专题06 一次函数实际应用压轴 （压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

专题06 一次函数实际应用压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、方案选择问题（最高频考点） 题型二、利润最值问题（销售进货压轴） 题型三、分段计费问题（生活实际压轴） 题型四、行程图像问题（图像类压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第一步：审题建模，锁定变量 找准两个核心变量：自变量x（变化量）、因变量y（随x变化的量），梳理题目固定常量。 核心模型：实际问题均转化为一次函数 ，必须标注自变量实际取值范围（正整数、非负数、区间限制等，是压轴主要丢分点）。 变量含义： 代表变化速率（增减快慢）， 代表初始基础量（x=0时的初始值）。 第二步：精准求解函数解析式 表格题型：选取两组清晰的(x,y)对应值，代入 列方程组求解； 图像题型：提取图像关键点（起点、拐点、交点、终点）坐标，代入求解； 文字题型：直接翻译题目等量关系，列式化简得解析式； 分段函数题型：按图像拐点、计费标准分段，每段单独求解析式，逐一标注对应x取值范围。 第三步：联立方程，找临界交点（压轴核心） 双函数对比类问题，设两个方案函数：、，联立方程组： 求解得到的横坐标 为最优方案临界值： ：两种方案数值相等； ：图像下方的函数对应方案更优； ：另一套方案更优。 第四步：结合实际，规范结论 不可直接用实数范围结论，必须结合实际场景限制： 自变量是否为正整数（数量、人数、路程等实际量）； 题目给定的x取值限制条件； 最终必须文字作答，明确最优方案、最值结果。 ⚠️ 高频易错点汇总 忽略自变量实际取值范围，脱离实际解题； 分段函数混淆每段对应的x区间，解析式匹配错误； 行程图像看错横纵坐标（x=时间，y=路程），误解交点含义； 一次函数最值误区：无顶点最值，最值仅出现在自变量区间端点。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、方案选择问题（最高频考点） 【典例1】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 【典例2】．（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、不等式组的分配问题 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【典例3】．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少． 【答案】(1)、 (2)当时，选方案二较划算；当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；当时，选方案一较划算． 【知识点】求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、列函数关系式等知识点．根据题意正确列出两种方案的解析式是解题的关键． （1）分别根据方案一、方案二列出y关于x的函数关系式即可； （2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：按优惠方案一：， 按优惠方案二：； 所以两种优惠方案中y与x的函数表达式分别是：、 （2）解：∵， ∴①当，解得， ∴当时，选方案二较划算； ②当时，解得， ∴当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多； ③当时，解得， ∴当时，选方案一较划算． 题型模版 题型特征：给出两种及以上采购、租车、购票、充值方案，对比费用，求解不同条件下的最优省钱方案。 【变式1-1】．某学校组织学生研学，游览太湖山自然风光．已知太湖山景区有动物园和植物园两个景点，其中动物园门票40元/张，植物园门票30元/张．景区对批量购买门票给予打折优惠，有以下两种方案： 方案一：动物园门票每张打九折，植物园门票每张打六折； 方案二：动物园门票和植物园门票均打八折． 若该学校计划购买门票共100张．设购买动物园门票x张，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)求与x之间的函数表达式； (2)请你分析该学校如何选择购买方案使得所付的费用较少． 【答案】(1) (2) 当时， 解得， ∴购买动物园门票超过60张时，方案二支付费用少； 当时， 解得， ∴购买动物园门票60张时，方案一和方案二支付费用一样多； 当时， 解得， ∴购买动物园门票少于60张时，方案一支付费用少． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式． （1）根据总费用动物园和植物园两种门票费用之和列出、关于的函数解析式； （2）根据（1）中解析式分三种情况讨论即可． 【详解】（1）由题意得： ， ， ∴与之间的函数关系式为与之间的函数关系式为； 【变式1-2】．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】(1)； (2)种； (3)安排型车厢节，型车厢节运输运费最少，最少运费为元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出一次函数解析式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴共有种安排车厢的方案； （3）解：∵，， ∴的值随的增大而减小， ∴当时的值最小，即安排型车厢节，型车厢节运输运费最少， 此时，最少运费元． 【变式1-3】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少； (3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)当时，两种方案一样多；当时，方案一更优惠；当时，方案二更优惠 (3)学生人数为14人 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）中函数关系式及一次函数的性质可进行求解； （3）由（2）可进行求解． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）解：由（1）可知： 当两种方案的费用一样多时，则有： ， 解得：， ∴当时，两种方案一样多；当时，方案一更优惠；当时，方案二更优惠； （3）解：由（2）可知：当学生人数为9人时，方案一和方案二的费用一样多，费用即为（元）， ∵， ∴应选择方案二更优惠， ∴， 解得：； 答：学生人数为14人． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型二、利润最值问题（销售进货压轴） 【典例4】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）近年来从国家到地方，全民健身是一个备受提倡的热潮，无论是城市还是乡村，大家参与运动健身的条件越来越便利，形式也越来越丰富，某镇政府准备在管辖内所有村委会广场安装甲，乙两种健身器材，经市场调查发现：购买2套甲种健身器材和3套乙种健身器材共需4400元，购买3套甲种健身器材和1套乙种健身器材共需3800 元． (1)求甲，乙两种健身器材的单价各是多少元？ (2)若本次购买甲，乙两种健身器材共计150套（两种健身器材都必须购买），且甲种健身器材数量不少于乙种健身器材数量的3倍，设本次购买甲种健身器材x套，购买150 套健身器材总费用为w元． ①求出w与x之间的函数表达式，并写出x 的取值范围； ②要使总费用最少，甲，乙两种健身器材各买多少套？最少费用为多少元？ 【答案】(1)甲种健身器材每套1000元，乙种健身器材每套800元 (2)① （，且x为正整数）；②要使购买总费用最少，甲种健身器材购买113套，乙种健身器材购买37套，最少费用为142600元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设甲种健身器材每套m元，乙种健身器材每套n元，根据“购买2套甲种健身器材和3套乙种健身器材共需4400元，购买3套甲种健身器材和1套乙种健身器材共需3800 元”，列方程组求解即可； （2）①根据“两种健身器材都必须购买，且甲种健身器材数量不少于乙种健身器材数量的3倍”求出x的取值范围，然后根据总费用=甲的费用+乙的费用求解即可； ②根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种健身器材每套m元，乙种健身器材每套n元， 由题意，得， 解得， 答：甲种健身器材每套1000元，乙种健身器材每套800元； （2）解：①由题意，得购买乙种健身器材套， 根据题意，得 解得， 又两种器材都必须购买， ∴， 根据题意，得， ∴ （，且x为正整数）； ②在中，， ∴w随x的增大而增大， 又，且x为正整数， ∴当时，w最小，最小值为， 此时（套）， 答：要使购买总费用最少，甲种健身器材购买113套，乙种健身器材购买37套，最少费用为142600元． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 排球 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商场把这个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将个球全部卖出获得的最低利润是元，求的值． 【答案】(1)采购费用与的函数关系式为 (2)商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 (3)将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3 【知识点】根据一次函数增减性求参数、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目的条件列出函数解析式并准确找到自变量的取值范围． （1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买篮球和排球的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）设总利润为W，求出W与x的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润； （3）根据个球全部卖出获得的最低利润是元分情况讨论得出结果，最终确定出m的值． 【详解】（1）解：设该商场采购个篮球，则商场采购个排球 根据题意得， 解得： 答：采购费用与的函数关系式为． （2）解：设总利润为元，根据题意得： ， 随的增大而增大． 时，元 答：商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 （3）解：由题意得： ①当时，即时，随的增大而增大 ， 当时， 即：． 解得：舍去 ②当时，． ，不合题意． ③当时，即时，随的增大而减小． ， 当时，． 即：， 解得：， 综上所述，将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3． 【典例6】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 【答案】(1) (2)最大利润为4500元 (3)b的值为4 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于b的方程求值即可． 【详解】（1）解：， 即y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意，得 解得． ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为（元）， ∴最大利润为4500元． （3）解： ． 又∵， ∴， ∴． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，． ∵最大利润为4000元， ∴， 解得，符合题意， ∴b的值为4． 题型模版 1.题型特征：商品进货、销售场景，已知单件利润、进货总量限制，求总利润最大值及对应进货方案。 2.核心结论：一次函数无顶点最值，最值一定取自自变量区间端点。 【变式2-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 【答案】(1)（，且为整数） (2)（，且为整数），当使用型车辆、型车辆、型车辆时，获得最大利润元 (3) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据总车辆数为辆，以及总装载量为吨，列出关于、的方程组，消元后得到与的函数关系式． （2）先根据利润转运初始总费用运输总费用列出利润关于的函数表达式，再根据题目中的车辆数量限制条件，求出的取值范围，最后根据一次函数的性质求出最大利润及对应的车辆安排方案． （3）在第(2)问的基础上，将型车的运输费用增加元，重新列出利润关于的函数表达式，根据一次函数的单调性及最大利润为元的条件，列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵总车辆数为20辆， ∴C型车数量为， ∵总装载量为60吨， ∴， ， ， ∴； （2）解：∵转运初始总费用为元，运输总费用为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∵B型车装载量不超过A型车和C型车装载量总和， ∴即， 解得， ∵为整数， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 此时，， 最大利润元， ∴（，且为整数），当使用A型车6辆、B型车2辆、C型车12辆时，获得最大利润23400元； （3）解：∵每辆A型车运输费用增加元，， ∴ ， ∴，， ∵最大利润为17400元，且， ∴随的增大而减小， ∴，即， ∴当时，取得最大值17400， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用、二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及一次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题建立函数模型，并利用函数性质求解最值是解题的关键． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进． (1)求当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围； (3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与之间的函数关系式为，然后利用待定系数法即可求解； （）根据题意，得，然后结合，则得的取值范围为； （）设获得的利润为元，则，当的最大值为时，得，然后根据一次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得， 又∵， ∴的取值范围为； （3）解：设获得的利润为元，则， 当的最大值为时，得， ∵， ∴，即， ∴随的减小而增大， 当时，值最大，， 解得， ∴的值为． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）综合与实践 素材1 AI教学的引进能提升学习效率，培养创新思维，适应未来社会需求，某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购A、B两种型号的设备共20台． 素材2 购买3台A型号设备和4台B型号设备共需18万元，购买5台A型号设备和2台B型号设备共需16万元． 任务1 确定价格 求A，B两种型号设备的单价． 任务2 探究函数关系 该校经过市场调研，发现A型号设备的采购数量与总费用之间呈一次函数关系，现该校准备采购A型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 该校考虑到预算等问题，得出的取值范围为（为整数），则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少万元？ 【答案】任务1：型号设备的单价为2万元、型号设备的单价为3万元 任务2： 任务3：当采购型号设备8台，型号设备12台时，才能使总费用最低，总费用最低为52万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、求一次函数解析式、判断一次函数的增减性、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程组、求出函数表达式是解决问题的关键． 任务1：设A型号设备的单价为万元，B型号设备的单价为万元，由题中等量关系列方程组求解即可得到答案； 任务2：采购A型号设备台，则采购B型号设备台，按照（1）中得到A，B两种型号设备的单价列式表示总费用为即可得到答案； 任务3：由（2）中得到与的函数关系式，由一次函数性质分析即可得到答案． 【详解】解：任务1：设A型号设备的单价为万元，B型号设备的单价为万元， 根据题意得， 解得， 答：A型号设备的单价为2万元、B型号设备的单价为3万元； 任务2：采购A型号设备台，则采购B型号设备台， 则， 与的函数关系式为； 任务3：在中，由可知随的增大而减小， 又，且为整数， 当取最大值8时，的值最小， 则（万元）， 此时（台）， 答：当采购A型号设备8台，B型号设备12台时，才能使总费用最低，总费用最低为52万元． 题型三、分段计费问题（生活实际压轴） 【典例7】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）某城市居民使用燃气实行阶梯收费，每户每月使用燃气量如果未超过15立方米，按每立方米3元收费．如果超过15立方米，未超过的部分仍按每立方米3元收费，超过部分按每立方米3.6元收费．设某户居民每月使用燃气量为立方米，应收燃气费为元． (1)分别写出当每月使用燃气量未超过15立方米和超过15立方米时，与之间的函数表达式； (2)若该城市某用户5月份和6月份共使用燃气50立方米，且5月份使用燃气量不足15立方米，两个月一共缴燃气费163.8元，求该用户5月份和6月份分别使用燃气多少立方米． 【答案】(1)当时，，当时， (2)该用户5月份和6月份分别用气12立方米、38立方米 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意，可以分别写出当每月用气量未超过15立方米和超过15立方米时，y与x之间的函数表达式； （2）根据该城市某用户5月份和6月份共用气50立方米，且5月份的用气量不足15立方米，两个月一共交燃气费163.8元，可以列出相应的方程，从而可以求得用户5月份和6月份分别用气多少立方米． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， 当时，， 即当时，，当时，； （2）解：设5月份用气x立方米，由题意可得， ， 解得， ∴， 答：该用户5月份和6月份分别用气12立方米、38立方米． 题型模版 题型特征：水费、电费、打车费、话费等阶梯收费场景，图像含拐点，不同区间收费标准不同，对应分段一次函数。 【变式3-1】．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）（综合实践） ①问题提出：某兴趣小组，针对小区居民用水及门面房用水收费情况，进行调研．根据以下信息，完成探索任务： 素材1：水务公司提供的收费标准如下： 月用水量（吨） 不超过17吨部分 超过17吨不超过31吨部分 超过31吨部分 单位（元/吨） 5 7 素材2：李阿姨上个月用水15吨，这个月用水20吨，共付费111元． 素材3：收费时抄表都取整数吨数． ②问题解决 (1)________． (2)求出当时，付费元与的函数关系式． (3)张叔叔两个月共付了120元，已知前一个月的用水量少于后一个月的用水量，请计算张叔叔两个月可能用水量总吨数． 【答案】(1) (2) (3)张叔叔两个月共用水可能是32，或者34，或者36吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列式或方程进行计算． （1）李阿姨上个月用水15吨，，每吨元，这个月用水20吨，其中17吨按每吨元收费，超过17吨的部分为吨，这3吨按每吨5元收费．根据共付费111元，可列方程，即可求出结论； （2）找出与之间的函数关系式即可； （3）设张叔叔前一个月用了吨，后一个月用了吨．先求得，，且，是正整数，列出方程，即．再求出整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：李阿姨上个月用水15吨，，每吨元，这个月用水20吨，其中17吨按每吨元收费，超过17吨的部分为吨，这3吨按每吨5元收费． 根据共付费111元，可列方程， 即，，， 解得． 故答案为：3； （2）解：由题意得：； （3）解：设张叔叔前一个月用了吨，后一个月用了吨． ；； ，，且，是整数， 则，即． 解得整数解为，， 故张叔叔两个月共用水可能是32，或者34，或者36吨． 【变式3-2】．（2024八年级上·安徽安庆·期末）某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，如下表，图中折线反映了每户居民每月电费（元）与用电量（度）间的函数关系. 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度） （1）小王家某月用电度，需交电费___________元； （2）求第二档电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式； （3）小王家某月用电度，交纳电费元，请你求出第三档每度电费比第二档每度电费多多少元？ 【答案】（1）60；（2）；（3）第三档每度电费比第二档每度电费多元. 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）求出第一档y与x的关系，即可解决问题； （2）利用待定系数法即可解决问题； （3）设第三档每度电费比第二档每度电费多x元．构建方程即可解决问题； 【详解】解：（1）设第一档y与x的关系为y=kx， 把（120，72）代入得到，72=120k， 解得：k=， ∴， ∴x=100时，y=60， 故答案为：60； （2）设第二档与的关系， 则有， 解得：， . （3）设第三档每度电费比第二档每度电费多元， ， 解得：（元）. ∴第三档每度电费比第二档每度电费多元. 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型． 【变式3-3】．我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示： 月用水量x吨 不超过12吨部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）　 　是自变量，　 　是因变量； （2）若用水量达到15吨，则需要交水费　 　元； （3）用户5月份交水费54元，则所用水为　 　吨； （4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式． 【答案】（1）用水量，水费；（2）31.5；（3）23；（4）y＝3x﹣15 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）用水量为自变量，水费为因变量； （2）不超过12吨的部分，每吨2元，超过12吨不超过18吨的部分，每吨2.5元，分段收费即可； （3）根据题意，列出方程，解方程即可； （4）三段费用加起来即可． 【详解】解：（1）用水量为自变量，水费为因变量， 故答案为：用水量，水费； （2）2×12+2.5×（15﹣12）＝31.5（元）， 故答案为：31.5； （3）根据水费为54元，显然用水量超过18吨了， 根据题意得：2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）＝54， 解得：x＝23， 故答案为：23； （4）当x＞18时， y＝2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18） ＝24+15+3x﹣54 ＝3x﹣15． 【点睛】本题主要考查了变量之间的关系，一元一次方程的应用，体现了分类讨论的数学思想，解决本题的关键是要认真审题，根据题意列出方程． 题型四、行程图像问题（图像类压轴） 【典例8】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）甲乙两人相约周末去爬山，甲乙两人距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如下： (1)甲登山上升的速度为_______米/分钟，b的高度为_______米； (2)乙提速后，乙登山的速度是甲登山速度的3倍，求乙登山全程中，距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的关系式； (3)甲乙两人何时距离地面的高度差为70米？ 【答案】(1)， (2) (3)甲乙两人3分钟或10分钟时距离地面的高度差为70米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据图象直接得到答案； （2）当时，可以直接根据路程速度时间进行求解;当时，根据待定系数法求解即可； （3）根据甲乙两人距离地面的高度差列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲登山上升的速度为米/分钟，b的高度为米； 故答案为：10,30； （2）解：乙提速后，乙登山的速度是甲登山速度的3倍，甲登山上升的速度为10米/分钟， 当时，； 当时，乙登山的函数表达式可设为． 由图可知过， ， 当时，， （3）解：甲乙两人距离地面的高度差为70米，则， 即，可得或者10． 出发3分钟或10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为70米． 【典例9】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）甲、乙两艘快艇同时从M地逆流而上前往N地．甲艇在静水中的速度为38千米/小时，甲到达N地立即返回M地．乙艇在静水中的速度为26千米/小时．已知两地的距离为72千米，水流速度为2千米/小时，甲艇行驶距M地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图折线所示．乙艇行驶距M地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图线段所示． (1)直接写出三点的坐标是A________，B________，C________； (2)求甲所乘快艇在返回的过程中，y与x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围） (3)甲、乙两艘快艇出发后，经过多少小时相遇？相遇时甲艇得知乙艇航行中曾有救生器材掉入水中随水流漂走，甲艇继续行驶1小时时打捞到乙艇丢失的救生器材，此时甲艇距离M地多少千米？ 【答案】(1)； (2) (3)经过小时两艇相遇；甲艇距离M地17千米 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的应用； （1）由图象和题意得，，，即可求解； （2）设的表达式为，由待定系数法求解即可； （3）由待定系数法求得 的表达式为，当时，即可求解． 【详解】（1）解： 由题意得 ， ， ， ，，； 故答案为，，． （2）解：设的表达式为， 则， 解得， ． （3）解：设的表达式为，代入得 ， 的表达式为， 当时， 解得， 即小时时两艇相遇， ， 甲艇距离M地17千米． 【典例10】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是 千米/时；轿车的速度是 千米/时；值为 ． (2)求轿车返回段的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距70千米． 【答案】(1)；； (2) (3)货车出发小时后两车相距千米． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究． （1）观察图象即可解决问题； （2）分别求出得、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知货车的速度是千米/小时； 轿车的速度是：（千米/小时）； ； 故答案为；；； （2）解：，则 由题意可知， 设直线的解析式为， 则，解得， ； （3）解：当时，，即， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，即， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 解得，则， 综上，货车出发小时后两车相距70千米． 答：货车出发小时后两车相距千米． 题型模版 题型特征：两人、两车运动问题，含先后出发、匀速行驶条件，双一次函数图像，考查相遇、追及、相距距离问题。 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）妈妈骑车从家出发到距家米的超市买菜，同时菲菲也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间）．分钟后菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲，妈妈到家分钟后菲菲才到家．如图是两人离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)________；________； (2)请直接写出妈妈离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式________； (3)求菲菲与妈妈恰好相距米时x的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)菲菲与妈妈恰好相距米时x的值为，，． 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、判断一次函数的图象、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由题意直接求出；先求出妈妈的速度，再求出妈妈到超市的时间，再加上购物时间即可求出； （2）分别求出当时， 当时， 当时妈妈离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式即可求解； （3）用待定系数法求出菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式，再根据菲菲与妈妈恰好相距米分段列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，； 妈妈的速度为：（米/分）， 妈妈到超市所用时间为：（分钟）， 妈妈到达超市后花分钟买菜， ， 故答案为：，； （2）当时，， 当时，， 当时，设y与x的解析式为， 把和代入解析式得：， 解得：， ， 综上所述，y与x的解析式为； （3）设菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式为， 把和代入解析式得：， 解得：， 因此菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式为； 妈妈在去往超市的过程中：， 解得：或； 妈妈在回家过程中：， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，菲菲与妈妈恰好相距米时x的值为，，． 【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）2025年11月16日晚，万架无人机点亮了天鹅湖的夜空，各种炫酷造型轮番上阵．已知，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，无人机停止表演．甲从起点出发，乙在甲出发20秒后起飞，乙出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米．如图，折线，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． (1)分别求出线段对应的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当两架无人机之间的高度差为10米时；表演效果最佳．求在甲乙同时飞行的过程中，能形成最佳表演效果的时刻的值． 【答案】(1)线段对应的函数表达式为，对应的函数表达式为 (2)t的值为45秒或55秒 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据“段飞行的路程段飞行的路程”列关于a的方程并求甲的速度，根据“当时，甲飞行的高度-乙飞行的高度”列关于b的方程并求出乙的速度；再分别根据路程=速度×时间解答即可； （2）分别求出当两架无人机之间的飞行高度差为10米时对应的t的值． 【详解】（1）解：设甲的速度为a米/秒，乙的速度为b米/秒，则 ， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴线段对应的函数表达式为， ， ∴对应的函数表达式为． （2）解：由（1）知，当时，解得， ∴， 根据题意得：， 解得：或； ∴在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的值为45秒或55秒． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_________千米，_________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距20千米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)90， (2)线段所在直线的函数解析式为 (3)货车出发小时或小时或小时 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据货车从地到地花了小时结合路程速度时间即可求出、两地的距离；根据货车装货花了分钟即可求出的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从前往途中相遇前后和货车从往途中相遇前后，四种情况，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ，两地之间的距离是千米， 货车到达地填装货物耗时分钟， ， 故答案为：，； （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：设货车出发小时两车相距千米， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， 当两车都在前往地的途中且未相遇时两车相距20千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往地的途中且相遇后两车相距20千米，则，解得； ， ∴货车装货过程中两车不可能相距千米， 当货车从地前往地途中且两车未相遇时相距千米，则， 解得； 当货车从地前往地途中且两车相遇后相距20千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距千米． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（25-26八年级上·安徽黄山·阶段检测）“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 【答案】(1)每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元 (2)购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题、利用一次函数求最值： （1）设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元，根据题中等量关系列出方程组并求解即可； （2）设购买臭豆腐份，购买糖油粑粑份，总费用为元，用m表示出w，根据一次函数的增减性及m的范围即可求出最值． 【详解】（1）解：设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元， 根据题意，得， ∴． 故每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元． （2）解：设购买臭豆腐份，则购买糖油粑粑份，总费用为元， 根据题意得：． ∵购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的， ∴， ∴． ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，最小，最小值为1760，此时，． 故购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元． 2．（25-26八年级上·安徽池州·期末）“石台硒茶”是安徽省池州市石台县特产，我县优越的自然环境赋予了茶叶独特的品质，富含茶多酚、咖啡因、茶氨酸等核心营养成分，广受人们的喜爱． 为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种包装和B种包装的茶叶进行销售．两种包装的茶叶进货价和销售价如表： 类别 A 种 B 种 进货价（元/件） 销售价（元/件） (1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种共100件，求两种茶叶各购进了多少件？ (2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种茶叶120件（两种茶叶的进货价不变），但A种的进货量不超过B种的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A种茶叶40件，B种茶叶60件 (2)购进A种茶叶30件，B种茶叶90件时，获得的利润最大，最大利润为3090元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用： （1）设电商平台购进A种茶叶件，则购进B种茶叶件，根据等量关系列出方程，并解方程即可求解； （2）设电商平台购进A种茶叶件，获得的利润为元，根据题意列出不等式求得，进而根据是一次函数的性质求得最大利润，即可求解． 【详解】（1）解：设电商平台购进A种茶叶件，则购进B种茶叶件， 根据题意得 解得， ∴电商平台购进A种茶叶件，B种茶叶件； （2）解：设电商平台购进A种茶叶件，获得的利润为元， 根据题意得，解得， ， ； 随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时B种茶叶有：(件)， 答：当电商平台购进A种茶叶30件，B种茶叶90件时，获得的利润最大，最大利润为3090元 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题． 【项目背景】 已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元 (2)分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数，设其表达式为（），将点，代入求出解析式，将代入计算即可； （2）设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克，根据题意列不等式求出的取值范围，设售完后可获得利润为元，则，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数，设其解析式为（），将点，代入， 得，解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则， 利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得， 解得， 设售完后可获得利润为元，则 ， 随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 4．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车离甲地的距离为（单位：），出租车离甲地的距离为（单位：），两车行驶的时间为（单位：h），，关于的函数关系如下图所示． (1)根据图象，分别求出，关于的函数表达式． (2)求两车相遇的时间． 【答案】(1)关于的函数表达式为，关于的函数表达式为 (2)两车相遇的时间为 【分析】本题通过考查一次函数的应用，正确从图象上获取信息，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． （1）可根据待定系数法来确定函数关系式； （2）令，解方程，即可求解． 【详解】（1）设关于的函数表达式为 由图可知，，解得 故关于的函数表达式为 设关于的函数表达式为 由图可知，，，解得 故关于的函数表达式为 （2）当出租车与客车相遇时，由题意，得，解得 故两车相遇的时间为． 5．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量x 单价元/ 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.7 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是2814元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的实际应用，正确审题和找到等量关系是解题的关键． （1）根据题意，当时，其中2760按照第一档收费，超出的部分按照第二档收费，计算即可求解； （2）把代入，计算即可求解； （3）根据题意分析该用户的用电量是第三档，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 即， ∴电费y与x之间的关系式为； （2）当时，（元）， 则该户这一年的电费是2124元； （3）第一档的最大费用为（元）， 第二档的最大费用为（元）， 该户去年一年的电费是2814元， 该户去年一年的用电量在第三档， 设该用户去年一年的用电量为， 根据题意，得： 解得， 则该户去年一年的用电量为． 6．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 【答案】(1) (2)三种分配方案，方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区 (3) 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高， 理由：， ∵, ∴随的增大而增大， 且为整数， 当时，取得最大值，此时， 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台，每种情况乘以相应的租金，然后相加即可得关系式； （2）由题意可得，，求出整数解，得到分配方案； （3）利用一次函数的增减性求出函数在自变量范围内的最值即可． 【详解】（1）解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台， ； （2）解：由题意可得， ， 得， ，为整数， 、、， 有三种分配方案， 方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； （3）略 7．（24-25八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? (3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 【答案】(1)的值为100，的值为150； (2)有4购买方案 (3)购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式． （1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案； （3）设购车总费用为万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值． 【详解】（1）解：依题意得：，解得：， 答：的值为100，的值为150； （2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 依题意得： 解得： 又为整数 有4购买方案； （3）解：设购车总费用为万元， 则，（且为整数） ， 随的增大而减小 当时，最小，最小值为（元）， 购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）义乌某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元 (2)①；②商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大 (3)商店购进70台型电脑和30台型电脑的销售利润最大 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况． （1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；根据题意列出方程组求解， （2）①据题意得，， ②利用不等式求出的范围，又因为是减函数，所以取34，取最大值， （3）据题意得，，即，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；根据题意得 ， 解得， 答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元． （2）①据题意得，，即， ②据题意得，，解得， ，， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，则， 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，，即， ， 当时，，随的增大而增大， 当时，取得最大值,， 即商店购进70台型电脑和30台型电脑的销售利润最大． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）小明国庆节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图1表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图2中的线段表示小明和商店之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是_____米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是_____分钟； (2)请求出图2中小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围； (3)直接写出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其图象． 【答案】(1)120，5 (2) (3)， 其函数图象如图： 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由图象获取正确的信息，利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键． （1）先求出小明步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，即可求出装货时间； （2）运用待定系数法求得出的解析式； （3）分三段时间讨论：①当时，②当时，③当时， 求出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数解析式，根据解析式画图即可． 【详解】（1）解：由题图2知，小明步行的速度为（米/分钟）． 由题图1知，10分钟时，小明和妈妈相遇， 妈妈骑车的速度为（米/分钟）． 妈妈回家用时为（分钟）． 小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟， 妈妈在35分钟时返回商店． 装货时间为（分钟）． 故答案为：120；5． （2）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入，得， 解得， ； （3）解：①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的关系式为 ； 10．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)说出图中函数、的图象交点P表示的实际意义； (2)如果小明的爸爸每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明爸爸选择______品牌共享电动车更省钱？（填“A”或“B”） (3)求、关于x的函数解析式． 【答案】(1)点表示的意义是：时间为时，两种品牌的共享电动车的收费一样； (2)B (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利永待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）根据图示信息，一次函数交点的意义即可求解； （2）计算出小明的爸爸上班所需的时间，利用函数图像可得出各自的速度，然后相乘即可得出各自的费用，相比即可得出答案． （3）利用待定系数法求出、关于x的函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据图示，点表示的意义是：当时间为时，两种品牌的共享电动车的收费一样． （2）解：∵， ∴， 当选择A品牌时，需要：（元）； 当选择B品牌时，需要（元）； ∵， ∴选择B品牌共享电动车更省钱． （3）解：解：根据题意，设 把代入得， 解得，， ∴， 设， 当时，， 当时，， 解得，，则， ∴． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇，出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)求a的值． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用：行程问题，待定系数法解一次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合图象，设直线的表达式为，把代入，计算得，然后再把点代入，进行计算，即可作答． （2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，此时出租车距离乙地，即出租车距离甲地，把代入，解得，即可求出点，根据货车继续出发后，与出租车相遇，所以相遇时货车的速度为，故可设直线的表达式为，将点代入，解出，然后求出点，又因为出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，得点，即可求得出租车从乙地返回甲地的速度为，据此即可作答； （3）设出租车在返回的过程中，货车出发t小时与出租车相距，此时货车距离乙地，出租车距离乙地，然后分两种情况：①出租车和货车第二次相遇前，相距时，可得；②出租车和货车第二次相遇后，相距时，可得，分别求出的值，即可作答． 【详解】（1）解：由图象知，点， 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 把点代入， 解得； （2）解：由（1），得， ∴货车卸货时与乙地相距， ∵停下来装完货物后，发现此时与出租车相距， ∴此时出租车距离乙地， ∴出租车距离甲地， 把代入， 得， 解得， ∴货车装完货物时，， 即点， 根据直线的表达式为， 可得出租车从甲地到乙地的速度为， 根据货车继续出发后，与出租车相遇， 可得（出租车的速度货车的速度）， ∴相遇时，货车的速度为， 故可设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入， 得，解得， ∴点； ∵出租车到达乙地后立即按原路返回 ，结果比货车早15分钟到达甲地， ∴点， ∴出租车从乙地返回甲地的速度为； （3）解：设出租车在返回的过程中，货车出发t小时与出租车相距， 此时货车距离乙地，出租车距离乙地， 分两种情况： ①出租车和货车第二次相遇前，相距时， 可得，解得； ②出租车和货车第二次相遇后，相距时， 可得，解得， 综上所述，出租车在返回的过程中，货车出发或与出租车相距． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 【答案】(1)80；60 (2) (3)两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米 【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程． （1）由图②可得出千米；设队的速度为千米/小时，求出在2小时时，，根据方程求解即可； （2）分别求出A队路程函数关系式为，和当时B队路程函数关系式为，联立方程组并求解可得答案； （3）分两队相遇前和相遇后以及A队行驶5时后相距三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由图②可知：当时，， 所以，A，B两队在2小时时路程差千米； 设队的速度为千米/小时，由图②得，A队和B队前行1小时的路程差为20，， 当时，的路程不变，， ∵， ∴， 解得， 所以，A队速度是60千米/小时； 故答案为：80；60； （2）解：当时，； 由得，， 所以，B队的速度为千米/小时， 当时，设， 当时，， 当时，， 由图②得，当时，， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴， 设A队路程函数解析式为， 把代入得， ∴， 联立方程组得， 解得， 所以，点的坐标为； （3）解：当时，无解； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得， 综上，两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米． 13．（25-26八年级上·安徽六安·期中）综合与实践：设计最大利润的采购方案． 某超市欲购进一批饮料，已知购进2箱可乐和3箱雪碧需要270元，购进3箱可乐和1箱雪碧需要195元．现要求： ①购进可乐和雪碧共300箱； ②可乐的购进数量最少为150箱； ③可乐的购进数量不超过雪碧的2倍． 已知可乐售价为65元/箱，雪碧售价为70元/箱．设可乐购进了箱，全部售出后的利润为元． (1)求每箱可乐和雪碧的进价各是多少元； (2)求和之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (3)受市场影响，超市实际采购时，每箱可乐进货单价上调了元，每箱雪碧进货单价下调了元，其他条件不变．如何分配可乐和雪碧的购进数量，能使利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每箱可乐的进价为45元，每箱雪碧的进价为60元 (2)（） (3)当时，购进可乐200箱、雪碧100箱，最大利润为元；当时，购进可乐150箱、雪碧150箱，最大利润为元；当时，购进可乐在150箱至200箱之间任意数量，利润均为4000元． 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设每箱可乐和雪碧的进价分别是，元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）依据题意，设可乐购进了箱，则雪碧购进了箱，根据题意得到，根据可乐的购进数量最少为150箱，可乐的购进数量不超过雪碧的2倍，求出； （3）结合（2）所求解析式，从而分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设每箱可乐和雪碧的进价分别是，元， 解得 答：每箱可乐和雪碧的进价分别是45元，60元． （2）设可乐购进了箱，则雪碧购进了箱， 根据题意得：， 可乐的购进数量不超过雪碧的2倍， ，解得． 又可乐的购进数量最少为150箱， ． （）． （3）根据题意得：， 当，即时，随的增大而增大， ， 当时，最大，此时． 当，即时，随的增大而减小， ， 当时，最大，此时． 当，即时，，保持不变． 综上所述，当时，购进可乐200箱、雪碧100箱，最大利润为元；当时，购进可乐150箱、雪碧150箱，最大利润为元；当时，购进可乐在150箱至200箱之间任意数量，利润均为4000元. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数实际应用压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、方案选择问题（最高频考点） 题型二、利润最值问题（销售进货压轴） 题型三、分段计费问题（生活实际压轴） 题型四、行程图像问题（图像类压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第一步：审题建模，锁定变量 找准两个核心变量：自变量x（变化量）、因变量y（随x变化的量），梳理题目固定常量。 核心模型：实际问题均转化为一次函数 ，必须标注自变量实际取值范围（正整数、非负数、区间限制等，是压轴主要丢分点）。 变量含义： 代表变化速率（增减快慢）， 代表初始基础量（x=0时的初始值）。 第二步：精准求解函数解析式 表格题型：选取两组清晰的(x,y)对应值，代入 列方程组求解； 图像题型：提取图像关键点（起点、拐点、交点、终点）坐标，代入求解； 文字题型：直接翻译题目等量关系，列式化简得解析式； 分段函数题型：按图像拐点、计费标准分段，每段单独求解析式，逐一标注对应x取值范围。 第三步：联立方程，找临界交点（压轴核心） 双函数对比类问题，设两个方案函数：、，联立方程组： 求解得到的横坐标 为最优方案临界值： ：两种方案数值相等； ：图像下方的函数对应方案更优； ：另一套方案更优。 第四步：结合实际，规范结论 不可直接用实数范围结论，必须结合实际场景限制： 自变量是否为正整数（数量、人数、路程等实际量）； 题目给定的x取值限制条件； 最终必须文字作答，明确最优方案、最值结果。 ⚠️ 高频易错点汇总 忽略自变量实际取值范围，脱离实际解题； 分段函数混淆每段对应的x区间，解析式匹配错误； 行程图像看错横纵坐标（x=时间，y=路程），误解交点含义； 一次函数最值误区：无顶点最值，最值仅出现在自变量区间端点。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、方案选择问题（最高频考点） 【典例1】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【典例2】．（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【典例3】．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少． 题型模版 题型特征：给出两种及以上采购、租车、购票、充值方案，对比费用，求解不同条件下的最优省钱方案。 【变式1-1】．某学校组织学生研学，游览太湖山自然风光．已知太湖山景区有动物园和植物园两个景点，其中动物园门票40元/张，植物园门票30元/张．景区对批量购买门票给予打折优惠，有以下两种方案： 方案一：动物园门票每张打九折，植物园门票每张打六折； 方案二：动物园门票和植物园门票均打八折． 若该学校计划购买门票共100张．设购买动物园门票x张，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)求与x之间的函数表达式； (2)请你分析该学校如何选择购买方案使得所付的费用较少． 【变式1-2】．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【变式1-3】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少； (3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？ 题型二、利润最值问题（销售进货压轴） 【典例4】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）近年来从国家到地方，全民健身是一个备受提倡的热潮，无论是城市还是乡村，大家参与运动健身的条件越来越便利，形式也越来越丰富，某镇政府准备在管辖内所有村委会广场安装甲，乙两种健身器材，经市场调查发现：购买2套甲种健身器材和3套乙种健身器材共需4400元，购买3套甲种健身器材和1套乙种健身器材共需3800 元． (1)求甲，乙两种健身器材的单价各是多少元？ (2)若本次购买甲，乙两种健身器材共计150套（两种健身器材都必须购买），且甲种健身器材数量不少于乙种健身器材数量的3倍，设本次购买甲种健身器材x套，购买150 套健身器材总费用为w元． ①求出w与x之间的函数表达式，并写出x 的取值范围； ②要使总费用最少，甲，乙两种健身器材各买多少套？最少费用为多少元？ 【典例5】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 排球 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商场把这个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将个球全部卖出获得的最低利润是元，求的值． 【典例6】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 题型模版 1.题型特征：商品进货、销售场景，已知单件利润、进货总量限制，求总利润最大值及对应进货方案。 2.核心结论：一次函数无顶点最值，最值一定取自自变量区间端点。 【变式2-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进． (1)求当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围； (3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）综合与实践 素材1 AI教学的引进能提升学习效率，培养创新思维，适应未来社会需求，某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购A、B两种型号的设备共20台． 素材2 购买3台A型号设备和4台B型号设备共需18万元，购买5台A型号设备和2台B型号设备共需16万元． 任务1 确定价格 求A，B两种型号设备的单价． 任务2 探究函数关系 该校经过市场调研，发现A型号设备的采购数量与总费用之间呈一次函数关系，现该校准备采购A型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 该校考虑到预算等问题，得出的取值范围为（为整数），则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少万元？ 题型三、分段计费问题（生活实际压轴） 【典例7】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）某城市居民使用燃气实行阶梯收费，每户每月使用燃气量如果未超过15立方米，按每立方米3元收费．如果超过15立方米，未超过的部分仍按每立方米3元收费，超过部分按每立方米3.6元收费．设某户居民每月使用燃气量为立方米，应收燃气费为元． (1)分别写出当每月使用燃气量未超过15立方米和超过15立方米时，与之间的函数表达式； (2)若该城市某用户5月份和6月份共使用燃气50立方米，且5月份使用燃气量不足15立方米，两个月一共缴燃气费163.8元，求该用户5月份和6月份分别使用燃气多少立方米． 题型模版 题型特征：水费、电费、打车费、话费等阶梯收费场景，图像含拐点，不同区间收费标准不同，对应分段一次函数。 【变式3-1】．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）（综合实践） ①问题提出：某兴趣小组，针对小区居民用水及门面房用水收费情况，进行调研．根据以下信息，完成探索任务： 素材1：水务公司提供的收费标准如下： 月用水量（吨） 不超过17吨部分 超过17吨不超过31吨部分 超过31吨部分 单位（元/吨） 5 7 素材2：李阿姨上个月用水15吨，这个月用水20吨，共付费111元． 素材3：收费时抄表都取整数吨数． ②问题解决 (1)________． (2)求出当时，付费元与的函数关系式． (3)张叔叔两个月共付了120元，已知前一个月的用水量少于后一个月的用水量，请计算张叔叔两个月可能用水量总吨数． 【变式3-2】．（2024八年级上·安徽安庆·期末）某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，如下表，图中折线反映了每户居民每月电费（元）与用电量（度）间的函数关系. 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度） （1）小王家某月用电度，需交电费___________元； （2）求第二档电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式； （3）小王家某月用电度，交纳电费元，请你求出第三档每度电费比第二档每度电费多多少元？ 【变式3-3】．我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示： 月用水量x吨 不超过12吨部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）　 　是自变量，　 　是因变量； （2）若用水量达到15吨，则需要交水费　 　元； （3）用户5月份交水费54元，则所用水为　 　吨； （4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式． 题型四、行程图像问题（图像类压轴） 【典例8】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）甲乙两人相约周末去爬山，甲乙两人距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如下： (1)甲登山上升的速度为_______米/分钟，b的高度为_______米； (2)乙提速后，乙登山的速度是甲登山速度的3倍，求乙登山全程中，距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的关系式； (3)甲乙两人何时距离地面的高度差为70米？ 【典例9】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）甲、乙两艘快艇同时从M地逆流而上前往N地．甲艇在静水中的速度为38千米/小时，甲到达N地立即返回M地．乙艇在静水中的速度为26千米/小时．已知两地的距离为72千米，水流速度为2千米/小时，甲艇行驶距M地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图折线所示．乙艇行驶距M地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图线段所示． (1)直接写出三点的坐标是A________，B________，C________； (2)求甲所乘快艇在返回的过程中，y与x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围） (3)甲、乙两艘快艇出发后，经过多少小时相遇？相遇时甲艇得知乙艇航行中曾有救生器材掉入水中随水流漂走，甲艇继续行驶1小时时打捞到乙艇丢失的救生器材，此时甲艇距离M地多少千米？ 【典例10】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是 千米/时；轿车的速度是 千米/时；值为 ． (2)求轿车返回段的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距70千米． 题型模版 题型特征：两人、两车运动问题，含先后出发、匀速行驶条件，双一次函数图像，考查相遇、追及、相距距离问题。 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）妈妈骑车从家出发到距家米的超市买菜，同时菲菲也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间）．分钟后菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲，妈妈到家分钟后菲菲才到家．如图是两人离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)________；________； (2)请直接写出妈妈离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式________； (3)求菲菲与妈妈恰好相距米时x的值． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）2025年11月16日晚，万架无人机点亮了天鹅湖的夜空，各种炫酷造型轮番上阵．已知，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，无人机停止表演．甲从起点出发，乙在甲出发20秒后起飞，乙出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米．如图，折线，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． (1)分别求出线段对应的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当两架无人机之间的高度差为10米时；表演效果最佳．求在甲乙同时飞行的过程中，能形成最佳表演效果的时刻的值． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_________千米，_________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距20千米？（直接写出答案即可） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（25-26八年级上·安徽黄山·阶段检测）“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 2．（25-26八年级上·安徽池州·期末）“石台硒茶”是安徽省池州市石台县特产，我县优越的自然环境赋予了茶叶独特的品质，富含茶多酚、咖啡因、茶氨酸等核心营养成分，广受人们的喜爱． 为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种包装和B种包装的茶叶进行销售．两种包装的茶叶进货价和销售价如表： 类别 A 种 B 种 进货价（元/件） 销售价（元/件） (1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种共100件，求两种茶叶各购进了多少件？ (2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种茶叶120件（两种茶叶的进货价不变），但A种的进货量不超过B种的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题． 【项目背景】 已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 4．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车离甲地的距离为（单位：），出租车离甲地的距离为（单位：），两车行驶的时间为（单位：h），，关于的函数关系如下图所示． (1)根据图象，分别求出，关于的函数表达式． (2)求两车相遇的时间． 5．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量x 单价元/ 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.7 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是2814元，求该户去年一年的用电量． 6．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 7．（24-25八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? (3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 8．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）义乌某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）小明国庆节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图1表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图2中的线段表示小明和商店之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是_____米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是_____分钟； (2)请求出图2中小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围； (3)直接写出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其图象． 10．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)说出图中函数、的图象交点P表示的实际意义； (2)如果小明的爸爸每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明爸爸选择______品牌共享电动车更省钱？（填“A”或“B”） (3)求、关于x的函数解析式． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇，出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)求a的值． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 12．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 13．（25-26八年级上·安徽六安·期中）综合与实践：设计最大利润的采购方案． 某超市欲购进一批饮料，已知购进2箱可乐和3箱雪碧需要270元，购进3箱可乐和1箱雪碧需要195元．现要求： ①购进可乐和雪碧共300箱； ②可乐的购进数量最少为150箱； ③可乐的购进数量不超过雪碧的2倍． 已知可乐售价为65元/箱，雪碧售价为70元/箱．设可乐购进了箱，全部售出后的利润为元． (1)求每箱可乐和雪碧的进价各是多少元； (2)求和之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (3)受市场影响，超市实际采购时，每箱可乐进货单价上调了元，每箱雪碧进货单价下调了元，其他条件不变．如何分配可乐和雪碧的购进数量，能使利润最大？并求出最大利润. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $