26.4 实际问题与二次函数 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过基础题巩固概念理解、中档题深化情境转化、提升题综合建模能力，分层梯度清晰，适配新授课知识内化与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一实际问题（利润、增长率、最值）|直接套用二次函数性质，如单选题1求销售最大利润| |中档|综合情境应用（几何、运动结合）|需转化实际场景为数学模型，如填空题7含出口的矩形面积| |提升|复杂问题解决（多步骤建模）|融合几何与函数，如解答题17篮球运动路线需建立坐标系求表达式|

26.4 实际问题与二次函数 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 2．（本题4分）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 3．（本题4分）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 4．（本题4分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离（　　） A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 5．（本题4分）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．当“水火箭”的升为时，此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 6．（本题4分）某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 二、填空题（共28分） 7．（本题4分）如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是________．    8．（本题4分）一名高尔夫球手击出一球，球飞出后的水平距离与球上升的高度满足关系．当球落到地面上时，它飞行了______米． 9．（本题4分）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间/（单位：t）之间只有函数关系．则小球飞出_____小时，达到最大高度． 10．（本题4分）如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为______． 11．（本题4分）某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是．那么该男生实心球的成绩是______米 12．（本题4分）某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 13．（本题4分）如图，正方形、的顶点、都在抛物线上，点、、均在轴上．若正方形的面积是1，则正方形的边长为______________．    三、解答题（共48分） 14．（本题8分）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 15．（本题8分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 16．（本题10分）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 17．（本题10分）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 18．（本题12分）张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形． (1)若矩形的面积为120平方米，则长为多少米？ (2)设边长为x米，矩形面积为S平方米，当x为何值时S有最大值？请求出最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 2．C 【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x， 则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 3．B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 4．A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题． 以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时x的值的即可得出答案． 【详解】解：如图所示，以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：， 点B与点D关于对称轴对称， ； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点B代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍）或， 所以茶几到灯柱的距离为3.2米， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，则，解方程即可． 【详解】解：令，则， 解得， 故选：C． 6．B 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D错误，不符合题意． 7． 【分析】根据矩形的面积公式用含x的代数式表示y即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 8． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据题意可以得到当时，的值，即可得到答案． 【详解】解：， 当时， ， 解得，，， 当球落到地面上时，， 当球落到地面上时，它飞行了米， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数配成顶点式 ，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∵， 当时，h的最大值为25， 即时，h的值最大， 故答案为：． 10．/4厘米 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意设，列出二次函数表达式并求出最大值时自变量取值即可． 【详解】解：设， ，， ， ， ， 当时，的面积最大， 即当的面积最大时，的值为， 故答案为：． 11．10 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，结合实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是，故令，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵， ∴令，则， 整理得， ∴， ∴（舍去）， ∴该男生实心球的成绩是10米． 故答案为：10． 12． （或） 【详解】解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 13．/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握正方形的性质，二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 设，且，即可得，根据在抛物线上，可得，设正方形的边长为，且，同理可得，代入中，问题得解． 【详解】解：点是边的中点， 设，且， 在正方形中，，， ， 在抛物线上， ， 解得：， 设正方形的边长为，且， ， ， 结合正方形的性质，可知， 在抛物线上， ， 解得：（负值舍去）， 故答案为：或． 14．（1）销售单价应定为30元或40元．（2）当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元． 【分析】（1）设销售单价为x元，可列方程为（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解方程即可解决问题． （2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）设销售单价为x元，根据题意列方程得， （x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000， 解得x1＝30，x2＝40 答：销售单价应定为30元或40元． （2）设销售单价为x元，每天的销售利润w元，可列函数解析式为：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴函数图象开口向下，当x＝35时，w有最大值，最大值为2250元， 答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 15．(1)22米 (2)雕塑EF的高为米 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离； （2）代入x＝10求出y值即可． 【详解】（1）解：当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． （2）解：∵，， 当x＝10时，， ∴点F（10，） ∴雕塑EF的高为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标． 16．(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 17．(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 18．(1)10或6米 (2)米时，S有最大值，最大值是128平方米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用．正确的列出一元二次方程和二次函数解析式，是解题的关键． （1）设边的长为x米，根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设边的长为x米，则米， 由题意，得：， 解得：或6， 即长为10或6米； （2）由题意，得：， ∴当时，有最大值，最大值为128． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $