精品解析：广东省深圳市宝安区宝安中学（集团）初中部2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级开学数学作业练习 一、选择题（共24分） 1. 某班拟开展“弘扬优秀传统文化—走近剪纸”的语文实践活动，下列同学的剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客万人次，日均到发旅客万人次．用万科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 5. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 7. 盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 二、填空题（共15分） 9. 一元二次方程的一个解为，则_______． 10. 任意投挪一枚均匀的骰子，点数大于4的概率是_____． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 12. 如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 13. 如图，在中，，，，点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为________． 三、解答题（共61分） 14. 计算． 15. 用合适的方法解下列方程 （1） （2） 16. 某校学生会向全校2100名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为_________； （2）本次调查获取的样本数据的平均数为_________元、众数为_________元、中位数为_________元； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数． 17. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18. 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合． （1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长． 19. “数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元世纪）和公元世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程即时的做法为例加以说明． 【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造成图形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到．从而得到一个正数解．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和个边长分别为，的矩形构造出图的形状（面积为）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到，从而得到一个整数解． （1）图中，小正方形的边长为____，将图中补充完整（补充的部分用阴影表示）； 【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程． 请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充） 请分别根据所画图形，求出方程的一个正数解． （注：需要写出必要的推算过程） 【拓展应用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解． 20. 阅读与理解： 我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢?分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 （）如图（），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （）如图（），在四边形中，平分，，，，求的长． 【拓展提高】 （）如图（），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级开学数学作业练习 一、选择题（共24分） 1. 某班拟开展“弘扬优秀传统文化—走近剪纸”的语文实践活动，下列同学的剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：B． 2. 2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客万人次，日均到发旅客万人次．用万科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：万， ． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法， 单项式乘以单项式的运算，幂的、积的乘方运算，求一个数的算术平方根，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 分别根据二次根式的加法运算，单项式乘以单项式的运算，幂的、积的乘方运算法则以及算术平方根的概念判断即可． 【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意； B、，原写法错误，故不符合题意； C、，原写法错误，故不符合题意； D、，正确，故符合题意， 故选：D． 4. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0， ∴a2+a＝0，且a+1≠0， 则a的值为：a＝0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 5. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可． 【详解】解：由题意可得且， 解得：且， 故选：C． 7. 盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设袋装盲公饼的进价为x元，则盒装盲公饼的进价为元，根据“第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为， 故选：A． 8. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D， 由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′=60°，AB=B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠DBB′=∠DBA=30°， ∴BD⊥AB′，且AD=B′D， ∵AC＝BC＝， ∴， ∴，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题（共15分） 9. 一元二次方程的一个解为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个解为， ， 解得：． 故答案为：. 10. 任意投挪一枚均匀的骰子，点数大于4的概率是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】由任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况， ∴任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 12. 如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，则可证明，据此根据梯形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据翻折的性质可得，，证明，可得，设，则，可得，进行求解即可． 【详解】解：在中，, ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、解一元一次方程、翻折的性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 三、解答题（共61分） 14. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式、立方根的意义，有理数的乘方进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 15. 用合适的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴， ∴． 16. 某校学生会向全校2100名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为_________； （2）本次调查获取的样本数据的平均数为_________元、众数为_________元、中位数为_________元； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数． 【答案】（1）50； （2）26.4，30，30； （3）1176人． 【解析】 【分析】（1）根据统计图可以求得本次接受随机抽样调查的学生人数； （2）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数． 【小问1详解】 由统计图可得，本次接受随机抽样调查的学生人数为：； 【小问2详解】 本次调查获取的样本数据的平均数是： (元)， 本次调查获取的样本数据的众数是：30元， 本次调查获取的样本数据按从小到大排列，第25个、第26个数都是30元，所以中位数是：30元； 【小问3详解】 该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数为： (人) ， 答：该校本次活动捐款金额不少于30元的学生有1176人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握平均数、中位数、众数用样本估计总体是解题的关键． 17. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件 （2）第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件， 根据题意得，， 解得， 答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件． 【小问2详解】 解：由题知：， 解得，， ， 即， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元． 18. 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合． （1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长． 【答案】（1） 如图，直线为折痕，点为所求作； 证明：由题意可知，点、关于直线对称， 垂直平分， ，， 在射线上取点，使得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交边于点F，交边于点G，交于点，直线即为折痕，在射线上取点，使得，先根据对角线互相平分，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据菱形的性质，求出，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 点为的中点，， ， 四边形是菱形，， ，，，， ， 【点睛】本题考查了复杂作图——作垂线、作线段，垂直平分线的性质，折叠的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线，勾股定理等知识，根据题意正确作图是解题关键． 19. “数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元世纪）和公元世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程即时的做法为例加以说明． 【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造成图形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到．从而得到一个正数解．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和个边长分别为，的矩形构造出图的形状（面积为）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到，从而得到一个整数解． （1）图中，小正方形的边长为____，将图中补充完整（补充的部分用阴影表示）； 【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程． 请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充） 请分别根据所画图形，求出方程的一个正数解． （注：需要写出必要的推算过程） 【拓展应用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解． 【答案】（1）2， 补充完整，如图所示； （2）①如图所示， ②5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， （1）根据边长之间的关系可得小正方形的边长，再根据题意补充完整即可； （2）画出图形，根据面积相等列出方程，再求出解即可； （3）根据题意画出图形，标注长度，再根据面积相等列出方程，求出解即可. 【详解】图1小正方形的边长为：； 故答案为：2； （2）①略 ②用四个边长分别为，且面积为的矩形构造大正方形，用来那个中方式表示出大正方形的面积，得到 整理，得， 解得； ， 即， 解得； （3），如图所示，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造大正方形，用两种方式表示出大正方形的面积，得到 可知， 解得． 20. 阅读与理解： 我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢?分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 （）如图（），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （）如图（），在四边形中，平分，，，，求的长． 【拓展提高】 （）如图（），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长． 【答案】（）， 理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； （）； （） 【解析】 【分析】（）在上截取，连接，可证，得到，，即得，再根据直角三角形的性质即可求证； （）在上截取，连接，同理（）得，即得，，进而由得，过点作于，则，设，则，利用勾股定理得，求出的值即可求解； （）分别沿着和折叠得到，，可证四边形为平行四边形，得到，，进而得，再利用勾股定理得，由平行四边形的面积得，即可得，即得，最后根据线段的和差关系计算即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； （）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点作于，则， 设，则， 在和中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴； （）分别沿着和折叠得到，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $