：交点在 y 轴负半轴； · C=0：抛物线过原点。 【典例1】（25-26九年级·上海·期末）如图是二次函数的图象的一部分，，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①a<0；②b<0；③；④，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解： ∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴， ∴，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，小明在该平面直角坐标系中又画了二次函数，，的图象，则，，，的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．在中，的值越大，函数图像越靠近y轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵ ，，的图象开口向上，的图象开口向下， ∴，，，， ∵，，的图像开口依次增大， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据二次函数图象开口向下，可以判断，再根据对称轴判断出b的符号，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：根据二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧，从而可得，对称轴为直线，进一步得出，，推出二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧， ∴，对称轴为直线， ∴，， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， 即二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧， 故的图象可能是 ， 故选：D． ▌题型02 代数式符号判断的常见题型 常见代数式 1. 2. 3. 的函数值； 4. 的函数值； 5. 的函数值。 其他重要式子 1. 对称轴 2. 对称轴 3. 对称轴 4. 对称轴 【典例2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性，开口方向等知识是关键． 根据二次函数图象开口，对称性得到时，，结合特殊值即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴， ∴B选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误； 当时，， ∴当时，，则，故A选项错误； 当时，，故D选项错误； 故选：B ． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质， 根据该抛物线开口向下，其对称轴是直线，可知，，易得，故结论①正确；由该抛物线经过点，且对称轴是直线，可知当时，可有，故结论②正确；当时，可有，故结论③错误． 【详解】解：根据题意，可知该抛物线开口向下， ∴， ∵其对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线经过点，且对称轴是直线， ∴该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论②正确； ∵该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②． 故选：A． 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 【变式2-3】（2025·四川 ·三模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； ▌题型03 ∆符号判断的常见题型 判别式 （看与 x 轴交点个数） · 抛物线与 x 轴2 个交点； · ：抛物线与 x 轴1 个交点（顶点在 x 轴）； · ：抛物线与 x 轴没有交点。 【典例3】“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 【变式3-1】已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 【变式3-2】如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 【变式3-3】如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． ▌题型04 多结论正误判断 二次函数图像与系数关系常见结论： 其他结论： ①比较函数值大小 方法：看点到对称轴的距离 · 离对称轴越远，函数值越大； · a <0 ：离对称轴越远，函数值越小。 ②根据图像判断不等式解集 · · 取图像在 x 轴下方部分对应的 x 范围。 · 取二次函数图像在直线y=kx+b下方部分对应的 x 范围。 · 取二次函数图像在直线y=kx+b上方部分对应的 x 范围。 【典例4】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，， ∴， ∴结论②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴结论③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴结论④正确， ∴正确结论的个数是． 故选：C． 【变式4-1】（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 【变式4-2】如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图像顶点为，经过点．以下结论正确的是（   ） A． B．y随x的增大而增大 C． D．对于任意实数t，总有 【答案】C 【分析】A、由二次函数开口方向、对称轴、与y轴交点分别确定a、b、c与0的关系； B、由二次函数开口方向和对称轴确定函数图像的增减性； C、由题可知对称轴，并代入可求出c的值； D、主要考查二次函数最值问题，开口向下，应有最大值． 【详解】解：A、二次函数开口向下，；对称轴在y轴右侧，得出，a、b异号，；与y轴交点在y轴正半轴，；因此，故A错误； B、二次函数图像开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小，B错； C、由题可知对称轴，得；代入得；两式联立，解得，C正确； D、由函数图像可知，当时，二次函数取得最大值，即对于任意实数，都有，因此对于任意实数t ，，即，D错． 故选：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图像和特殊的点，判断系数a、b、c与0的关系、函数图像的增减性和最值问题，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及图像与系数的关系，解题难点在于补全二次函数取最大值时系数之间的关系式． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 1．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置可判断A、B、C；根据与x轴的交点个数可判断D． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于y轴的负半轴， ∴，故A结论正确，C结论错误， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴，故B结论错误； ∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，故D结论错误； 故选：A． 2．（25-26九年级上·辽宁·期末）抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，；对称轴在轴右侧，，异号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得的符号，根据对称轴在轴的哪侧可得的符号，根据抛物线与轴的交点可得的符号． 【详解】解：抛物线开口向下 ∴， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴ ， 抛物线与轴交于正半轴， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 4．（25-26九年级上·上海·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键． A选项考查的取值范围，相乘即可求解，B选项考查当时，的取值范围即可求解，C选项考查图像与轴的交点个数即可求解，D选项考查二次函数的增减性，观察图像即可求解． 【详解】解：选项A：由图可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即，，，那么，故不符合题意； 选项B：当时，，由图可知，当时，，即，故不符合题意； 选项C：由图可知，抛物线与轴有两个交点，即，故不符合题意； 选项D：由图可知，当时，随的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 5．（25-26九年级上·安徽·期末）抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，结合开口方向、对称轴位置、与y轴交点，判断抛物线经过的象限．由于开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，且当时，故一定不经过第二象限． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线开口向下． ∵， ∴， ∴对称轴直线， 则对称轴在y轴右侧， 当时，， ∵， ∴，与y轴交于负半轴． 当时，， ∵，；，，， ∴；， ∴恒成立， 即时． ∴抛物线一定不经过第二象限． 故选B． 6．（25-26九年级上·福建·期中）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断错误；根据对称轴为直线，通过变形可得正确；根据抛物线与轴的交点可得，可得错误；根据时，，可得错误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； ∵对称轴为直线， ∴，变形得：，故正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故错误； ∵当时，， ∴，故错误； 故正确的有：，只有1个． 故选：B． 7．（25-26九年级上·山东·期末）如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． ①根据函数图象的开口方向即可判断a的符号；②根据对称轴以及抛物线与y轴的交点位置可判断b与c的符号；③将点代入抛物线即可，④根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ②∵抛物线的顶点为， ∴，即， ∵，则， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴，即， ∴，故②错误； ③∵抛物线经过点， ∴，即，故③正确； ④∵抛物线的顶点为，且开口方向向下， ∴时，y随x的增大而减小，即④正确； 综上，正确的共有3个． 故选：B． 8．（25-26九年级上·安徽·）期末已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 9．（2026·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 【答案】(1) (2) 证明：， 二次函数开口向下， 函数图象与x轴有两个交点，，且， 当时，函数值大于， 即， ； (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，函数值大于，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：，函数图象经过点和， ， 解得， 二次函数解析式为， 整理得， 函数图象的顶点坐标为：． （2）略 （3）解：函数图象经过点， ①， 当时，；当时，， 函数图象在时取得最小值，即②， ， 在的左侧， 当时，，即③， 由①②③解得． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $