学易金卷：高二数学上学期第一次月考（天津专用，测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章）

**基本信息** 聚焦向量与立体几何，分层设计凸显逻辑推理与空间观念，综合题多维度考查运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题45分|向量平行、直线斜率、空间几何体|第9题结合长方体判断多命题，考查空间想象与推理| |填空题|6题30分|点到直线距离、直线定点、对称问题|第15题求距离最小值，体现数学眼光解决最值问题| |解答题|5题75分|空间几何证明、直线方程综合、体积计算|第19题四问递进，从定点证明到面积最值，考查数学思维与应用|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共45分） 1、 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 4．若直线与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 6．设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 7．已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 8．直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线关于点对称的直线经过点； ②直线与的交点坐标为； ③已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为； ④已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为． A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则下列说法正确的个数是（   ） ①点到直线的距离为； ②三棱锥的外接球的表面积为； ③平面平面； ④三棱锥的体积为． A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．点到直线的距离为_______ 11．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______． 12．设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 13．从点出发的一束光线l，经过直线反射，反射光线恰好通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为__________． 14．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是__________. 15．在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是_________，对应点的坐标是_________ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．如图，正方体的棱长为2． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 17．已知的顶点坐标为. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程. 18．在四棱锥中，平面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积. 19．已知直线 （1）求证：直线l经过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程； （3）若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围； （4）求原点到直线l距离的最大值，并求出距离最大时的直线方程. 20．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14.____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 2．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 3．经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过，两点的直线的方向向量，其中为原点， 依题意，，所以. 故选：A 4．若直线与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时直线与直线平行，符合题意； 当时直线与直线重合，不符合题意； 综上可得. 故选：A 5．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 6．设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】，， 数形结合知，直线的斜率需满足， 即. 故选：D 7．已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为，直线，可知直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为，所以的方程为，即. 故选：B. 8．直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线关于点对称的直线经过点； ②直线与的交点坐标为； ③已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为； ④已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】对于①，由，，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即．令，得，即直线过点， 所以直线关于点对称的直线经过点，故①正确； 对于②，联立，解得，即直线与的交点坐标为．故②正确； 对于③，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 将点代入可得，所以直线的方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或．故③错误； 对于④，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和的连线垂直，故此时直线的斜率为， 所以直线为，即，所以点到的距离为，故④正确. 故选：B 9．如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则下列说法正确的个数是（   ） ①点到直线的距离为； ②三棱锥的外接球的表面积为； ③平面平面； ④三棱锥的体积为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. 对于①，，所以，， 所以，所以点到直线的距离为，即，故①正确； 对于②，因为，所以，即， 所以是直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点， 三棱锥的外接球的球心在过的中点，且垂直于平面的直线上， 又也为直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心为的中点， 球的半径为，所以球的表面积为，故②错误； 对于③，, 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 假设平面平面，则也是平面的法向量， 所以而，矛盾， 所以假设不成立，即平面与平面不平行，故③错误； 对于④，由等体积法可得三棱锥的体积， 由长方体的性质可知平面，即三棱锥的高为， 又， 所以，故④正确． 故选：B. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．点到直线的距离为_______ 【答案】 【详解】由点到直线距离公式计算可得. 故答案为： 11．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______． 【答案】. 【详解】， 则，即定点坐标为. 故答案为：. 12．设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【答案】或 【详解】当截距为0时，设l方程为，代入点，可得，解得， 所以方程为，即； 当截距不为0时，因为截距相等，所以设方程为， 代入点，可得，解得， 所以方程为，即， 综上，直线l的一般方程为或. 故答案为：或. 13．从点出发的一束光线l，经过直线反射，反射光线恰好通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为__________． 【答案】 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，即， 依题意：D在反射光线上，又也在反射光线上， ∴，故所求方程为，整理得：． 故答案为： 14．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】设点，依题意可得， 即， 则， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 由，解得，所以，则， 所以. 故答案为： 15．在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是_________，对应点的坐标是_________． 【答案】 4 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，所以直线的方程为， 联立：，解得，所以点， 故答案为：4； . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．如图，正方体的棱长为2． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由正方体的性质可知，平面，平面， 平面. （2）设交于点，连接，由正方形的性质可知，且， 因为正方体的棱长为2，， 且， 为平面与平面所成角的平面角， 底面，， ，即平面与平面所成角的正弦值为. （3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则，令可得， 设到平面的距离为，则，即点到平面的距离为， 又，根据体积公式得. 17．已知的顶点坐标为. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线的斜率 过点且与直线平行的直线的斜率为 过点且与直线平行的直线方程为 即 （2）设边的中点为，因为， 所以点的坐标为，即， 所以边的中线所在直线方程为 即 （3）因为， 所以边的高线所在直线的斜率为， 因此边的高线所在直线方程为， 即 18．在四棱锥中，平面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 则且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 得，又平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面， 所以，又， 建立如图空间直角坐标系， 则， 得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以. 设直线与平面所成的角为， 则. （3）由题意知，， 所以三棱锥的体积为2. 19．已知直线 （1）求证：直线l经过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程； （3）若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围； （4）求原点到直线l距离的最大值，并求出距离最大时的直线方程. 【答案】（1）详见解析；（2）4，；（3）；（4），. 【详解】（1）由得， ∴直线l经过定点； （2）由题得，且，故 的面积为 当且仅当时等号成立， 此时S的最小值为4，直线l的方程为. （3）由直线经过定点，且直线不经过第四象限， 则，得， 故实数k的取值范围. （4）设原点到直线l距离为，直线l经过定点， 当OP⊥l时，取得最大值，且为， 此时直线的斜率为，故直线的方程为. 20．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2），，， 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则： 整理得：，又，解得． 试卷第14页，共15页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 姓 名： 答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 n 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂一 选择题（每小题5分，共45分) 1[A][B][C][D] S[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共30分） 10 11. 氧 12 1 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) D C B -=C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) M A D E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 2 3 6 个 8 9 答案 B A D B B B 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.5 12.x-2y=0或x+y-3=0 13.3x+y+7=0 14.[5,5 15.4 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) 6 8 (1)证明见解析 (2)3 3)3 【详解】(1)由正方体的性质可知 C1AG,ACc平面1CD.4Gz平面4CD 平面 ·AC∥ ACD 平面 (2)设 AC,BD DO 交于点0，连接OO,由正方形的性质可知D014C,且D05 图为正方体6D-A8GD的传长为2，D1=DC=4C=35 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ÷.D,O⊥AC D0=5x22=6 2 ∴.∠DOD 为平面4BCD与平面 ACD 所成角的平面角， DD⊥ ABCD.DD⊥DO 底面 sin∠D,OD= D6 √6 D,O3,即平面ABCD与平面ACD所成角的正弦值为3· D C B A B (3)以D为坐标原点， DA,DC,DD x,y,2 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则1(20,0，C02,0),0(0,02,B(22,2) AC=（-2,2,0),AD=（-2,0,2),DB=(2,2,0) i.AC=-2x+2y=0 设平面ACD的一个法向量为i=(x,八，z),则元AD=-2x+2z=0,令x=1可得元=(11,1) D.B43 设B到平面4CD的距离为d'则d= =3,即点A到平面ACD的距离为+5 xScn2x62 根据体积公式得4m号×2V5x4_8 1 33 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ZA D C B B 17.(15分) 2x+5y+9=0 (1) 2x+y-3=0 (2) 日)+6-2=0 〖详解)()直线4C的斜率kc=1-4=-了 2 过点B且与直线AC平行的直线的斜率为5 过点a且与直袋AC平行的直线方程为+1=号+2) 即2x+5y+9=0 (2)设BC边的中点为D,因为” B(-2,-1)、C(4,3) -2+4-1+3 所以点D的坐标为2,2即D1,1), kAD= 5-1-2 -1-1 所以BC边的中线所在直线方程为 -1=-2(x-1) 即2x+y-3=0 (3)因为8=-5 -2+16, 318 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 所以4B边的高线所在直线的斜率为6， 因此AB边的高线所在直线方程为y-3= 6(x-4) 即x+6y-22=0 18.(15分) 2 (1)证明见解析 (2)6 (3)2 【详解】(1)如图，取PB的中点G,连接GM,GA, M A D B 则GM1BC且GM-BC,又AD1BcR4DC。 2 所以GMIIAD且GM=AD,所以四边形GMDA为平行四边形， 得AGI∥DM,又AGC平面PAB,DMC平面PAB, 所以DMII平面PAB. (2)由PA⊥平面ABCD,AD,ABC平面ABCD, 所以PA⊥AD,PA⊥AB,又AB⊥AD, 建立如图空间直角坐标系A-z, 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M 4 则B(2,0,0),E(2,10),D(0,2,0),P(0,0,2), 得 PB=(2,0,-2),PD=(0,2,-2),PE=(2,1,-2) 设平面PDE的一个法向量为” =(x,y,2) i·PD=2y-2z=0 则iPE-=2x+y-2z=0,令y=2,得x=1,z=2, 所以7=0,2,2) 设直线PB与平面PDE所成的角为B, 好 PB·n 则sin0=cos<PB,ni= -2 2 62V2·36 PBn 1 (3)由题意知， Ve-mos =Vr-cDE=PA.S.og =P4:-CE:4B=-x2x-x3x2=2 3 2 3 2 所以三棱锥C-PDE的体积为2 19.(15分) ；(3)0+o) （1)详见解析：(2)4，X-2y+4=0 0,452x-y+5=0 【详解】(1)由：a-y+1+2k=0得y-1=k(x+2), 直线1经过定点P(-2,). 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2k+1<0 （②由题得2女0a02k+,H2x1>0,政，0 -k △AOB的面积为S= x2+×(2k+-4+46+1-2张+2+之4 2 k 2k 2k 当且仅当k=2时等号成立， 此时S的最小值为4，直线1的方程为x-2y+4=0 (3)由直线y=+1+2k经过定点(-2,1)，且直线不经过第四象限， [k≥0 则1+2k≥0，得k≥0， 故实数k的取值范围[0，+oo), (4)设原点到直线I距离为d,直线1经过定点P(-2,), 当OPL1时，d取得最大值，且为V-2+P=V5 此时直线的斜率为k=2,故直线的方程为2x-y+5=0, 20.(16分) ·(1)略 vo 10 3)5-2 【详解】 (1)证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 6/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 依思意10,00，.B(OL0.C2.00)D,-20).4(@02.B(@L2),.C(2,02),D-2,2） 因为M和N分别为BC和nD的中点，得M2N(-2训，则=00： 平面ABCD的法向量为n=(0,0,1): =00+(}0+0x1=-0, 因为直线MN￠平面ABCD,所以MNII平面ABCD （2)M=0-2,2).4c=(20,048=(0,12 n·AC=2x=0 设元=(x,,)为平面ACD,的法向量，则元·AD=x-2y+22,=0, 不妨设=1，可得”=(0,1D, .AC=2x2=0 设m,=(:,2,2)为平面4CB的法向量，则乃·AB=+22,=0, 不纺设21，可得西=0-2D ln·n2l 10×0+1×(-2)+1×1V10 因此有 s%,%m-0+1P+P0+(-2+F10, 平面ACD与平面4CB的夹角的余弦值为0 3)设4E=4g,其中10，]，则E01,2),从而入 NE=(-1,t+2,1) 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又平面ABCD n=(0,0,1) 的法向量为 设直线NE与平面ABCD夹角为B,则： NE· sin 0=cos NE.n= NE同√-12++22+127 整理得： P+-1=0,又e0川，解行=5-2 ,解得 8/8 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 4．若直线与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 6．设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 7．已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 8．直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线关于点对称的直线经过点； ②直线与的交点坐标为； ③已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为； ④已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为． A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则下列说法正确的个数是（   ） ①点到直线的距离为； ②三棱锥的外接球的表面积为； ③平面平面； ④三棱锥的体积为． A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．点到直线的距离为_______ 11．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______． 12．设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 13．从点出发的一束光线l，经过直线反射，反射光线恰好通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为__________． 14．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是__________. 15．在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是_________，对应点的坐标是_________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．如图，正方体的棱长为2． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 17．已知的顶点坐标为. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程. 18．在四棱锥中，平面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积. 19．已知直线 （1）求证：直线l经过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程； （3）若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围； （4）求原点到直线l距离的最大值，并求出距离最大时的直线方程. 20．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $