专题05 一次函数的应用（专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用与图象综合，覆盖7大常考题型，构建“实际问题建模-图象分析-方程不等式应用”逻辑链，强化数学建模与直观想象。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|7类28题|含最大利润（重）、行程、梯度计价（分段函数）、分配方案（高频）等实际应用，及函数与方程不等式图象应用|从实际情境抽象函数关系，通过建模与图象分析解决最值、方案优化等问题，体现“问题-模型-应用”递进| |综合攻坚|10题|选择、填空、解答题结合，侧重多知识点综合应用|整合函数建模与图象信息提取，强化数学思维的逻辑性与数据观念|

专题05 一次函数的应用 常考题型·精准突破 考点一 一次函数的应用 题型1最大利润问题（重） 题型2行程问题 题型3梯度计价问题 题型4分配方案问题（高频） 题型5已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型6利用图象法解一元一次方程 题型7由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一次函数的应用 ◆题型1最大利润问题 1．某花店准备购进甲、乙两种花卉，已知甲种花卉进价为每盆8元，乙种花卉进价为每盆12元，销售甲、乙两种花卉每盆分别可获利3元、6元，该花店计划购进这两种花卉共50盆，设购进甲种花卉x盆，全部售完后可获利W元． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)若购进的乙种花卉的数量不超过甲种花卉数量的2倍，如何购进使得在全部售完后获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且为整数）． (2)购进甲种花卉17盆，乙种花卉33盆时全部售完获利最大，最大利润为249元． 【分析】（1）设购进甲种花卉x盆，则乙种花卉盆，根据题意列出一次函数即可； （2）先求得，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲种花卉x盆，则乙种花卉盆， 甲每盆获利3元，乙每盆获利6元， ， 的取值范围：，且x为整数； （2）解：∵乙种花卉数量不超过甲种的2倍， ∴， ∴， ∵是整数， ∴， 又，得， 即，且是整数， 函数，，W随x增大而减小， ∴x取最小值17时，W最大， 当时，， ． 答：购进甲种花卉17盆，乙种花卉33盆时全部售完获利最大，最大利润为249元． 2．某无人机配件公司销售A，B两种配件，其进价和售价如下表． A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 若该公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，本次销售获得的利润为y元，设购进A配件x件． (1)请直接写出y与x之间的函数解析式（不必写出自变量取值范围）； (2)根据市场分析，A配件的销售量不超过B配件的，问怎样购进配件可使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】（1）设购进A配件x件，则购进B配件件，再根据销售获得的利润售出全部A配件的利润售出全部B配件的利润，即可求解； （2）根据题意列出关于x的不等式，再利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得：； （2）解：根据题意，得：， 解得， 由（1）得，， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为（元）， 此时（件）， 答：购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元． 3．非物质文化遗产是中华优秀传统文化的瑰宝，云南非遗瓦猫既是建筑装饰艺术的结晶，也承载着云南少数民族的精神信仰与文化记忆．请根据下列素材，完成有关任务： 背景 某文创店为推广云南非遗文化，需采购三种规格的瓦猫文创品，已知小号瓦猫单价为30元/个． 素材一 购买5个大号瓦猫与购买6个中号瓦猫花费相同； 素材二 购买2个中号瓦猫的价格比购买一个大号瓦猫多花费40元； 素材三 小号瓦猫、中号瓦猫、大号瓦猫各买一个的价格为140元； 素材四 若该文创店要购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个，且中号瓦猫的个数不低于大号瓦猫的个数，又不超过大号瓦猫个数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格分别是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案并求出最低费用． 【答案】(1)每个大号瓦猫的价格为60元，每个中号瓦猫的价格为50元． (2)最节省费用的购买方案为：购买大号瓦猫34个，中号瓦猫66个，最低费用为5340元． 【分析】（1）设每个中号瓦猫的价格为元，每个大号瓦猫的价格为元，根据题目情境列出方程组，解出即可得每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格． （2）设大号瓦猫购买个，则中号瓦猫购买个，根据题意列出不等式组，解出即可得的取值范围，设购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个的费用为，即可列出与的函数关系式，根据一次函数的性质即可得中号瓦猫购买66个，大号瓦猫购买34个时，最节省费用，最低费用为5340元． 【详解】（1）解：设每个中号瓦猫的价格为元，每个大号瓦猫的价格为元，根据题意得： ，解得：， ∴每个大号瓦猫的价格为元，每个中号瓦猫的价格为元． （2）解：设大号瓦猫购买个，则中号瓦猫购买个，根据题意得： ，解得：， 设购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个的费用为，则： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当最小时，取最小值， ∵且为正整数， ∴， ∴当时，（元），此时，中号瓦猫购买：（个）， ∴中号瓦猫购买66个，大号瓦猫购买34个时，最节省费用，最低费用为5340元． 4．项目化学习 背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售． 素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元； 1辆中型比3辆紧凑型的进价少24万元． 素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆． 该经销商准备购进两种车型共100辆． 素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的． 问题解决： (1)任务1：分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价． (2)任务2：该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元 (2)购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元 【分析】（1）根据题意设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元，列二元一次方程组，利用消元法求解即可； （2）根据题意求出购进紧凑型新能源汽车的范围，利润=单价利润销量，得出总利润和购进紧凑型新能源汽车数量的关系为一次函数，利用一次函数的增减性即可进行求解． 【详解】（1）解：设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元，     根据题意，可得，     解得，     答：中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元； （2）解：设购进紧凑型新能源汽车辆，则购进中型新能源汽车辆，总利润为万元， 根据题意，可得，     解得，     ，     ， 随的增大而增大，     当时，总利润最大，最大利润是（万元）， 此时， 答：购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元． ◆题型2行程问题 5．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，行驶路程y（单位：）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)A，B两地的路程是______． (2)出发较早的是______，早______h． (3)到达较早的是______，早______h． (4)甲的速度为______，乙的速度为______． (5)乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少小时？ 【答案】(1)80 (2)甲，3 (3)乙，3 (4)， (5)乙在距A地40千米处追上甲，此时甲行驶了4小时 【分析】（1）（2）（3）根据图象中的数据直接求解即可； （4）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可； （5）利用待定系数法求得甲、乙对应图象的函数表达式，进而可求解． 【详解】（1）解：由图象知，A，B两地的路程是； （2）解：由图知，出发较早的是甲，早； （3）解：由图知，到达较早的是乙，早； （4）解：由图象知，甲的速度为； 乙的速度为； （5）解：由图象，甲的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 将点代入，得，解得， ∴甲的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为； 设乙的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴乙的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 联立方程组，解得， 答：乙在距A地40千米处追上甲，此时甲行驶了4小时． 6．一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后立即返回．设汽车从甲地出发的时间为，汽车与甲地之间的路程为，与之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车往返的速度是否相同？请说明理由． (2)求返回的过程中，与之间的函数关系式． (3)求这辆汽车从甲地出发时与甲地之间的路程． 【答案】(1) 解：这辆汽车往返的速度不相同，理由如下： 汽车从甲地到乙地时的速度为， 汽车返回时的速度为， ， 这辆汽车往返的速度不相同； (2) (3)这辆汽车从甲地出发时与甲地之间的路程为． 【分析】（1）根据图象中的数据求出汽车往、返的速度，根据求出的结果判断即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式； （3）把代入（2）中的函数解析式即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设返回的过程中，与之间的函数关系式是， 把、代入， 可得：， 解得：， 返回的过程中，与之间的函数关系式是； （3）解：当时， 可得：， 这辆汽车从甲地出发时与甲地之间的路程为． 7．一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以的速度匀速行驶．已知警车加满油后，油箱中的余油量与行驶时间之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分． (1)求直线l的函数表达式． (2)警车加满油时，油箱中的油量是多少升？ (3)已知警车往返的耗油量相同．若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于，则其巡逻的最远路程是多少千米？ 【答案】(1)（）； (2)警车加满油时油箱中的油量是升； (3)巡逻的最远路程是千米． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）警车加满油对应行驶时间的时刻，进而根据函数表达式作答即可； （3）根据题意求出单程耗油量的最大值，进而求出警车最远开出的单程时间，根据警车速度计算即可． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为（）， 由图可知直线过点和， 将两点代入解析式得： 解得， 因此直线l的函数表达式为（）； （2）解：警车加满油对应行驶时间的时刻， 将代入函数表达式得：， 即加满油时油箱有60升油； （3）解：∵要求返回后余油量不少于， ∴往返总耗油量不大于， 即单程耗油量不大于， ， 当时， 解得， 即警车最远开出的单程时间为， ∵警车速度为， ∴最远单程路程为． 8．A，B，C三地位于一条南北走向的公路上（A，B，C依次由南往北），B与A之间的路程为，C与B之间的路程为．甲骑自行车，乙步行，分别由A，B两地同时出发，向C地行驶，他们离A地的路程是行驶时间的一次函数，其图象如图所示． (1)出发后多长时间甲追上乙？此时离C地多远？ (2)当出发后时，谁在前面？此时他超过另一人多少千米？ 【答案】(1)出发后甲追上乙，此时离C地 (2)甲在前面，超过乙 【分析】（1）设出函数关系式，待定系数法求出函数关系式，根据甲追上乙时，函数值相等，求出自变量的值，进而求出此时离地的距离即可； （2）分别求出时的函数值，进行判断和求解即可. 【详解】（1）解：设甲的函数关系式为， 把代入函数关系式，得，解得， ∴， 设乙的函数关系式为， 把代入，得，解得， ∴； 当甲追上乙时，，解得， 此时离地的距离为； 答：出发后甲追上乙，此时离C地； （2）解：当时，，， ， 故此时甲在前面，超过乙. ◆题型3梯度计价问题 9．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可． 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 10．某市出租车的计费方法如图所示，表示出租车行驶的里程，y（元）表示打车的费用． (1)若某乘客的乘车里程为，则他需付的打车费是多少元？ (2)当时，求y与x之间的函数关系式． (3)若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程． 【答案】(1)8元 (2) (3) 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）设当时，y与x的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论； （3）将代入（2）的解析式就可以求出x的值． 【详解】（1）解：∵， ∴某乘客的乘车里程为，他需付的打车费是8元； （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 由函数图象，得， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为； （3）解：当时，， ∴， 答：这位乘客乘车的里程是． 11．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/收费；当用电量超过时，超过部分按元/收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果这个家庭某月的电费为141元，那么此家庭这个月的用电量是多少？ 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】（1）根据收费方式，分两种情况，进行讨论求解即可； （2）根据题意可得，再把代入，即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， 即此家庭这个月的用电量为． 12．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 【答案】(1) (2)该居民今年的燃气费是1897.2元 【分析】（1）根据第二阶梯和第三阶梯的计费方式分两种情况表示即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． ◆题型4分配方案问题 13．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 14．为助力乡村农业发展，某公司计划集体采购乡村特色农副产品，其中杂粮礼包的价格为40元/包，果蔬礼包的价格为30元/包．农户为感谢该公司，特给出以下两种优惠方案： 方案一：杂粮礼包每包打九折，果蔬礼包每包打六折； 方案二：杂粮礼包和果蔬礼包均打八折． 若该公司计划购买这两种礼包共100包，且两种礼包都要购买．设购买杂粮礼包x包，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)求，与x之间的函数表达式； (2)请你分析该公司如何选择购买方案使得所付的费用较少． 【答案】(1)， (2)当时，方案一所付的费用较少；当时，两种方案所付的费用一样；当时，方案二所付的费用较少 【分析】（1）根据两种方案分别列函数表达式即可； （2）分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：当时，，解得． 当时，，解得． 当时，，解得． 综上所述，当时，方案一所付的费用较少；当时，两种方案所付的费用一样；当时，方案二所付的费用较少． 15．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 16．暑假将至，某健身俱乐部面向大学生推出优惠活动，活动方案如下：方案一：购买一张学生暑假专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑假专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．在平面直角坐标系中的函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)小华同学计划在该俱乐部健身，若她准备元的健身费用，最多可以健身多少次？ 【答案】(1)表示的实际意义是：购买一张学生暑假专享卡后每次健身费用为元，表示的实际意义是：购买一张学生暑假专享卡的费用为元； (2)20 (3)选择方案一，最多可健身次 【详解】（1）∵的图象经过点， ，解得：， 表示的实际意义是：购买一张学生暑假专享卡后每次健身费用为15元， 表示的实际意义是：购买一张学生暑假专享卡的费用为元； （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为（元）， 则； （3）由题意得， 若选择方案一，， 解得， 若选择方案二，， 解得， 所以选择方案一，最多可健身次． ◆题型5已知直线与坐标轴交点求方程的解 17．如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数图象平移的法则得出一次函数的解析式为，令，则，求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合， ∴一次函数的解析式为， 令，则， 解得， ∴关于的方程的解是． 18．直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 19．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【分析】一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解是． 20．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，方程的解即为函数值为时对应的自变量的值，结合已知条件即可求解. 【详解】解：函数（）的图象经过点， 当时，， 关于的方程的解为. ◆题型6利用图象法解一元一次方程 21．在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对方程变形，整理得；方程的解，就是直线与直线交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 22．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点、的坐标代入一次函数中，即可得到一次函数解析式；利用一次函数图象上点的坐标和一次函数与一元一次方程的关系进行分析判断． 【详解】解：将点、的坐标代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数的解析式为：， 将点，代入得，解得， ∴， 由图象得：方程的解为． 23．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 24．如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】直接利用图象法，两条直线交点的横坐标即为方程的解. 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解是. ◆题型7由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 25．如图，一次函数的图象过点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察函数图象，确定函数值 时对应的自变量 的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象过点，且随的增大而减小． ∵不等式，即函数值． ∴观察图象可知，当时，函数图象在直线的下方． ∴不等式的解集为． 26．如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式表示的是一次函数的图象位于轴下方（含交点），结合函数图象即可得． 【详解】解：∵不等式表示的是一次函数的图象位于轴下方（含交点），且直线交轴于点， ∴结合函数图象可知，不等式的解集是． 27．如图，已知函数的图象与x轴交于点，则当时，x的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数图象与 轴的交点坐标，结合图象在 轴上方的部分对应的自变量取值范围即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，直线 与 轴交于点 ， 且函数值 随自变量 的增大而减小， ∵当时，函数图象位于轴上方， ∴观察图象可知，此时的取值范围是． 28．如图，已知一次函数的图象，则关于x的不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】不等式可以写成，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：不等式可以写成，即一次函数，当时，x的取值范围， 由函数图象可得． 综合攻坚·知能拔高 1．某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】先设商品每件的原价为元，根据题意可得超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为：，由图像可知，过点，代入求解即可． 【详解】设商品每件的原价为元， 超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为： ， 由图像可知，过点， ∴， 解得：， 答：商品每件的原价为元． 2．甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题图中横坐标代表时间、纵坐标代表路程，直线的倾斜程度代表甲、乙的速度，直线越陡，说明相同时间内行驶的距离越长，即速度越快；如果是水平线，说明时间在流逝而距离没有增加，即处于停留状态． 【详解】解：说法①，纵坐标轴表示甲、乙行驶的路程，可以看出两人都行驶了，符合题意； 说法②，在横坐标轴上可以看到，甲在至之间为水平线，纵坐标无变化，即停留了，符合题意； 说法③，在横坐标轴上可以看到乙比甲晚出发了，不符合题意； 说法④，甲、乙在时相遇，相遇后甲直线的倾斜程度小于乙直线的倾斜程度，即甲的速度小于乙的速度，符合题意； 说法⑤，乙比甲早到达目的地，不符合题意； 由此可见，①、②、④符合图象描述，故选B． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，看懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，， 所以方程的解是，原选项说法错误，不合题意； B、由函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集是，该选项说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； D、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意． 故选：B． 4．如图，直线（）与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，再结合图象求解即可． 【详解】解：对于直线， 令，则， ∵， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为 由图象可知，两直线交点的横坐标为，当时，直线在直线的上方，即 当时，直线在轴上方，即 ∴关于的不等式的解集为． 二、填空题 5．如图，直线与的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是________． 【答案】 【详解】解：当时，， 根据函数图象可得的解集为；的解集为， ∴关于x的不等式组的解集是． 三、解答题 6．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，已知每张学生暑期专享卡30元，每次健身费用的原价为25元，现有以下两种活动方案： 设某学生暑期健身次，按照方案一所需费用为元，按照方案二所需费用为元， (1)分别求和关于的函数解析式． (2)学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数制定合理的选择方案． 【答案】(1)（为正整数）；（为正整数） (2)当健身次数小于6次时，选方案二更划算；当健身次数等于6次时，两种方案费用相同；当健身次数大于6次时，选方案一更划算 【分析】（1）方案一先求出单次优惠后费用，再根据“总费用卡费次健身的费用”列式即可；方案二先求出单次优惠后费用，再根据“总费用就是次健身的费用”列式即可； （2）通过比较两个函数的大小判断费用高低； 【详解】（1）解：方案一：先花30元买专享卡，再享受每次健身六折优惠，单次优惠后费用为元， 因此； 方案二：不买卡，每次健身直接八折优惠，单次优惠后费用为元， 因此； （2）解：当时，，解得，此时方案一总费用更低； 当时，，解得，此时两种方案总费用完全相同； 当时，，解得，此时方案二总费用更低． 7．某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，容积都是．其中，甲池有的水，乙池已经注满水．此时，甲池以的速度注水，乙池以的速度将水放出使用．设乙池放水时间为时，甲、乙两池中的水量分别为． (1)分别写出甲、乙两池中的水量关于的函数关系式及自变量的取值范围，并在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象． (2)借助由（1）得出的图象回答： ①当取何值时，甲、乙两池中的水量相等？ ②当取哪些值时，甲池中的水量少于乙池中的水量？ ③当取哪些值时，甲池中的水量多于乙池中的水量？ 【答案】(1)，，两个函数的图象如图所示： (2)①当时，甲、乙两池中的水量相等；②当时，甲池中的水量少于乙池中的水量；③当时，甲池中的水量多于乙池中的水量． 【分析】（1）根据水池容积、原有水量及注水与放水速度，即可分别求关于的函数关系式及自变量的取值范围，进而画出图象； （2）根据（1）所得关系式，求出两图象的交点坐标，根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：∵甲池有的水，容积是，甲池以的速度注水， ∴， ∵， ∴， ∵乙池已经注满水，乙池以的速度将水放出使用， ∴， ∵， ∴， 这两个函数的图象如图所示：略 （2）解：∵，， ∴联立两表达式得， 解得：， ∴（1）中两图象的交点坐标为， 由（1）中图象可知，①当时，甲、乙两池中的水量相等； ②当时，甲池中的水量少于乙池中的水量； ③当时，甲池中的水量多于乙池中的水量． 8．某校计划采购、两款蕴含非物质文化遗产的书签作为校文化艺术节的纪念品．已知这两款书签的单价相差元，用元购买款书签的数量与用元购买款书签的数量恰好相等． (1)求款书签和款书签的单价分别是多少元？ (2)若购买这两款书签共300个，且款书签的数量不少于款书签数量的一半．请设计购买方案，使总费用最少． 【答案】(1)款书签的单价为元，款书签的单价为元． (2)当购买款书签200个，款书签100个时，总费用最少． 【分析】（1）设款书签的单价为元，则款书签的单价为元，根据题意列出方程求解即可． （2）设购买款书签个，则购买款书签个，总费用为元，根据题意求出关于总费用的函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：设款书签的单价为元，则款书签的单价为元，根据题意，列方程得： 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴， 答：款书签的单价为元，款书签的单价为元． （2）解：设购买款书签个，则购买款书签个，总费用为元， 由题意得，， 解得，， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 答：购买款书签个，则购买款书签个时，总费用最少． 9．习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进，两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 类 类 进货价（元） 25 16 销售价（元） 35 24 (1)第一次，该书店用1960元购进了，两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ (2)第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进，两类图书180本（图书的进货价不变），但类的进货数量不超过类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)书店购进A类图书40本，B类图书60本 (2)书店购进A类图书45本，B类图书135本，获得利润最大，最大利润为1530元 【分析】（1）设书店购进A类图书本，则购进B类图书本，列方程组求解即可； （2）设书店购进A类图书本，获得的利润为元，根据题意求出x的取值范围及w的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设书店购进A类图书本，则购进B类图书本， 根据题意得 解得， 书店购进A类图书40本，B类图书60本 （2）解：设书店购进A类图书本，获得的利润为元， 根据题意得 解得， ， ； 随x的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 此时B类图书有：（本）， 答：书店购进A类图书45本，B类图书135本，获得利润最大，最大利润为1530元． 10．【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱，为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具多少个时花费最少？ 【答案】(1)50元，60元 (2)购进30个A种机器人玩具时花费最少 【分析】（1）先设A种机器人玩具x元，则B种机器人玩具元，根据购进两种机器人玩具的数量之间的关系得出分式方程，检验可得答案； （2）设再次购进A种机器人玩具m个，所花费用为w元，则B种机器人玩具为个，根据题意得出不等式，并求出解集，然后结合（1）中的单价得出，接下来根据一次函数的性质讨论得出答案． 【详解】（1）解：A种机器人玩具x元，则B种机器人玩具元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，则， 所以购进A种机器人玩具的单价是50元，B种机器人玩具的单价为60元； （2）解：设再次购进A种机器人玩具m个，所花费用为w元，则B种机器人玩具为个，根据题意，得 ， 解得． ， ∵， ∴函数值随着m的增大而减小， ∴当时，（元）， 所以购进30个A种机器人玩具时花费最少． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数的应用 常考题型·精准突破 考点一 一次函数的应用 题型1最大利润问题（重） 题型2行程问题 题型3梯度计价问题 题型4分配方案问题（高频） 题型5已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型6利用图象法解一元一次方程 题型7由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一次函数的应用 ◆题型1最大利润问题 1．某花店准备购进甲、乙两种花卉，已知甲种花卉进价为每盆8元，乙种花卉进价为每盆12元，销售甲、乙两种花卉每盆分别可获利3元、6元，该花店计划购进这两种花卉共50盆，设购进甲种花卉x盆，全部售完后可获利W元． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)若购进的乙种花卉的数量不超过甲种花卉数量的2倍，如何购进使得在全部售完后获利最大？最大利润是多少？ 2．某无人机配件公司销售A，B两种配件，其进价和售价如下表． A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 若该公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，本次销售获得的利润为y元，设购进A配件x件． (1)请直接写出y与x之间的函数解析式（不必写出自变量取值范围）； (2)根据市场分析，A配件的销售量不超过B配件的，问怎样购进配件可使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3．非物质文化遗产是中华优秀传统文化的瑰宝，云南非遗瓦猫既是建筑装饰艺术的结晶，也承载着云南少数民族的精神信仰与文化记忆．请根据下列素材，完成有关任务： 背景 某文创店为推广云南非遗文化，需采购三种规格的瓦猫文创品，已知小号瓦猫单价为30元/个． 素材一 购买5个大号瓦猫与购买6个中号瓦猫花费相同； 素材二 购买2个中号瓦猫的价格比购买一个大号瓦猫多花费40元； 素材三 小号瓦猫、中号瓦猫、大号瓦猫各买一个的价格为140元； 素材四 若该文创店要购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个，且中号瓦猫的个数不低于大号瓦猫的个数，又不超过大号瓦猫个数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格分别是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案并求出最低费用． 4．项目化学习 背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售． 素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元； 1辆中型比3辆紧凑型的进价少24万元． 素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆． 该经销商准备购进两种车型共100辆． 素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的． 问题解决： (1)任务1：分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价． (2)任务2：该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？ ◆题型2行程问题 5．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，行驶路程y（单位：）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)A，B两地的路程是______． (2)出发较早的是______，早______h． (3)到达较早的是______，早______h． (4)甲的速度为______，乙的速度为______． (5)乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少小时？ 6．一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后立即返回．设汽车从甲地出发的时间为，汽车与甲地之间的路程为，与之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车往返的速度是否相同？请说明理由． (2)求返回的过程中，与之间的函数关系式． (3)求这辆汽车从甲地出发时与甲地之间的路程． 7．一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以的速度匀速行驶．已知警车加满油后，油箱中的余油量与行驶时间之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分． (1)求直线l的函数表达式． (2)警车加满油时，油箱中的油量是多少升？ (3)已知警车往返的耗油量相同．若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于，则其巡逻的最远路程是多少千米？ 8．A，B，C三地位于一条南北走向的公路上（A，B，C依次由南往北），B与A之间的路程为，C与B之间的路程为．甲骑自行车，乙步行，分别由A，B两地同时出发，向C地行驶，他们离A地的路程是行驶时间的一次函数，其图象如图所示． (1)出发后多长时间甲追上乙？此时离C地多远？ (2)当出发后时，谁在前面？此时他超过另一人多少千米？ ◆题型3梯度计价问题 9．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 10．某市出租车的计费方法如图所示，表示出租车行驶的里程，y（元）表示打车的费用． (1)若某乘客的乘车里程为，则他需付的打车费是多少元？ (2)当时，求y与x之间的函数关系式． (3)若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程． 11．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/收费；当用电量超过时，超过部分按元/收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果这个家庭某月的电费为141元，那么此家庭这个月的用电量是多少？ 12．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ ◆题型4分配方案问题 13．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 14．为助力乡村农业发展，某公司计划集体采购乡村特色农副产品，其中杂粮礼包的价格为40元/包，果蔬礼包的价格为30元/包．农户为感谢该公司，特给出以下两种优惠方案： 方案一：杂粮礼包每包打九折，果蔬礼包每包打六折； 方案二：杂粮礼包和果蔬礼包均打八折． 若该公司计划购买这两种礼包共100包，且两种礼包都要购买．设购买杂粮礼包x包，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)求，与x之间的函数表达式； (2)请你分析该公司如何选择购买方案使得所付的费用较少． 15．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 16．暑假将至，某健身俱乐部面向大学生推出优惠活动，活动方案如下：方案一：购买一张学生暑假专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑假专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．在平面直角坐标系中的函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)小华同学计划在该俱乐部健身，若她准备元的健身费用，最多可以健身多少次？ ◆题型5已知直线与坐标轴交点求方程的解 17．如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 18．直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 19．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 20．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． ◆题型6利用图象法解一元一次方程 21．在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 22．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 23．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 24．如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． ◆题型7由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 25．如图，一次函数的图象过点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 26．如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 27．如图，已知函数的图象与x轴交于点，则当时，x的取值范围为______． 28．如图，已知一次函数的图象，则关于x的不等式的解集是_________． 综合攻坚·知能拔高 1．某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 2．甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 4．如图，直线（）与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，直线与的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是________． 三、解答题 6．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，已知每张学生暑期专享卡30元，每次健身费用的原价为25元，现有以下两种活动方案： 设某学生暑期健身次，按照方案一所需费用为元，按照方案二所需费用为元， (1)分别求和关于的函数解析式． (2)学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数制定合理的选择方案． 7．某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，容积都是．其中，甲池有的水，乙池已经注满水．此时，甲池以的速度注水，乙池以的速度将水放出使用．设乙池放水时间为时，甲、乙两池中的水量分别为． (1)分别写出甲、乙两池中的水量关于的函数关系式及自变量的取值范围，并在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象． (2)借助由（1）得出的图象回答： ①当取何值时，甲、乙两池中的水量相等？ ②当取哪些值时，甲池中的水量少于乙池中的水量？ ③当取哪些值时，甲池中的水量多于乙池中的水量？ 8．某校计划采购、两款蕴含非物质文化遗产的书签作为校文化艺术节的纪念品．已知这两款书签的单价相差元，用元购买款书签的数量与用元购买款书签的数量恰好相等． (1)求款书签和款书签的单价分别是多少元？ (2)若购买这两款书签共300个，且款书签的数量不少于款书签数量的一半．请设计购买方案，使总费用最少． 9．习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进，两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 类 类 进货价（元） 25 16 销售价（元） 35 24 (1)第一次，该书店用1960元购进了，两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ (2)第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进，两类图书180本（图书的进货价不变），但类的进货数量不超过类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 10．【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱，为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具多少个时花费最少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数的应用 常考题型·精准突破 考点一 一次函数的应用 ◆题型1最大利润问题 1．(1)（，且为整数）． (2)购进甲种花卉17盆，乙种花卉33盆时全部售完获利最大，最大利润为249元． 【详解】（1）解：设购进甲种花卉x盆，则乙种花卉盆， 甲每盆获利3元，乙每盆获利6元， ， 的取值范围：，且x为整数； （2）解：∵乙种花卉数量不超过甲种的2倍， ∴， ∴， ∵是整数， ∴， 又，得， 即，且是整数， 函数，，W随x增大而减小， ∴x取最小值17时，W最大， 当时，， ． 答：购进甲种花卉17盆，乙种花卉33盆时全部售完获利最大，最大利润为249元． 2．(1) (2)购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元 【详解】（1）解：根据题意，得：； （2）解：根据题意，得：， 解得， 由（1）得，， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为（元）， 此时（件）， 答：购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元． 3．(1)每个大号瓦猫的价格为60元，每个中号瓦猫的价格为50元． (2)最节省费用的购买方案为：购买大号瓦猫34个，中号瓦猫66个，最低费用为5340元． 【详解】（1）解：设每个中号瓦猫的价格为元，每个大号瓦猫的价格为元，根据题意得： ，解得：， ∴每个大号瓦猫的价格为元，每个中号瓦猫的价格为元． （2）解：设大号瓦猫购买个，则中号瓦猫购买个，根据题意得： ，解得：， 设购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个的费用为，则： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当最小时，取最小值， ∵且为正整数， ∴， ∴当时，（元），此时，中号瓦猫购买：（个）， ∴中号瓦猫购买66个，大号瓦猫购买34个时，最节省费用，最低费用为5340元． 4．(1)中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元 (2)购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元 【详解】（1）解：设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元，     根据题意，可得，     解得，     答：中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元； （2）解：设购进紧凑型新能源汽车辆，则购进中型新能源汽车辆，总利润为万元， 根据题意，可得，     解得，     ，     ， 随的增大而增大，     当时，总利润最大，最大利润是（万元）， 此时， 答：购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元． ◆题型2行程问题 5．(1)80 (2)甲，3 (3)乙，3 (4)， (5)乙在距A地40千米处追上甲，此时甲行驶了4小时 【详解】（1）解：由图象知，A，B两地的路程是； （2）解：由图知，出发较早的是甲，早； （3）解：由图知，到达较早的是乙，早； （4）解：由图象知，甲的速度为； 乙的速度为； （5）解：由图象，甲的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 将点代入，得，解得， ∴甲的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为； 设乙的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴乙的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 联立方程组，解得， 答：乙在距A地40千米处追上甲，此时甲行驶了4小时． 6．(1) 解：这辆汽车往返的速度不相同，理由如下： 汽车从甲地到乙地时的速度为， 汽车返回时的速度为， ， 这辆汽车往返的速度不相同； (2) (3)这辆汽车从甲地出发时与甲地之间的路程为． 【详解】（1）略 （2）解：设返回的过程中，与之间的函数关系式是， 把、代入， 可得：， 解得：， 返回的过程中，与之间的函数关系式是； （3）解：当时， 可得：， 这辆汽车从甲地出发时与甲地之间的路程为． 7．(1)（）； (2)警车加满油时油箱中的油量是升； (3)巡逻的最远路程是千米． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为（）， 由图可知直线过点和， 将两点代入解析式得： 解得， 因此直线l的函数表达式为（）； （2）解：警车加满油对应行驶时间的时刻， 将代入函数表达式得：， 即加满油时油箱有60升油； （3）解：∵要求返回后余油量不少于， ∴往返总耗油量不大于， 即单程耗油量不大于， ， 当时， 解得， 即警车最远开出的单程时间为， ∵警车速度为， ∴最远单程路程为． 8．(1)出发后甲追上乙，此时离C地 (2)甲在前面，超过乙 【详解】（1）解：设甲的函数关系式为， 把代入函数关系式，得，解得， ∴， 设乙的函数关系式为， 把代入，得，解得， ∴； 当甲追上乙时，，解得， 此时离地的距离为； 答：出发后甲追上乙，此时离C地； （2）解：当时，，， ， 故此时甲在前面，超过乙. ◆题型3梯度计价问题 9．B 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 10．(1)8元 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴某乘客的乘车里程为，他需付的打车费是8元； （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 由函数图象，得， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为； （3）解：当时，， ∴， 答：这位乘客乘车的里程是． 11．(1)当时，；当时， (2) 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， 即此家庭这个月的用电量为． 12．(1) (2)该居民今年的燃气费是1897.2元 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． ◆题型4分配方案问题 13．(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 14．(1)， (2)当时，方案一所付的费用较少；当时，两种方案所付的费用一样；当时，方案二所付的费用较少 【详解】（1）解：， ； （2）解：当时，，解得． 当时，，解得． 当时，，解得． 综上所述，当时，方案一所付的费用较少；当时，两种方案所付的费用一样；当时，方案二所付的费用较少． 15．(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 16．(1)表示的实际意义是：购买一张学生暑假专享卡后每次健身费用为元，表示的实际意义是：购买一张学生暑假专享卡的费用为元； (2)20 (3)选择方案一，最多可健身次 【详解】（1）∵的图象经过点， ，解得：， 表示的实际意义是：购买一张学生暑假专享卡后每次健身费用为15元， 表示的实际意义是：购买一张学生暑假专享卡的费用为元； （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为（元）， 则； （3）由题意得， 若选择方案一，， 解得， 若选择方案二，， 解得， 所以选择方案一，最多可健身次． ◆题型5已知直线与坐标轴交点求方程的解 17．B 【详解】解：∵正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合， ∴一次函数的解析式为， 令，则， 解得， ∴关于的方程的解是． 18．B 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 19． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解是． 20． 【详解】解：函数（）的图象经过点， 当时，， 关于的方程的解为. ◆题型6利用图象法解一元一次方程 21．B 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 22．B 【详解】解：将点、的坐标代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数的解析式为：， 将点，代入得，解得， ∴， 由图象得：方程的解为． 23． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 24． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解是. ◆题型7由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 25．B 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象过点，且随的增大而减小． ∵不等式，即函数值． ∴观察图象可知，当时，函数图象在直线的下方． ∴不等式的解集为． 26．C 【详解】解：∵不等式表示的是一次函数的图象位于轴下方（含交点），且直线交轴于点， ∴结合函数图象可知，不等式的解集是． 27． 【详解】解：由函数图象可知，直线 与 轴交于点 ， 且函数值 随自变量 的增大而减小， ∵当时，函数图象位于轴上方， ∴观察图象可知，此时的取值范围是． 28． 【详解】解：不等式可以写成，即一次函数，当时，x的取值范围， 由函数图象可得． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．D 二、填空题 5． 三、解答题 6． 【详解】（1）解：方案一：先花30元买专享卡，再享受每次健身六折优惠，单次优惠后费用为元， 因此； 方案二：不买卡，每次健身直接八折优惠，单次优惠后费用为元， 因此； （2）解：当时，，解得，此时方案一总费用更低； 当时，，解得，此时两种方案总费用完全相同； 当时，，解得，此时方案二总费用更低． 7． 【详解】（1）解：∵甲池有的水，容积是，甲池以的速度注水， ∴， ∵， ∴， ∵乙池已经注满水，乙池以的速度将水放出使用， ∴， ∵， ∴， 这两个函数的图象如图所示：略 （2）解：∵，， ∴联立两表达式得， 解得：， ∴（1）中两图象的交点坐标为， 由（1）中图象可知，①当时，甲、乙两池中的水量相等； ②当时，甲池中的水量少于乙池中的水量； ③当时，甲池中的水量多于乙池中的水量． 8．【详解】（1）解：设款书签的单价为元，则款书签的单价为元，根据题意，列方程得： 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴， 答：款书签的单价为元，款书签的单价为元． （2）解：设购买款书签个，则购买款书签个，总费用为元， 由题意得，， 解得，， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 答：购买款书签个，则购买款书签个时，总费用最少． 9． 【详解】（1）解：设书店购进A类图书本，则购进B类图书本， 根据题意得 解得， 书店购进A类图书40本，B类图书60本 （2）解：设书店购进A类图书本，获得的利润为元， 根据题意得 解得， ， ； 随x的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 此时B类图书有：（本）， 答：书店购进A类图书45本，B类图书135本，获得利润最大，最大利润为1530元． 10． 【详解】（1）解：A种机器人玩具x元，则B种机器人玩具元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，则， 所以购进A种机器人玩具的单价是50元，B种机器人玩具的单价为60元； （2）解：设再次购进A种机器人玩具m个，所花费用为w元，则B种机器人玩具为个，根据题 意，得 ， 解得． ， ∵， ∴函数值随着m的增大而减小， ∴当时，（元）， 所以购进30个A种机器人玩具时花费最少． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $